1. Схема и расчет
Рассмотрим балочную ферму на рис. 1. Для расчета усилий в стержнях методом вырезания узлов составим систему уравнений равновесия всех узлов в проекциях на оси координат.
Рис. 1. Ферма при n=4
Начало координат
выберем в левой неподвижной опоре.
Программа расчета составляется на языке
Maple [1]. Для n панелей число стержней
–
,
включая три опорные стержня. Число
шарниров вместе с тремя шарнирами,
закрепленными на основании,
.
Зададим координаты узлов, по которым
можно будет определить направляющие
косинусы усилий, входящие в уравнения
равновесия:
Координаты опорных точек:
Структуру соединения
узлов и стержней фермы зададим условными
векторами
.
Здесь первая компонента – номер шарнира
фермы в начале соответствующего стержня,
вторая – номер шарнира в его конце.
Выбор направления условных векторов-стержней
не связан со знаком усилий в них и на
результат не влияет. Имеем следующие
векторы:
Опорным стержням соответствуют векторы:
Длины стержней и проекции векторных представлений этих стержней необходимы для вычисления направляющих косинусов:
Первый индекс в
номере
принимает значения 1 или 2 и соответствует
номеру компоненты вектора
,
второй – номеру стержня. Матрица
направляющих косинусов
имеет следующие элементы:
Усилия находим из решения системы уравнений
(1)
где
– вектор усилий в стержнях,
–
вектор правых частей (внешних нагрузок,
приложенных к узлам). Для расчета прогиба
фермы используем формулу Максвелла –
Мора, выделив составляющую
прогиба за счет деформации стержней
нижнего пояса,
– верхнего пояса,
– стоек и
– раскосов решетки. Соответствующие
номера имеют и площади сечений стержней:
Здесь использованы
стандартные обозначения
для усилий от единичной силы, приложенной
к середине нижнего пояса (узел n+1,
рис. 2),
–
усилия в стержнях от заданной нагрузки
и длины стержней
.
Жесткости стержней EF в общем случае
разные.
Рис. 2. Нумерация узлов фермы (n=3)
Методом индукции получаем следующие зависимости:
(2)
.
Индукция проводилась
по 16 фермам с последовательно
увеличивающимся числом панелей. Выявлены
закономерности образования коэффициентов.
Для этого сначала методами компьютерной
математики получены рекуррентные
уравнения, которым удовлетворяют
характерные коэффициенты. Например,
при нахождении
с помощью оператора rgf_findrecur
было выявлено уравнение, которому
удовлетворяет последовательность
коэффициентов при
в числителе этой величины:
.
Решение уравнения находим, используя оператор rsolve. Приведем соответствующий фрагмент программы на языке Maple:
> with(genfunc):
> S:=seq(DELT2[i],i=1..16);
> N:=nops([S])/2;
> R:=rgf_findrecur(N,[S],Z,n);
>simplify(rsolve({R,seq(Z(i)=S[i],i=1..N)},t)).