- •394026 Воронеж, Московский просп., 14 оглавление
- •Введение
- •Глава 1. Введение в теорию систем
- •1.1. Основные понятия, характеризующие строение и функционирование систем
- •1.2. Закономерности систем
- •1.3. Системный подход и системный анализ
- •1.4. Сложная и большая система
- •1.5. Классификация систем
- •1.6. Система как всеобщность свойства материи
- •1.7. Методика системного анализа
- •Глава 2. Методы описания систем
- •2.1. Качественные методы описания систем
- •2.2. Количественные методы описания систем. Уровни описания систем
- •2.3. Методы формализованного представления систем
- •2.4. Кибернетический подход к описанию систем
- •Глава 3. Моделирование систем
- •3.1. Классификация видов моделирования систем
- •3.2. Построение моделей систем
- •3.3. Проверка адекватности моделей, анализ чувствительности и работоспособности
- •3.4. Основные положения теории планирования эксперимента
- •3.4.1. Этапы планирования эксперимента
- •3.4.2. Полный факторный эксперимент
- •3.4.3. Дробный факторный эксперимент
- •3.5. Обработка и анализ результатов моделирования систем
- •3.5.1. Метод наименьших квадратов
- •3.6. Аналитические модели сложных систем
- •3.6.1. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях
- •3.6.2. Метод Эйлера и его модификации
- •3.6.3. Метод Рунге-Кутта
- •3.6.4. Приближенное решение дифференциальных уравнений n-го порядка при заданных начальных условиях
- •3.6.5. Приближенное решение дифференциальных уравнений при заданных граничных условиях (краевых задач)
- •3.6.6. Метод начальных параметров
- •3.6.7. Редукция к задаче Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка
- •3.7. Имитационное моделирование
- •3.7.1. Композиция дискретных систем
- •3.7.2. Содержательное описание сложной системы
- •3.7.3. Пример построения имитационной модели анализа надежности сложной системы
- •3.8. Когнитивное моделирование
- •Глава 4. Модели многосвязных технических систем
- •4.1. Типы элементов
- •4.2. Источники энергии и преобразователи. Аналоги топологических уравнений
- •4.3. Метод получения топологических уравнений.
- •Глава 5. Конечно-элементные модели. Метод конечных элементов
- •5.1. Общий ход решения задачи на основе метода конечных элементов
- •5.2. Сети одномерных конечных элементов
- •5.3. Виды конечных элементов
- •5.4. Выделение конечных элементов
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
3.5.1. Метод наименьших квадратов
Рассмотрим особенности регрессионного анализа результатов моделирования на примере построения линейной регрессионной модели.
На рис. 3.9 показаны точки (xi, yi), полученные в эксперименте. Делаем предположение, что функция отклика может быть представлена в виде прямой линии
Требуется получить такие значения коэффициентов b0 и b1, при которых сумма квадратов ошибок будет минимальной. На рисунке ошибки ei для каждой экспериментальной точки равны расстояниям по вертикали от этой точки до линии регрессии (рис. 3.9).
Рис. 3.9. К построению регрессионной модели
Обозначим (yt)i =b0+ b0xi (здесь (уt)i - величина, предсказываемая регрессионной моделью), тогда выражение для ошибок будет иметь вид а функция ошибки
Для получения коэффициентов b0 и b1 при которых функция F0 будет минимальной, приравняем нулю частные производные dF0 /db0 и dF0 /db1. Будем иметь:
(3.22)
Таким образом, получена система двух линейных алгебраических уравнений:
(3.23)
Решая систему этих уравнений, получим
(3.24)
где N – число реализаций при моделировании.
Мы рассмотрели частный случай для уравнения (3.23). В более общем случае, когда эмпирическую функцию принимают в виде полинома
(3.25)
система уравнений типа (3.23), (3.24) будет иметь вид
(3.26)
Для оценки точности совпадения теоретических и экспериментальных данных следует определить среднюю квадратичную ошибку на единицу веса
(3.27)
или среднее абсолютное отклонение
(3.28)
где r – число вычисляемых (табличных) значений;
s – число параметров.
Последовательность вычислений при построении уравнения регрессии на основе метода наименьших квадратов рассмотрим на конкретном примере.
Пусть, например, необходимо подобрать уравнение регрессии по экспериментальным данным, приведенным ниже.
-
x
0
0.5
1.0
1.5
2.0
y
7.0
4.8
2.8
1.4
0
Вначале попытаемся в качестве типа эмпирической формулы принять линейную зависимость, удерживая в формуле два первых члена:
Составим нормальные уравнения, для чего предварительно заполним таблицу В таблице предусмотрим дополнительные столбцы 4, 5 и 8, которые нам могут потребоваться в дальнейшем (таблица 3.7).
Таблица 3.7
-
x0
x
x2
x3
x4
1
2
3
4
5
1
0
0
0
0
1
0.5
0.25
0.125
0.0625
1
1.0
1
1
1
1
1.5
2.25
3.375
5.0625
1
2.0
4
8
16
5
5
7.5
12.5
22.125
Пользуясь данными столбцов 1, 2, 3, 6, 7, составим нормальные уравнения (3.26), которые применительно к нашему случаю при удержании только двух первых членов формулы будут иметь вид:
Подставляя табличные данные, получим:
Решая эти уравнения, найдем: b0 =6,68; b1 = -3,48, следовательно,
Оценим точность выполненных построений. Подставив в полученную формулу значения x (табл. 3.8), определим вычисленные значения уt и отклонения.
Таблица 3.8
-
x
yt
y-yt
(y-yt)2
0
0.5
1.0
1.5
2.0
+6.68
+4.94
+3.20
+1.46
-0.28
+0.32
-0.14
-0.40
-0.06
+0.28
0.1024
0.0196
0.1600
0.0036
0.0784
Суммируя данные последнего столбца, будем иметь:
Средняя квадратическая ошибка на единицу веса
Среднее абсолютное отклонение (5.9) равно
Полученные величины показывают, что формула подобрана неудовлетворительно, так как исходные данные имеют точность до 0,1, а средняя квадратическая ошибка на единицу веса значительно больше 0,1.
Повторим все операции, используя более точное выражение
Для записи нормальных уравнений (7) дополним вспомогательную табл. 3.8 новыми данными, которые приведены в столбцах 4, 5, 8 и выделены курсивом. Составим нормальные уравнения:
После решения этой системы найдем b0=7.00; b1=-4.74; b2=0.63 и запишем искомую зависимость:
Для определения средней квадратической ошибки составим табл. 3.9.
Таблица 3.9
-
x
yt
y-yt
(y-yt)2
0
0.5
1.0
1.5
2.0
7,0
4.79
2,89
1.30
0.04
0
+0.01
-0.09
+0.10
-0.04
0
0.0001
0.0081
0.0100
0.0016
Суммируя последний столбец, получим
Средняя квадратическая ошибка на единицу веса
Среднее абсолютное отклонение
Следовательно, формула вполне удовлетворительно соответствует экспериментальным данным.