3.3. Угловая скорость и угловое ускорение тела при плоском движении

Для характеристики вращательной части плоского движения твердого тела вокруг подвижной оси, проходящей через выбранный полюс, аналогично случаю вращения твердого тела вокруг неподвижной оси можно ввести понятия угловой скорости и углового ускорения . Если угол поворота вокруг подвижной оси, проходящей через полюс, обозначить , то

, .

Так как вращательная часть движения не зависит от выбора полюса, то и характеристики этой части движения – угловая скорость и угловое ускорение – также не зависят от выбора полюса. Следовательно, для заданного плоского движения фигуры в данный момент они одинаковы относительно подвижной оси, проходящей через любую точку фигуры.

При плоском движении тела угловую скорость и угловое ускорение можно считать векторами, направленными по подвижной оси, перпендикулярной плоскости фигуры и проходящей через выбранный полюс. Вектор угловой скорости при плоском движении фигуры направлен по подвижной оси так, чтобы с конца его стрелки можно было видеть вращение фигуры против часовой стрелки. Вектор углового ускорения при ускоренном вращении фигуры совпадает с направлением вектора угловой скорости , а при замедленном вращении эти векторы имеют противоположные направления. Так как и не зависят от выбора полюса на плоской фигуре, то, следовательно, их можно приложить в любой точке фигуры, не изменяя модулей и направлений этих векторов, т. е. и являются свободными векторами. Вектор углового ускорения является первой производной по времени от вектора угловой скорости, т. е. .

3.4. Скорости точек тела при плоском движении

Применяя к плоскому движению теорему о сложении скоростей для какой-либо точки фигуры, получаем

, (74)

где – абсолютная скорость точки плоской фигуры относительно системы координат, по отношению к которой рассматривается движение фигуры; – скорость точки от переносного поступательного движения фигуры вместе, например, с точкой этой фигуры (рис. 38, а); – скорость точки в относительном движении, которым является вращение плоской фигуры вокруг точки с угловой скоростью .

а) б)

Рис. 38

Так как за переносное движение выбрано поступательное движение вместе с точкой , то все точки плоской фигуры имеют одинаковые переносные скорости, совпадающие с абсолютной скоростью точки , т. е.

Скорость относительного движения, в случае, когда оно является вращательным движением, равна

Скорость , расположена в плоскости движущейся фигуры и направлена перпендикулярно отрезку , соединяющему точку с полюсом . Эту относительную скорость можно выразить в виде векторного произведения:

,

где угловая скорость считается направленной по подвижной оси вращения, проходящей через точку и перпендикулярной плоскости фигуры. Относительную скорость обозначим . Это обозначение показывает, что скорость относительного движения точки получается от вращения плоской фигуры вокруг подвижной оси, проходящей через точку , или просто вокруг точки . Формулу (74) можно выразить в виде

, (75)

где

, (76)

а вектор перпендикулярен отрезку и направлен в сторону вращения плоской фигуры (рис. 38, а). Используя (75), можно построить в выбранном масштабе треугольник скоростей для точки (рис. 38, б).

Таким образом, скорость какой-либо точки фигуры при ее плоском движении равна векторной сумме скорости полюса и относительной скорости этой точки от вращения фигуры вокруг полюса. Формула (75) выражает зависимость между скоростями двух любых точек тела при плоском движении в любой момент времени. Ее можно получить непосредственным дифференцированием по времени векторного равенства

,

справедливого для любого момента времени (см. рис. 38, а).

При дифференцировании векторов учитываем их изменения относительно основной, неподвижной, системы координат , т. е. вычисляем полные производные от этих векторов. Имеем

.

Очевидно, , , . скорости точек и .

Вектор соединяет две точки плоской фигуры и, следовательно, не изменяется по модулю при движении плоской фигуры. Производную по времени от такого вектора как вектора постоянного модуля по скалярному аргументу можно выразить в форме

где – вектор угловой скорости вращения , а следовательно, и плоской фигуры, с которой скреплен вектор .

Окончательно имеем

.

Если ввести обозначение , то получаем формулу (75).

.