8.5. Обчислення аномалій сили ваги

Аномалією сили ваги - називається різниця між виміряним значенням сили ваги і його нормальним або теоретичним. Виміряне значення сили ваги отримують із абсолютних або відносних спостережень, а нормальне (теоретичне) розраховують за <}юрмулами нормальної сили ваги геодезичної референцної системи. Якщо виміряне і нормальне значення сили ваги віднесені до однієї точки, то таку обчислену аномалію сили ваги називають “чистою”. У випадку, коли ці значення сили ваги відносять до різних точок простору, то тоді отримують “змішану” аномалію сили ваги.

При обчисленнях аномалій сили ваги вводять різні поправки (редукції) у виміряне або нормальне значення сили ваги. В залежності від того, які поправки (редукції) вводять, розрізняють різні види аномалій. Поле аномалій сили ваги подають у вигляді гравіметричних карт. Гравіметричні карти складають в аномаліях у вільному повітрі, в повній і не повній топографічних редукцій, Фал, Буїе, Гленш та інших. Згідно з Держстандартами гравіметричні спостереження виконують на суші, на поверхні і дні моря, у свердловинах і шахтах, а також у повітрі. Очевидно, для таких пунктів спостереження необхідно обчислити аномалії сили ваги, але перш за все потрібно їх знати на фізичній поверхні Землі. Дім цього (див,рис.39) розглянемо всі можливі випадки розташування гравіметричного пункту, в якому виконувались спостереження, і обчислимо аномалії сили ваги у вільному повітрі і аномалію Буге, Ці аномалії найчастіше використовують в фізічній геодезії.

Рис. 39 Схема розташування гравіметричних пунктів

1Гравіметричний пункт А і знаходиться на суші фізичної поверхні Землі Тоді “чиста” аномалія сили ваги y вільному повітрі

Δg_вп=g-[γ₀-0.3086(H^γ=ξ)] (8 43)

де

γ₀ - нормальне значення сили ваги в точці Ао на поверхні рівневого еліпсоїда

(Нормальна Земля), яке визначають за формулою (і 43),

Н^γ - нормальна висота гравіметричного пункту,

ξ - висота квазігеоіда (аномалія висоти),

Н=Н^γ+ξ₎ - геодезична висота гравіметричного пункту

Але при обчисленнях аномалій сили ваги приймають, що аномалія висоти Тоді обчислюють “змішану” аномалію сили ваги у вільному повітрі

Δg=g-γ₀+0.3086H^γ (8 44)

Величина 0,3086 Н^γ називається поправкою за висоту в нормальне значення сили ваги, або редукцією у вільному повітрі

2 Гравіметричний пункт А 2 розташований на поверхні моря “Змішану” аномалію сили ваги у вільному повітрі обчислюють за формулою

(8 45)

Δg=g-γ₀

3. Гравіметричний пункт А₃розташований на дні моря. Висота пункту А₃ відносно рівневого еліпсоїда буде рівна ξ-h,

де:

h-глибина моря.

Тоді “змішана” аномалія сили ваги у вільному повітрі буде дорівнювати

Δg=g-(γ₀-0.3086h) (8.46)

Для того, щоб обчислити аномалію на поверхні моря (точка аз), необхідно врахувати притягання шару морської води товщиною h. Якщо не враховувати кривину рівневої поверхні і рельєфу морського дна, тоді притягання шару морської води в точках А₃ і a₃,буде за величиною однаковим і рівним

2Пfδh-0.0430h

“Змішану” аномалію на поверхні моря (точка аз) обчислюють за формулою:

Δg=g-(γ₀+0.3086h)-0.0861h (8.47)

або

(8 48)

Δg=g-γ₀-0.2225h

3. Гравіметричний пункт А₄ розташований в свердловині.

У випадку, коли спостереження виконують у свердловині, висота цього пункту

над нормальною Землею є рівною Н^γ + ξ - h. Тоді “змішана” аномалія в вільному повітрі для цього пункту буде рівна

Δg=g-[γ₀-0.3086(H^γ-h)] (8 49)

де-

h - глибина свердловини

Для знаходження аномалії на поверхні Землі в точці а₄\ враховують притягання шару товщини h, яка називається поправкою Прея і визначається величиною

4Пfδh

де:

δ- густина шару

Тоді “змішана” аномалія в вільному повітрі на поверхні Землі (точка а₄) за спостереженнями у свердловині

Δg=g-[γ₀-0.3086(H^γ-h)]-0.0836δh (8.50)

3. Гравіметричний пункт розташований А₅ у повітрі.

При вимірюваннях у повітрі висота пункту над нормальною Землею буде

H^γ+h

де:

h - висотапункта спостереження над поверхнею Землі.

“Змішану” аномалію у вільному повітрі для цього пункту обчислюють за формулою:

(8.51)

Для обчислення аномалії на поверхні Землі (точка а₅) не враховують аномалії вертикального градієнта через значні похибки вимірювань на борту літака, тому аномалії в точках А₅іa₅ вважають рівними. Тут слід зауважити, що “змішані” аномалії

сили ваги у вільному повітрі обчислюють за формулами (8,44), (8.49), (8.51) для рівнинних районів. У гірських районах у спостережуване значення сили ваги вводять поправку за рельєф, яка враховує відступ фізичної поверхні Землі від плоскої рівневої поверхні досліджуваного пункту. Суму аномалій у вільному повітрі із поправкою за рельєф називають аномалією Фая. Аномалії у вільному повітрі, які обумовленні притяганням всіх аномальних мас Землі, використовують в геодезії для визначення гравітаційного поля.

При геофізичній інтерпретації гравіметричних вимірювань певний інтерес викликає притягання локальних геологічних об’єктів. Через те із спостережуваних значень сили ваги знімають вплив притягання видимих топографічних мас, розміщених між рівнем моря і фізичною поверхнею Землі. Якщо вплив топографічних мас прийняти рівним притяганню плоскої пластини нескінченного простягання і виправити цією ж поправкою спостережуване значення сили ваги g, то тоді обчислену аномалію називають аномалією Буге. Ці топографічні маси, які подані у вигляді плоскої пластини, називають проміжним шаром. Тоді аномалію Буге записують

Δg_Б=Δg_вп-2ПfδH^γ (8.52)'

або

Δg_Б=g-γ₀+δg_P+0.3086H^γ-2ПfδH^γ (8.53)

де:

δg_P - поправка за рельєф, δ - густина проміжного шару.

За формулою (8.53) обчислюють аномалії Буге для пунктів., які розташовані на суші. Сума поправок

Δg_Б-2ПfδH^γ+0.3086H^γ ( 8.54)

називається поправкою (редукцією) Буге. Якщо спостереження виконані в морських умовах, тоді для обчислення аномалії Буге у виміряне значення сили ваги вводять поправку, яка враховує дефект притягуючих мас внаслідок того, що густина земної кори відрізняється від густини морської води. Ця поправка додається, і її обчислюють за формулою

2Пf(δ-δ_в)h (8.55)

де.

δ - густина земної кори,

δ_в - густина морської води,

h -глибина моря.

Аномалію Буге на морі одержують, якщо до аномалії у вільному повітрі додати цю поправку

Δg_Б=Δg_вп+2Пf(δ-δ_в) (8.56)

При обчисленні аномалій Буге для пункту, розміщеного в свердловині (шахті) враховують притягання шару товщиною h, розміщеного вище точки спостереження А₄,

а потім виключають притягання проміжного шар)' товщиною H^γ-h. Формула для обчислень має вигляд:

(8.57)

або

Δg_Б=Δg_вп+4Пfδh-2ПfδH^γ

При спостереженнях на борту літака висота точки спостереження А₅ над поверхнею нормальної Землі (при ξ⁼0) буде

H^γ+h

де:

h -висота літака над поверхнею Землі.

Отже, аномалію Буге обчислюють за формулою

Δg_Б=Δg_вп-2ПfδH^γ (8.59)

Розділ 8
8.6 Топографо-геодезичні роботи при виконанні
гравіметричного знімання.

Як відомо кінцевим результатом гравіметричного знімання є одержання гравіметричної карти, на якій показуються аномалії сили ваги. Для визначення положення пунктів гравіметричного знімання в певній системі координат, нанесення їхна карти, врахування впливу рельєфу місцевості і виключення нормального поля, проводять топографо-геодезичні роботи. При гравіметричному зніманні геодезичні роботи включають такі операції:

1. Планування мережі опорних і рядових спостережень.

2. Визначення координат і висот пунктів спостереження.

3. Нівелювання місцевості навколо гравіметричного пункту з метою введенняпоправки за рельєф у силу ваги. 

4. Закріплення пунктів спостереження на місцевості.

Розглянемо вимоги щодо точності визначення координат.Запишемо вираз дляаномалії сили ваги Буге.

(8.60)

Диференціюючи цей вираз за змінними ВіН, одержимо формулу длясередньоквадратичної похибки аномалії сили ваги

(8.61)

Швидкість зміни нормального значення сили ваги із зміною широти 
замінимо через 
.

(8.62)

Для середніх широт 36°<В<40° приймаємо, що

Для густини проміжного шару 
 одержимо, що

(8.63)

З цієї формули можна встановити вимого щодо точності визначення координатдля обчислення з відповідною точністю аномалій сили ваги. При встановленні точностівизначення планового положення гравіметричних пунктів необхідно враховуватиточність поправки за нормальне гравітаційне поле і нанесення пункту на гравіметричнукарту. При допустимій похибці аномалії сили ваги
, похибка плановихкоординат буде 
. Гравіметричний пункт на карті зображується коломдіаметром біля 1 мм, центр якого наносять з точністю (0,2-0,4) мм. Отже, граничнапохибка визначення планових координат може скласти 1,2 мм в масштабі відлікової гравіметричної карти. Це відповідає на місцевості 120 метрам для масштабу карти 1:100000, або60 метрам для масштабу 1:50000. Точність планових координат можнавстановити, якщо виходити із точності горизонтальних ґрадієнтів сили ваги 
 і 
.Так, середній горизонтальний градієнт
 на віддалі вздовж меридіана 
завиміряними значеннями сили ваги 
 і 

(8.64)

Диференціюючи цю формулу, перейдемо до похибок і одержимо:

(8.65)

Якщо не враховувати похибку виміряної різниці 
), то:

(8.66)

Враховуючи те, що 
, одержимо похибку планових координат

(8.67)

Якщо
, то тоді



Очевидно, ці вимоги щодо точності планових координат можна легко виконати.
Більші вимоги ставляться до точності визначення висот пунктів спостереження.
Так, поправка за висоту і притягання проміжного шару мас при обчислені аномалій будеприблизно дорівнювати
. Для гравіметричного знімання з похибкою

висоту необхідно визначити з точністю до 0,05 м. В залежності відточності одержання аномалій Буге і масштабу гравіметричної карти встановлюють
допуски для визначення координат і висот, які наведені в таблиці 7.
Таблиця 7.

Масштаб карти	Переріз ізоаномалій, мГал	Середня квадратична похибка
		аномалій Буге, мГал	координат, м	висот, м
1:1000000 1:500000 1:200000 1:100000 1:50000 1:25000 1:10000 1:­5000	8,00 5,00 2,00 1,00 0,50 0,25 0,20 0,10 0,10 0,05	1,50 1,50 0,80 0,40 0,20 0,10 0,08 0,04 0,04 0,02	200 200 100 80 80 20 4 4 2 2	5,00 5,00 2,50 1,20 0,70 0,35 0,20 0,10 0,10 0,05

Обсяг, методика топографо-ґеодезичних робіт визначаються вимогами щодо
точності планових координат і висот гравіметричних пунктів, залежить від фізико-географічних умов району робіт і від картографо-геодезичного забезпечення. Длявизначення планових координат використовують топографічні карти, фотоплани, теодолітні, мензульні ходи або радіогеодезичні методи. Для визначення висотзастосовують геометричне .і геодезичне нівелювання, барометричне нівелювання, гідростатичне нівелювання, стереофотограмметричні методи і топографічні карти.Геодезичні роботи для обчислення поправок за рельєф виконуються у відповідності доспособів чисельного інтегруванняїх врахування. Всі пункти закріплюються намісцевості. Пункти опорної гравіметричної мережі закріпляють спеціальними знаками, апункти рядової мережі дерев'яними кілками. Пункти опорної мережі зберігають напротязі 5-10 років, а рядової-на протязі польового сезону. Геодезичні роботи повинні вчасі випереджувати або виконуватись одночасно з гравіметричними спостереженнями.При проектуванні геодезичних робіт вибирають оптимальний варіант з мінімальнимизатратами сил і засобів. У більшості випадків вартість геодезичних робіт значноперебільшує (інколи в 2-4 рази) вартість гравіметричних робіт.

8.7. Методика складання і точність побудови гравіметричних карт.
Для того, щоб скласти гравіметричну карту, необхідно виконати такі основні етапи:

1. вибір масштабу і перерізу карти;

2. приведення гравіметричних даних в єдину систему і до єдиного гравіметричногорівня;

3. вибір густини проміжного шару;

4. інтерполювання і побудова гравіметричної карти.

Вихідною інформацією для складання карти є каталог гравіметричних пунктів.
Вибір масштабу і перерізу карти визначається густотою знімання, похибками аномалій і
складністю гравітаційного поля. Для геодезичних задач гравіметричні карти складають у масштабах: 1:1000000, 1:500000, 1:200000, 1:100000. Навколо пунктів Лапласа,пунктів супутникової основи і навколо пунктів астрономо-гравіметричного нівелюваннягравіметричні карти складають в масштабах: 1:50000, 1:25000, 1:10000. Масштабкарти вибирають в залежності від стати пунктів гравіметричного знімання з такимрозрахунком, щоб на поверхні 
 такої карти був хоч би 1 гравіметричний пункт. Багаторічний досвід виконання гравіметричних робіт встановив раціональні співвідношення між масштабом і іншими характеристиками знімання, які зведені втаблицю 8. 
Характеристики знімання і їх залежність від масштабу карти.
Таблиця 8.

Масштаб гравіме-тричної карти	Середня квадратична похибка визначення				Переріз ізоано-малій, мГал	Похибка інтер-поляції, мГал	Густота мережі
	аномалій, мГал	сили ваги, мГал	висот,м	координат, м			Кількість пунктів на 1	Віддаль між пунктами, м
Для рівнинних районів
1:500000 1:200000 1:100000 1:50000 1:25000 1:10000 1:­5000	1,50 0,80 0,40 0,20 0,10 0,08 0,04	0,50 0,40 0,30 0,15 0,06 0,06 0,03	5,00 2,50 1,20 0,70 0,35 0,20 0,10	200 100 80 80 20 4 2	5,00 2,00 1,00 0,50 0,25 0,20 0,10	2,00 1,00 0,50 0,35 0,20 0,15 0,07	0,04-0,10 0,10-0,25 0,25-1,00 2-30 12-60 20-100 50-250	2500-5000 1000-2000 500-1000 100-500 50-250 20-100 10-50
Для гірських районів
1:500000 1:200000 1:100000 1:50000 1:25000 1:10000 1:­5000	2,00 1,00 0,50 0,50 0,25 0,10 0,05	0,50 0,40 0,25 0,25 0,12 0,06 0,03	3,00 3,00 1,80 1,80 0,90 0,25 0,12	120 100 100 50 25 5 2	5,00 2,00 1,00 1,00 0,50 0,20 0,10	3,00 1,50 0,70 0,70 0,35 0,15 0,07	0,04-0,10 0,10-0,25 0,25-1,00 1-10 4-50 30-100 50-250	2500-5000 1000-2000 500-1000 100-500 50-250 20-100 10-50

При складанні гравіметричних карт для великих територій важливим є приведення всіх гравіметричних знімань в єдину систему. Це забезпечується прив’язкою до Державної опорної мережі. В гравіметричній розвідці при інтерпретації аномальногополя приймають. що аномалії сили ваги є відомими для горизонтальної площини. Щоб привести аномалії до одного рівня (середня висота ділянки знімання), необхідно знатианомалію вертикального ґрадієнта. Але безпосередньо вертикальний градієнт не вимірюють, і цей метод практично не використовують. Для цього використовують аномалії Буге, які залежать від густини проміжного шару, яку визначають загравіметричними спостереженнями. Такі спостереження виконують на різних висотахпри наземних вимірюваннях, або за спостереженнями в шахтах і свердловинах. Тодігустину визначають за формулою:

(8.68)

де:

 і 
 - прискорення сили ваги в точках 1 і 2,

 і 
-висоти точок 1 і 2.
Якщо точки 1 і 2 лежать на поверхні Землі, то в виміряні значення прискорення
сили ваги необхідно ввести поправку за рельєф.
Густина проміжного шару змінюється в значних межах (2,28-2,78г/
)залежно від геологічної будови. Найчастіше при складанні карт аномалій Буге використовують середнє значення густини земної кори 
і 
,яка відповідає значній частині проміжного шару території України.
Гравіметричні карти будують за трапеціями міжнародної розграфки. На картунаносять найважливішу топографічну ситуацію, внутрішню рамку топографічної картицього самого масштабу, гравіметричні пункти з підписаними аномаліями сили ваги.Гравіметричні пункти наносять за їх координатами (В і L, або x і у) з похибкою нtбільшою ніж 0,2 мм у масштабі карти. Пункти з однаковим значенням 
(с-переріз ізолінії, і - ціле число) з'єднують плавними лініями - ізоаномаліями.Ізоаномалії оцифровують, а кожну п’яту потовщують. Гравіметричну картурозфарбовують у декілька кольорів. Так, ізоаномалії додатних аномалій розфарбовуютьу теплі кольори – жовтий, червоний, коричневий, а від’ємних – в холодні: - зелений,синій, фіолетовий. Хід ізоліній повинен бути узгодженим на стику сусідніх планшетівкарт. Якщо складають карти середніх значень аномалій, то необхідно встановити сталірозмірів поверхні 
 для масштабу, в якому представлена дана аномалія. Длягравіметричних карт масштабу 1:200000 і 1:1000000 розміри поверхні відповіднобудуть: 1'15" × 1'52,5"; 5' × 7,5'. Якщо земна поверхня ділиться меридіанами і
паралелями, то для такого розміру поверхні приводяться середні значення аномалій.Кожна гравіметрична карта повинна мати позначення, в яких аномаліях вона складена:(у вільному повітрі, Буге) або в середніх аномаліях поверхні.
За рамками карти вказують густину земної кори, формулу нормального значення
прискорення сили ваги, масштаб карти, рік видання.
Середню квадратичну похибку аномалії сили ваги можна представити виразом:

(8.69)

де

(8.70)

Середня квадратична похибка прискорення сили ваги 
 залежить від похибок
основи (
) 1 середньої квадратичної похибки гравіметричного знімання (
).
Похибка нормального значення сили ваги 
 є функцією похибок координат пункту спостереження. Величина А означає коефіцієнтгравіметричної редукції, а 
 -похибка визначення висоти гравіметричного пункту. Середня квадратична похибка виміряної аномаліїзбільшується за вплив густини земної кори. Це стосується тиханомалій сили ваги (Буге, топографічних, ізостатичних) для обчислення яких необхіднознати густину земної кори. Точність гравіметричної карти характеризується різницею між виміряним значенням аномалії 
 і його інтерпольованим значенням 
 для тих самих пунктів «Повну» похибку інтерполяції обчислюють за формулою

(8.71)

де
n –кількість пунктів, в яких визначені ці різниці.
Для визначення похибки інтерполяції служать контрольні вимірювання в пунктах, які не використовувались при складаннігравіметричних карт. До «повної» похибки інтерполяції входять похибки аномалій сили ваги і припущення лінійної зміни аномалій між пунктами, в яких виконанівимірювання сили ваги. Цю величину називають«чистою» похибкою інтерполяції, яку обчислюють за формулою

(8.72)

Величина «чистої» похибки інтерполяції при використанні карт аномалій силиваги залежить від віддаліміж пунктами.
Експериментально похибку інтерполяції визначать за допомогою такогоприйомуштучно розріджують в 2, 4, 8, 16 разів гравіметричне знімання і зановоскладають нову карту з використанням аномалій сили ваги залишених пунктів. Далі за відхиленням

 обчислюють 
і 
 як функції середньої віддалі r між пунктами. Результати обчислень наносять на графік (рис. 40), де на осі ординатвідкладають похибку інтерполяції, а на осі абсцис - віддаль між гравіметричними пунктами.



Рис. 40
В табл. 9 подані величини «повної» похибки інтерполяції аномалій сили ваги ввільному повітрі за результатами досліджень Говорової.
Таблиця 9

Віддаль між пунктами, км	Е, мГал
3 5 7 10 15	6 9 12 16 21

Залежність 
 від віддалі  r визначається за емпіричною формулою:

,
де:
k і s - коефіцієнти емпіричної формули.
Для віддалі до 3-5 км цю залежність можна представити

,
де:
k і s - коефіцієнт, який залежить від складності гравітаційного поля.
Для рівнинних районів цей коефіцієнт 
, а для гірських районів
він може бути в 2-3 рази більшим. Похибка виміряної аномалії сили ваги 
 при
виконанні гравіметричних робіт встановлюється в 2-3 рази меншою ніж значення
«чистої» похибки інтерполяції
, а переріз ізоліній вибирають в 2-3 рази більшим, ніж 

При дослідженнях фігури Землі за гравіметричними даними істотну роль
відіграють похибки представництва аномалій сили ваги гравіметричної карти. Якщо
поле аномалій досліджуваної області розбити на трапеції з сторонами рівними середній
віддалі між гравіметричними пунктами і є хоча 6 1 пункт з відомою аномалією, тоді
«повна» похибка представництва визначатиметься за формулою:

(8.73)

де:

- спостережуване значення аномалії сили ваги,

- середнє значення аномалій трапеції,
n - кількість г гравіметричних пунктів, розміщених у межах трапеції.
Зручніше застосувати дещо інший вираз, в якому відпадає потреба одержувати
середнє значення аномалії для кожної окремої трапеції.

(8.74)

«Чисту» похибку представництва аномалій одержують шляхом вилучення із «повної» похибки представництва похибки вимірювання

(8.75)

При проектуванні гравіметричного знімання в різних районах необхідно знатипохибку представництва як функцію розмірів даної ділянки (трапеції). Для визначення
Величини «повної» похибки представництва застосовують такі дії: територіюгравіметричного знімання з густотою 1 пункт на 1
 ділять на певну кількість рівнихчастин. За розмір приймають трапецію, для якої в середньому є 4 гравіметричнихпункти. Після цього обчислюють похибку представництва. Далі гравіметричне зніманняштучно розріджують і знаходять середнє значення аномалій для трапецій більшихрозмірів, за якими обчислюють відповідну похибку представництва. Очевидно, що «повна» похибкапредставництва є функцією розмірів трапеції і залежить від складностігравітаційного поля. «Повна» і «чиста»  похибки представництва аномалій у вільномуповітрі для рівнинних районів при середній віддані між пунктами 32 км наведені втаблиці 10.

Таблиця 10 

Густота знімання	1/4	1/8	1/12	1/16	1/24	1/32	1/48
	103	127	136	139	149	155	163
	95	120	129	139	148	149	157

Емпіричним шляхом одержав Граф Хантер функціональну залежність

(8.76)

де:

  - розміри даної трапеції виражені в км,


«Чисту» похибку представництва для рівнинних районів, копи сторони криволінійної трапеції складають (20-30) км, можна визначити за емпіричноюформулою

(8.77)

Якщо r <20 км, то «чисту» похибку представництва 
 одержують із залежності

(8.78)

де:

  - сторони прямокутника.
У гірському районі «чиста» похибка представництва аномалії в вільному повітрі є
в декілька разів більшою від
 для аномалій Буге. При віддаляхr < 30 км похибка
представництва приблизно дорівнює похибці інтерполяції. Для рівнинних районів
емпіричне значення «чистої» похибки представництва для детального гравіметричного знімання (1 пункт на 3-4 
приведені в таблиці 11.
Таблиця 11

Розмір ділянки, км	, мГал	Розмір ділянки, км	, мГал
5×5	1,5±0,1	20×20	4,4±0,4
10×10	2,8±0,2	30×30	7,0±0,6

8.8. Коваріаційна функція аномалій сили ваги

Поле аномалій сили ваги приймають як процес стохастичний, а їх величини яквипадкові. Ці аномалії 
 є функцією координат на земній поверхні. Цей стохастичний процес характеризується коваріаційною функцією, яка ілюструє взаємну кореляцію між
елементами даних. Коваріаційною функцію (коваріацією) поля аномалій сили вагиназивається середнє із добутків центрованих аномалій. які знаходяться на віддалі 
між
собою.

	(8.79)
	(8.80)

де:

	(8.81)
	(8.82)

В цих формулах:

 - середнє значення аномалій сили ваги,

- центрована аномалія.
Середнє із квадратів центрованих аномалій називають дисперсією аномалій

(8.83)

Коваріація буквально означає сумісну зміну. Коваріації можуть бути не тількианомалій сили ваги, але й інших дериват гравітаційного поля (аномального потенціалу,складових відхилень прямовисних ліній, висот квазігеоїда та інше). Отже, коваріаціяхарактеризує статистичну кореляцію аномалій. Якщо коваріація дорівнює нулю, тоаномалії не корелюють між собою, тобто єнезалежними. Чим більша віддаль 
міжточками, в яких задані аномалії сили ваги, тим слабкіша кореляція. При наближенні точок кореляція збільшується і при 
коваріація перетворюється в варіацію або середньоквадратичну величину. 
Характер зміни коваріації 
від віддалі 
 між пунктами представлений на рис. 41.


Рис. 41. Коваріація дорівнює дисперсії
При 

(8.84)

При невеликих віддалях 
 добуток аномалій завжди є додатним і близьким до

, а середня величина добутку менша від дисперсії. Із збільшенням 
аномалії більше відрізняються між собою, а їх добуток може бути від’ємними, а середнєзначення ще більше зменшується. На віддалі 
 коваріація перетворюється в нуль,тобто аномалії стають некорельованими. Але фактично границя кореляції набагатоменша від 
, умовно за її міру приймають віддаль R, при якій коваріація в 
разівменша від дисперсії.

(8.85)

Цю віддаль називають радіусом кореляції 
. Крім того, використовують і іншу
більш зручну для розрахунків величину
, яку називають інтервалом кореляції:

(8.86)

Для коваріаційної функції істотним параметром є характеристичний радіус 
,який показує силу кореляції поля аномалій сили ваги. За даними Джордана між 
існує залежність:

(8.87)

(8.88)

Параметри 
використовують лише для порівняння різних коваріацій міжсобою. Для коваріаційної функції аномалій існує нерівність:

(8.89)

Така нерівність є справедливою і для коваріаційних функцій аномальногопотенціалу 
, складових відхилень прямовисних ліній 
і висот квазігеоїда ζ.Кривина коваріаційної функції визначається із співвідношення:

(8.90)

де:

(8.91)

Радіус кривини для пункту з відомою дисперсією 

(8.92)

Параметр кривини 
є безрозмірною величиною, який зв’язаний з кривиною 
коваріаційної кривої при 
.

(8.93)

Для визначення величини коваріації в досліджуваному районі повинні бути заданіцентрованіаномалії
як функції координат. Для аномалії 
знаходять всі інші 
, які перебувають від неї на віддалі 
 утворюють суми добутків 
. Потім переходять до точки 
 і все повторюють. Перебравши всі точки 
утворюють коваріації для віддалі 
.

(8.94)

Так обчислення повторюють і для іншихвіддалей і в результаті знаходятьзначення коваріації
 для досліджуваних віддалей. Коваріації дуже частодиференціюють або інтегрують при переході до коваріацій інших дериват гравітаційногополя, щоб вони між собою були добре узгоджені. Одержану експериментальну коваріаційну функціюапроксимують аналітичним виразом.
У залежності від застосування складають глобальну або локальну коваріаційні функції. Глобальна коваріаційна функція 
залежить тільки від сферичної віддалі
 між пунктами 
 (див. рис. 42).


Рис.42.

(8.95)

(8.96)

де:
θ, λ – сферичні координати точок
;

 – азимут.
У таблиці 12 наведені значення глобальної коваріаційної функції аномалій Фая,яку одержав Каула в 1959 році на основі середніх даних
, а також значенняковаріацій із досліджень Раппа і Черніга (1974 р.) на основі гармонічних коефіцієнта
розкладу потенціалу Землі в ряд за сферичними функціями до 20 порядку.

Значення коваріаційної функції аномалій Фая
Каула і Раппа-Черніга

Таблиця 12

Ψ, °	С(ψ)
	Каула,	Раппа-Черніга,
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 13,0 15,0 17,0 19,0 21,0 23,0 25,0 27,0 29,0 31,0 33,0 35,0 40,0 50,0 60,0 90,0 120,0 150,0	+12010 +7510 +4680 +3560 +3320 +3060 +2960 +2720 +2460 +2140 +1740 +1240 +1040 +820 +760 +540 +470 +450 +340 +350 +100 +200 +180 +60 +80 +50 -80 -120 -200 -300 -40 +120 -210	+17950 +8020 +5730 +4530 +3760 +3210 +2800 +2220 +1820 +1530 +1310 +1130 +980 +860 +760 +590 +460 +360 +270 +200 +140 +80 +40 0 -30 -90 -130 -160 -150 -150 +20 +70 -40

Локальні коваріаційні функції аномалій сили ваги складають для обмеженогопростору (держава, континент, регіон). Таку поверхню можна прийняти за площину, наякій є задані аномалії.
Найважливішою умовою для коваріаційної функції є 
. У випадку
дослідження коваріаційної функції аналітичиий вираз повинен задовольняти умови

(8.97)

а для локальноїковаріаційної функції перша умова може бути слабкішою

(8.98)

Найбільше застосування одержали модельніковаріаційні функції аномалії сили
ваги які наводяться нижче.

1. Модель експотенціалуКаула

(8.99)

2. Модель 
   , запропонована Хірвоненом

   (8.100)

3. Модель Віскочіла

(8.101)

де: 

 - довжина хвилі відкорельованої аномалії.

4. Модель Бесселя

(8.102)

де: 

 - модифікована функція Бесселя другого порядку першого степеня.

5. Модель Маркова другого порядку

(8.103)

6. Двопараметрична формула Джордана

(8.104)

Для рівнинних районів дисперсія 
 і відповіднорадіус кореляції
 а інтервал кореляції

Ці аналітичні модельні функції використовують для апроксимації емпіричних
коваріаційних функцій.

8.9. Прогнозування гравіметричних аномалій

Аномалії сили ваги необхідно знати в будь-якій точці земної поверхні.Їхвикористовують для розв’язування задач гравіметрії і фізичної геодезії. Але фактичноприскорення сили ваги, яке одержують із вимірювань, визначається для обмеженої кількості пунктів. Значення величини сили ваги між цими пунктами отримують шляхомінтерполяції. Крім цього, невивченими залишаються значні території акваторій морів,океанів(більша частина Тихого океану, на півдні Атлантичного і Індійського океанів) і недостатньо вивчені території Антарктиди, Північного Льодовитого океануі Африки.
Очевидно вибір методу прогнозування (передбачення) аномалій сили ваги між пунктами спостереження є дуже важливим у задачах, які розв'язуєгравіметріяі фізичнагеодезія. Значення величин гравіметричних аномалій інтерполюють або екстраполюють. Для прогнозування аномалій в пункті 
 необхідно мати інформацію про функцію розкладу аномалій на даному просторі і величинами аномалій в сусідніх пунктах. Лінійну інтерполяцію використовують, коли гравіметричне знімання виконано з достатньовеликою густотою пунктів. В інших випадках використовується інформація простатистичний розклад гравіметричних аномалій або коваріаційні функції аномалій. Метою прогнозування є знаходження виразу шуканого значення аномалій в пункті
 або
через функції спостережуваних аномалій 
в пунктах 
або звикористанням залежності

(8.105)

Якщо прогнозовану величину 
 позначити через 
, то загальна лінійна функція 
 буде мати вираз

(8.106)

Коефіцієнти 
 залежать тільки від взаємного положення пунктів 
 і пункту 
. В залежності від вибору цих коефіцієнтів можна одержати різні методипрогнозування Розглянемо декілька прикладів прогнозування.
Геометрична інтерполяція. Аналітичний вираз для геометричної інтерполяції має
такий вигляд:

(8.107)

де:

 – плоскі прямокутні координати пунктів 
, для яких відомі величини аномалії сили ваги 
.

– плоскі координати пункту 
для якого прогнозують (інтерполюють) аномалію

Рівняння (8.107) є рівнянням площини, яка визначена через координати трьохпунктів 
. Тут слід відзначити, що роль аплікати 
відіграє величина аномалії в пункті 
 Загальний вираз для інтерпольованого значення аномалії в цьому випадку буде

(8.108)

Представництво. У цьому методі приймають, що визначена величина аномалії в
одномупункті може бути представленою для певного оточення навколо цього пункту

(8.109)

якщо пункт 
 знаходиться в околиці пункту 1, тоді коефіцієнти в загальному виразі (8.108) будуть дорівнювати

(8.110)

Нульові аномалії.Якщо на великій поверхні відсутнігравіметричні вимірювання (це передовсім поверхня океанів), то приймають

(8.111)

а всі коефіцієнти 
будуть дорівнювати нулю. 
Жоден в представлених трьох методів прогнозування не дає максимальної точності. Щоб знайти такий метод, необхідно розв'язати загальний вираз (8.106) із застосуванням критерію мінімуму суми квадратів похибок.
Інтерполяція аномалій з найменшою дисперсією методом Г. Моріца
Інтерпольована аномалія 
 в будь-якій точці 
 представляється як лінійна функція всіх 
виміряних аномалій

(8.112)

де:

 – невідомі поки що коефіцієнти. В точці 
 розглянемо також істинне значення аномалії  
. Похибку інтерполяції можна визначити із співвідношення 

(8.113)

для похибки 
, в точці
 будемо мати

(8.114)

а добуток похибок буде

(8.115)

або:

(8.116)

Добуток виміряних і інтерпольованих аномалій замінимо відповідними середніми
Величинами – коваріаціями. Тодіодержимо коваріацію похибок інтерполювання:

(8.117)

В виразі (8.117) фактично фігурує одна і та ж коваріація аномалій, але для різних
точок. Тобто:

 –коваріаціявиміряних аномалій

 –коваріація інтерпольованих аномалій

 –взаємна коваріація виміряних і інтерпольованих аномалій.

Розглянемо частковий випадок формули (8.117), коли точки 
збігаються:

(8.118)

Ця формула визначає дисперсію інтерполювання. Крім вказаних вище коваріацій,
вона включає коефіцієнти
. Щоб їх визначити, ставимо вимогу про мінімізацію дисперсії.

(8.119)

А це є еквівалентно системі нормальних рівнянь типу

(8.120)

Похідна від першого члена формули (8.118) є сумою двох рівних членів

(8.121)

У розгорнутому вигляді одержимо нормальне рівняння

(8.122)

В цьому рівнянні немає виміряних аномалій. Після заміни індексів 
,знаходимо систему нормальних рівнянь

(8.123)

Значення 
в цій системі можна розглядати як елементи симетричної матриці 
,визначник якоїзавжди додатний. Тому матриця має обернену 
і коефіцієнти 
,виражають у явному вигляді:

(8.124)

де:

 - елементи матриці
, оберненої до коваріаційної матриці
 з елементами 
.
Підставляючи це значення 
в (8.112) і (8.118) знаходимо:

	(8.125)
	(8.126)

Отже, задача інтерполювання аномалій з найменшою дисперсією розв'язана.