Сложение скоростей

Определим скорость абсолютного движения точки, если известны скорости относительного и переносного движений этой точки. Пусть точка совершает только одно относительное движение по отношению к подвижной системе отсчета и в момент времени занимает на траектории относительного движения положение (рис. 33). В момент времени вследствие относительного движения точка окажется в положении , совершив перемещение по траектории относительного движения. Предположим, что точка участвует только в одном переносном движении. Тогда за время в следствие этого движения вместе с системой координат и относительной траекторией она переместится по некоторой кривой на . Если точка участвует одновременно и в относительном и в переносном движениях, то за время она п

Рис. 33

ереместится на по траектории абсолютного движения и в момент времени займет положение . Если время мало и в дальнейшем переходят к пределу при , стремящемся к нулю, то малые перемещения по кривым можно заменить отрезками хорд и принять их за векторы перемещений. Складывая векторные перемещения, получаем

,

В этом отношении отброшены малые величины более высокого порядка, стремящиеся к нулю при , стремящемся к нулю. Переходя к пределу, имеем

. (69)

Пределы величин, входящих в это соотношение, являются соответственно скоростями абсолютного, переносного и относительного движений точки, т. е.

, ,

Следовательно, (69) примет форму

. (70)

Получена так называемая теорема сложения скоростей: скорость абсолютного движения точки равна векторной сумме скоростей переносного и относительного движений этой точки. Так как в общем случае скорости переносного и относительного движений не перпендикулярны, то

.

Сложение ускорений при поступательном переносном движении

Определим ускорение абсолютного движения в частном случае поступательного переносного движения. Общий случай сложения ускорений при произвольном переносном движении рассматривается в гл. 5. Для любого переносного движения справедлива теорема сложения скоростей

.

Если подвижная система отсчета движется поступательно относительно неподвижной , то по свойству поступательного движения все точки тела, скрепленного с этой системой, имеют одинаковые скорости и ускорения, равные скорости и ускорению начала координат подвижной системы координат точки . Следовательно, для скорости и ускорения переносного движения имеем

, .

Выразим относительную скорость в декартовых координатах. Получим:

,

где – единичные векторы, направленные по подвижным осям координат; – координаты движущейся точки относительно этих осей (рис. 34). Подставляя в теорему сложения скоростей значения переносной и относительной скоростей, имеем:

.

По определению абсолютное ускорение выражается производной по времени от абсолютной скорости, т. е.

,

п

Рис. 34

ричем изменение абсолютной скорости и других векторов , следует учитывать по отношению к неподвижной системе осей координат . Выполняя дифференцирование, получим

, , (71)

т.к. производные по времени от единичных векторов равны нулю. При поступательном движении подвижной системы отсчета они не изменяются. Из (71) и выражения для относительного ускорения в декартовых координатах

,

получим следующее выражение для теоремы сложения ускорений точки при поступательном переносном движении:

, (72)

т. е. абсолютное ускорение точки при поступательном переносном движении равно векторной сумме ускорений переносного и относительного движений.

В общем случае переносное ускорение и относительное не перпендикулярны, поэтому

.