- •Контрольная работа
- •По дисциплине
- •« Теория вероятностей »
- •Вариант 1
- •2. Задание:
- •1) На удачу взятая сборщиком деталь оказалась отличного качества.
- •2) Выбранная деталь отличного качества изготовлена третьим заводом.
- •4. Задание:
- •5. Задание:
- •6. Задание:
- •7. Задание:
- •8. Задание:
- •9. Задание:
- •10. Задание:
- •11. Задание:
- •12. Задание:
5. Задание:
Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно четырем. Найти вероятность того, что за две минуты поступит:
А) шесть вызовов.
Б) менее шести вызовов.
Решение:
1. вероятность того, что за две минуты поступит 6 вызовов
математическое ожидание числа вызовов за 2 минуты равно L = 2*4 = 8
P(k) = l^k*e^(-l)/k!
P(k) = 8^6*e^(-8)/6! = 262144*0.000335/720 = 87.81824/720 = 0.1219
2. вероятность того, что за две минуты поступит менее 6 вызовов
т.е. 5 и менее вызовов
P(k<6) = P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)
P(0) = 8^0*e^(-8)/0! = 1*0.000335/1 = 0.000335
P(1) = 8^1*e^(-8)/1! = 8*0.000335/1 = 0.00268
P(2) = 8^2*e^(-8)/2! = 64*0.000335/2 = 0.01072
P(3) = 8^3*e^(-8)/3! = 520*0.000335/6 = 0.02903
P(4) = 8^4*e^(-8)/4! = 4096*0.000335/24 = 0.05717
P(5) = 8^5*e^(-8)/5! = 32768*0.000335/120 = 0.091477
P(k<6) = 0.000335 + 0.00268 + 0.01072 + 0.02903 + 0.05717 + 0.091477 = 0.191412
----------------
6. Задание:
На конвейер за смену поступает n изделий. Вероятность того, что поступившая на конвейер деталь стандартна, равна p. Найти вероятность того, что стандартных деталей на конвейер за смену поступило ровно m.
n = 300; p = 0.75; m = 240;
Решение:
Локальная теорема Лапласа
n = 300; общее кол-во изделий
p = 0.75; вероятность что деталь на конвейре стандартна
m = 240;
q = 1 - p; вероятность не стандартной детали
npq = 300*0.75*(1-0.75)= 56.25
Pn(m) = 1/(sqrt(npq))*fi(x), fi(x)= 1/(sqrt(2*pi))^e^-(x^2/2), x = (m-n*p)/(sqrt(npq))
x = (m-n*p)/(sqrt(npq)) = (240 - 300 * 0.75) / (sqrt(300*0.75*(1-0.75))) = 15/7.5 = 2
fi(2) = 1/(sqrt(2*pi))^e^-(x^2/2) = 1 / (sqrt(2*3,14))^e^-(2^2 / 2) = 0.3850
P300(240) = 1/7.5 * 0.3850 = 0.133 * 0.3850 = 0.0513
Вероятность того, что что стандартных деталей на конвейер за смену поступило ровно m = 0.0513
----------------
7. Задание:
Определить математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение случайной величины; построить функцию распределения F(x), если закон распределения этой случайной величины имеет вид:
-
Значение
12
14
18
24
27
Вероятность
0.2
0.1
0.3
0.2
?
Решение:
-
Значение
12
14
18
24
27
Вероятность
0.2
0.1
0.3
0.2
0.2
Находим математическое ожидание:
М[x] = = 12*0.2+14*0.1+18*0.3+24*0.2+27*0.2 = 2.4+1.4+4.8+5.4 = 14
Находим дисперсию:
D(X) = M(X²) - [M(X)]²
M(X²) =∑x²(i)*p(i) = 122*0.2+142*0.1+182*0.3+242*0.2+272*0.2 = 28.8+19.6+97.2+115.2+145.8 = 406.6
[M(X)]² = (14)² = 196
D(X) = 406.6 – 196 = 210.6
Находим среднее квадратическое отклонение:
σ(X) = √D(X) = √210.6 = 14.512
Составим функцию распределения:
F(x)=P(X<x)
1. F(x)=P(X<12)=0
2. F(x)=P(X<14)=P(X=12)=0,2
3. F(x)=P(X<18)=P(X=12)+P(X=14)=0,2+0,1=0,3
4. F(x)=P(X<24)=P(X=12)+P(X=14)+P(X=18)=0,2+0,1+0,3=0,5
5. F(x)=P(X<27)=P(X=12)+P(X=14)+P(X=18)+P(X=24)=0,5+0,4=0,9
6. F(x)=P(X>27)=0,9+0,1=1
Компактная запись функции распределения - система:
{0, x ≤ 12
{0.2, 12 < x ≤ 14
F(x)=P(X < x) ={0.3, 14 < x ≤ 18
{0.5, 18 < x ≤ 24
{0.9, 24 < x ≤ 27
{1, x > 27
----------------