- •Введение
- •1. Числовые ряды
- •1.1. Основные понятия и определения
- •1.2. Нахождение суммы знакоположительного ряда
- •1.3. Исследование сходимости знакоположительных рядов
- •1.4. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница для знакочередующихся рядов
- •1.5. Приближенное вычисление суммы знакочередующегося ряда
- •2. Функциональные ряды
- •2.1. Основные теоретические сведения
- •2.2. Нахождение области сходимости функциональных рядов
- •2.3. Интервал и радиус сходимости степенного ряда
- •2.4. Нахождение суммы функционального ряда
- •2.5. Разложение функций в степенной ряд Тейлора
- •2.6. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •Заключение
- •Библиографический список
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1.3. Исследование сходимости знакоположительных рядов
Рассмотрим ряд с положительными членами
=a1+a2+a3+ , (2)
где , при .
Так как все члены ряда (2) положительны, то частичная сумма Sn возрастает с возрастанием n. Поэтому знакоположительный ряд (2) либо сходится, когда , либо его сумма бесконечная: и ряд расходится.
Перечислим основные достаточные признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов.
Первый признак сравнения. Если 0 an bn, начиная с
некоторого номера n=n0, и ряд
=b1+b2+b3+… (3)
сходится, то ряд (2) также сходится. Если ряд (2) расходится, то расходится и ряд (3).
Второй (предельный) признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел (в частности, если an~bn), то ряды (2) и (3) сходятся или расходятся одновременно.
В качестве рядов для сравнения удобно использовать один из следующих рядов:
1. Геометрический ряд
(c=const), который сходится при <1 и расходится при 1.
2. Гармонический ряд , являющийся расходящимся рядом.
3. Обобщенный гармонический ряд (Дирихле)
, который сходится при p>1 и расходится при p 1.
Замечание. Для оценки общего члена ряда удобно использовать неравенства -1 , -1 ,
, , и т. п.
Пример1. Ряд
сходится по первому признаку сравнения, так как
an= bn Для сравнения взяли сходящийся геометрический ряд , составленный из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
, знаменатель которой q=1/3 меньше 1, а сумма всех ее членов равна . (S= )
Пример 2. Ряд
-расходится. Действительно, ряд
сравним с расходящимся гармоническим рядом
= . Имеем .
Находим
III. Признак Даламбера. Пусть an>0(начиная с
некоторого номера n=n0). Если для ряда (2) существует
предел отношения последующего члена an+1 к предыдущему an, т. е. , то при q<1 ряд (2) сходится, а при q>1 ряд (2) расходится.
IV. Признак Коши. Пусть an (начиная с некоторого номера n=n0). Если для ряда (2) существует предел
, то при q<1 ряд (2) сходится, а при q>1 ряд (2) расходится.
Замечание 1. Признаки Даламбера и Коши при q=1 ответа не дают. Тогда следует применить другой признак сходимости.
Замечание 2. При вычислении пределов полезно иметь в виду, что , , , где P(n) —многочлен относительно n. Например,
= .
V. Интегральный признак Коши. Если an=f(n),
где функция f(x) положительна, монотонно убывает и непрерывна при , где , то ряд сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится несобственный интеграл .
Устанавливают сходимость несобственного интеграла обычно по определению: = , когда первообразная функция F(x) легко вычисляется.
Пример. Ряд расходящийся по интегральному признаку. Действительно, an=f(n)= при n>2 функция f(x)= -положительная, непрерывная и монотонно убывающая при ,ибо ,т.к. при , и интеграл , то есть расходится. Здесь
Задания (3-7).
Исследовать сходимость знакоположительных рядов.
Задача 1. .
Решение. При n → ∞ числитель не имеет предела, но является величиной ограниченной: , (произведение бесконечно малой на ограниченную величину есть величина бесконечно малая) — необходимый признак сходимости ряда выполнен. Применим первый признак сравнения. при . Ряд - сходится (как обобщенный гармонический,
где р=2>1). Значит, исходный ряд также сходится.
Задача 2.
Решение. Необходимый признак сходимости выполнен.
Сравним данный ряд с рядом . Мы можем это сделать согласно второму (предельному) признаку сравнения
т.е. . Ряд сходится согласно интегральному признаку Коши. Значит, сходится исследуемый ряд.
Задача 3. .
Решение. Так как при n → ∞, то исходный ряд сравним с рядом (по второму признаку сравнения): .Воспользуемся признаком Даламбера для установления сходимости этого ряда: q=
Следовательно, ряд сходится. Значит, сходится и исследуемый ряд.
Задача 4.
Решение. Используем признак Коши.
.
Следовательно, ряд сходится.
Задача 5.
Решение. Применим признак Коши.
Значит, ряд расходящийся.
Задача 6.
Решение. Имеем an= >0. Применим интегральный признак Коши, предварительно упростив выражение для ап
~
Члены ряда рассматриваем как значения функции
при x=n, n=4,5,6... .Проверяем условие применения этого признака при : функция >0, непрерывная и f(x) убывает Вычислив ,
видим его расходимость. Следовательно, расходится и ряд
. Из расходимости этого ряда по второму (предельному) признаку сравнения следует расходимость исходного ряда.
Задача 7. .
Решение. Данный ряд сравним с рядом
, так как ~ . Далее применим интегральный признак Коши к вспомогательному ряду.
,
Откуда следует сходимость несобственного интеграла и, следовательно, вспомогательного ряда (по интегральному
признаку). По второму (предельному) признаку сравнения следует сходимость исходного ряда.
Задача 8.
Доказать справедливость равенства . (Ответом служит число q, получаемое при применении признака Даламбера или признаки Коши)..
Доказательство: Рассмотрим знакоположительный ряд
, где
Этот ряд сходится по признаку Даламбера.
.Значит, для него выполняется необходимый признак сходимости ряда: . Значит, , что и требовалось доказать.