1.4. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница для знакочередующихся рядов

Рассмотрим ряд, члены которого имеют разные знаки:

(4)

Ряды с произвольным чередованием знаков всех членов называются знакопеременными рядами. Ряд вида

, (5)

где величины , называется знакочередующимся. Это такой ряд, в котором два любых соседних члена имеют противоположные знаки.

Признаки сходимости знакопеременных рядов.

Если ряд

, (6)

составленный из модулей (абсолютных величин) членов ряда

(4) сходится, то ряд (4) так же сходится и называется абсолютно сходящимся. Для исследования на абсолютную сходимость ряда (4) можно исследовать для ряда (6) известные признаки сходимости для знакоположительных рядов. В частности:

а) Ряд (4) сходится абсолютно, если абсолютные величины членов ряда (4) не превосходят членов сходящегося знакоположительного ряда: , где ряд сходящийся.

б) Ряд (4) сходится абсолютно, если или .

в) Если или , то расходится не только ряд (6), составленный из модулей, но и исходный ряд

(4). В общем случае из расходимости ряда из модулей (6) не следует расходимость ряда (4). Ряд (4) называется условно

(не абсолютно) сходящимся, если он сходится, а соответствующий ему ряд (6) из модулей расходится.

Пример .

.

Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда

Так как , то исследуемый ряд сходится абсолютно.

Признак Лейбница. Если для знакочередующегося ряда (5) выполнены два условия: 1) его члены убывают по абсолютной величине и 2) его общий член стремится к нулю при , то ряд (5) сходится ( по крайней мере, условно). Для остатка ряда R_n = S-S_n, в этом случае имеет место оценка , то есть остаток ряда R_n не превосходит первого из отброшенных его членов.

Задание 8. Исследовать на сходимость ряды.

Задача 1. ,

Решение. Данный знакочередующийся ряд

сходится по признаку Лейбница, так как выполнены два условия: монотонное убывание модулей членов ряда ;

2) =.

Сходимость данного ряда условная, так как ряд из модулей его членов расходится вместе с рядом

, который получили при упрощении общего

члена, воспользовавшись тем, что при .

Ответ: Исследуемый ряд условно сходится.

Задача 2.

Решение: Составим ряд из модулей его членов. . . Воспользовавшись формулой упростим общий член.

и применим второй (предельный) признак сравнения:

; ряд -

расходящийся, и одновременно с ним расходится ряд

. Значит, исходный знакочередующийся ряд не является абсолютно сходящимся. Остается еще возможность того, что исходный ряд сходится условно. Для этого надо применить признак Лейбница. Проверим выполнение двух

условий этого признака Лейбница для данного ряда:

1)

Действительно -последовательность монотонно убывающая, т.к. функция монотонно убывающая, ( ).

2) . Оба условия выполнены, следовательно, по признаку Лейбница ряд сходится условно.

Ответ: Ряд условно сходится.

Отметим следующие свойства сходящихся

знакопеременных рядов

Свойство 1. Если ряд (4) абсолютно сходится, то ряд,

полученный после любой перестановки бесконечного

множества его членов, абсолютно сходится и имеет ту же сумму, что и первоначальный ряд.

Свойство 2. Если ряд (4) условно сходится, то от перемены мест его членов сумма ряда изменяется и больше того имеет место теорема (Римана): Сумма ряда, сходящегося условно, зависит от порядка, в котором расположены его члены. Изменяя этот порядок, можно заставить ряд иметь своей суммой любое число или сделать его даже расходящимся.