- •Контрольная работа
- •По дисциплине
- •« Теория вероятностей »
- •Вариант 1
- •2. Задание:
- •1) На удачу взятая сборщиком деталь оказалась отличного качества.
- •2) Выбранная деталь отличного качества изготовлена третьим заводом.
- •4. Задание:
- •5. Задание:
- •6. Задание:
- •7. Задание:
- •8. Задание:
- •9. Задание:
- •10. Задание:
- •11. Задание:
- •12. Задание:
8. Задание:
Производится три независимых опыта, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью 0.6. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины Х числа появления события А в трех опытах. Найти числовые характеристики этой случайной величины Х.
Решение:
P(k) = Cnkpkqn-k Формула Бернулли
P(0) = 0.43 = 0.064
P(1) = 3*0.42*0.6 = 3*0.16*0.6 = 0.288
P(2) = 3*0.4*0.62 = 0.432
P(3) = 0.63 = 0.216
P(A) = 0.064+0.288+0.432+0.216 = 1
----------------
9. Задание:
Случайная величина Х задана интегральной функцией (функцией распределения) F(x).
Найти:
А) дифференциальную функцию (плотность вероятности) f(x);
Б) математическое ожидание и дисперсию.
В) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (a, b);
(0.5; 2)
Решение:
Найдем плотность распределения случайной величины Х как производную функции распределения:
Найдем метаметическое ожидание:
Найдем дисперсию:
вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0.5; 2).
Р( 0.5 < X < 2) = F(2) – F(0.5) = 1 – (0.5)2 = 1 – 0.25 = 0.75
Плотность распределения f(x)
Плотность распределения F(x)
-------------------
10. Задание:
Случайная величина Х задана дифференциальной функцией (плотность вероятности) f(x).
Найти:
А) интегральную функцию (функцию распределения) F(x);
Б) математическое ожидание и дисперсию.
В) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (a, b);
(7; 14)
Решение:
A) Найдем функцию распределения F(x).
Если x < 0, то f(x) = 0
F(x) =
Если , то f(x) =
F(x) =
Таким образом функция распределения
Б) Вычислим математическое ожидание:
М(Х) = = 6.67
2
D (X) = 50 – 6.672 = 50 – 44.48 = 5.52
В) Вероятность того, что случайная величина Х в интервале (7; 14).
Р(
-------------------
11. Задание:
Для нормально распределенной случайной величины Х известны математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение .
Найти:
А) вероятность того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу ( );
Б) вероятность того, что абсолютная величина разности Х – окажется меньше .
|
|
|
|
|
10 |
4 |
8 |
20 |
8 |
Решение:
А) P (8 < X < 20) = Ф 0.4938 + 0.0199 = 0.5137
Б) Р (|X - a| < 8) = 2Ф( = 2*0.47772 = 0.9544
-------------------
12. Задание:
Обработка вариационного ряда. Гистограмма. Полигон.
Задана совокупность вариационных (статистических) рядов.
m |
Интервалы |
|||||||||||
50 52 |
52 54 |
54 56 |
56 58 |
58 60 |
60 62 |
62 64 |
64 66 |
66 68 |
68 70 |
70 72 |
72 74 |
n |
Частоты |
|||||||||||
5 |
12 |
21 |
32 |
37 |
43 |
39 |
19 |
15 |
8 |
5 |
4 |
Найти: а) моду и медиану; б) среднее выборочное; в) статистическую дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.
Построить гистограмму распределения.
Найти теоритические частоты при гипотезе, что случайная величина распределена нормально.
Построить полигон распределения и теоритическую кривую распределения.
Применить критерии Пирсона и Колмогорова для проверки гипотезы о нормальности распределения.
Построить доверительный интервал для стреднего при доверетельной вероятности 0.8.
Решение:
Таблица для расчета показателей.
Группы |
Середина интервала, xцентр |
Кол-во, fi |
xi·fi |
Накопленная частота, S |
|x-xср|·fi |
(x-xср)2·fi |
Относительная частота, fi/f |
50 - 52 |
51 |
5 |
255 |
5 |
48.583 |
472.068 |
0.0208 |
52 - 54 |
53 |
12 |
636 |
17 |
92.6 |
714.563 |
0.05 |
54 - 56 |
55 |
21 |
1155 |
38 |
120.05 |
686.286 |
0.0875 |
56 - 58 |
57 |
32 |
1824 |
70 |
118.933 |
442.036 |
0.133 |
58 - 60 |
59 |
37 |
2183 |
107 |
63.517 |
109.037 |
0.154 |
60 - 62 |
61 |
43 |
2623 |
150 |
12.183 |
3.452 |
0.179 |
62 - 64 |
63 |
39 |
2457 |
189 |
89.05 |
203.331 |
0.163 |
64 - 66 |
65 |
19 |
1235 |
208 |
81.383 |
348.592 |
0.0792 |
66 - 68 |
67 |
15 |
1005 |
223 |
94.25 |
592.204 |
0.0625 |
68 - 70 |
69 |
8 |
552 |
231 |
66.267 |
548.909 |
0.0333 |
70 - 72 |
71 |
5 |
355 |
236 |
51.417 |
528.735 |
0.0208 |
72 - 74 |
73 |
4 |
292 |
240 |
49.133 |
603.521 |
0.0167 |
Итого |
|
240 |
14572 |
|
887.367 |
5252.733 |
1 |
Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:
Показатели центра распределения.
Средняя взвешенная (выборочная средняя)
Мода.
Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.
где x0 – начало модального интервала; h – величина интервала; f2 –частота, соответствующая модальному интервалу; f1 – предмодальная частота; f3 – послемодальная частота.
Выбираем в качестве начала интервала 60, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.
Наиболее часто встречающееся значение ряда – 61.2
Медиана.
Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина — больше.
Медиана служит хорошей характеристикой при ассиметричном распределении данных, т.к. даже при наличии "выбросов" данных, медиана более устойчива к воздействию отклоняющихся данных.
В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться мода или медиана. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Медианным является интервал 60 - 62, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот).
Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 60.605.
В симметричных рядах распределения значение моды и медианы совпадают со средней величиной (xср=Me=Mo), а в умеренно асимметричных они соотносятся таким образом: 3(xср-Me) ≈ xср-Mo
Среднее значение изучаемого признака по способу моментов.
где А – условный нуль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой), h – шаг интервала.
Находим А = 61
Шаг интервала h = 2
Средний квадрат отклонений по способу моментов.
𝐷 =
xц |
x∙i |
fi |
x∙ifi |
[x∙i]2fi |
51 |
-5 |
5 |
-25 |
125 |
53 |
-4 |
12 |
-48 |
192 |
55 |
-3 |
21 |
-63 |
189 |
57 |
-2 |
32 |
-64 |
128 |
59 |
-1 |
37 |
-37 |
37 |
61 |
0 |
43 |
0 |
0 |
63 |
1 |
39 |
39 |
39 |
65 |
2 |
19 |
38 |
76 |
67 |
3 |
15 |
45 |
135 |
69 |
4 |
8 |
32 |
128 |
71 |
5 |
5 |
25 |
125 |
73 |
6 |
4 |
24 |
144 |
|
|
240 |
-34 |
1318 |
Среднее квадратическое отклонение.
Показатели вариации.
Абсолютные показатели вариации.
Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.
R = xmax - xmin = 74 - 50 = 24
Среднее линейное отклонение - вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.
𝑑 = = = 3.697
Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 3.697
Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).
𝐷 = = = 21.886
Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).
= = 21.978
Среднее квадратическое отклонение.
Каждое значение ряда отличается от среднего значения 60.717 в среднем на 4.678
Оценка среднеквадратического отклонения.
Интервальное оценивание центра генеральной совокупности.
Доверительный интервал для генерального среднего.
В этом случае 2Ф(tkp) = γ
Ф(tkp) = γ/2 = 0.8/2 = 0.4
По таблице функции Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0.4
tkp(γ) = (0.4) = 1.29
Стандартная ошибка выборки для среднего:
Стандартная ошибка среднего указывает, на сколько среднее выборки 60.717 отличается от среднего генеральной совокупности.
Предельная ошибка выборки:
или
ε = tkp sc = 1.29∙0.303 = 0.39
Доверительный интервал:
(60.717 - 0.39;60.717 + 0.39) = (60.326;61.107)
С вероятностью 0.8 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.
Проверка гипотез о виде распределения.
1. Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.
где pi — вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону
Для вычисления вероятностей pi применим формулу и таблицу функции Лапласа
где
s = 4.678, xср = 60.717
Теоретическая (ожидаемая) частота равна fi = fpi, где f = 240
Вероятность попадания в i-й интервал: pi = Ф(x2) - Ф(x1)
xi÷xi+1 |
fi |
x1 = (xi - xср)/s |
x2 = (xi+1 - xср)/s |
Ф(x1) |
Ф(x2) |
pi=Ф(x2)-Ф(x1) |
Ожидаемая частота, 240pi |
Слагаемые статистики Пирсона, Ki |
50 - 52 |
5 |
-2.2859 |
-1.8593 |
-0.4893 |
-0.4686 |
0.0207 |
4.968 |
0.000206 |
52 - 54 |
12 |
-1.8593 |
-1.4327 |
-0.4686 |
-0.4251 |
0.0435 |
10.44 |
0.2331 |
54 - 56 |
21 |
-1.4327 |
-1.0061 |
-0.4251 |
-0.3438 |
0.0813 |
19.512 |
0.1135 |
56 - 58 |
32 |
-1.0061 |
-0.5795 |
-0.3438 |
-0.219 |
0.1248 |
29.952 |
0.14 |
58 - 60 |
37 |
-0.5795 |
-0.1529 |
-0.219 |
-0.0636 |
0.1554 |
37.296 |
0.00235 |
60 - 62 |
43 |
-0.1529 |
0.2737 |
-0.0636 |
0.1103 |
0.1739 |
41.736 |
0.03828 |
62 - 64 |
39 |
0.2737 |
0.7004 |
0.1103 |
0.2611 |
0.1508 |
36.192 |
0.2179 |
64 - 66 |
19 |
0.7004 |
1.127 |
0.2611 |
0.3708 |
0.1097 |
26.328 |
2.0396 |
66 - 68 |
15 |
1.127 |
1.5536 |
0.3708 |
0.4406 |
0.0698 |
16.752 |
0.1832 |
68 - 70 |
8 |
1.5536 |
1.9802 |
0.4406 |
0.4767 |
0.0361 |
8.664 |
0.05089 |
70 - 72 |
5 |
1.9802 |
2.4068 |
0.4767 |
0.4922 |
0.0155 |
3.72 |
0.4404 |
72 - 74 |
4 |
2.4068 |
2.8334 |
0.4922 |
0.4977 |
0.0055 |
1.32 |
5.4412 |
|
240 |
|
|
|
|
|
|
8.9007 |
Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение Kнабл, тем сильнее довод против основной гипотезы.
Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [Kkp;+∞).
Её границу Kkp = χ2(k-r-1;α) находим по таблицам распределения χ2 и заданным значениям s, k (число интервалов), r=2 (параметры xcp и s оценены по выборке).
Kkp = χ2(12-2-1;0.05) = 16.91898; Kнабл = 8.9
Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую область: Кнабл < Kkp, поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу. Справедливо предположение о том, что данные выборки имеют нормальное распределение.
Выводы:
Каждое значение ряда отличается от среднего значения 60.717 в среднем на 4.678.
Среднее значение примерно равно моде и медиане, что свидетельствует о нормальном распределении выборки.
Проверка гипотезы по критерию согласия Пирсона показала, что нет оснований отвергать гипотезу о нормальном законе распределения.
Функция распределения F(X).
F(x≤50) = 0
F(50<x≤52) = 0 + 0.020833333333333 = 0.020833333333333
F(52<x≤54) = 0.020833333333333 + 0.05 = 0.070833333333333
F(54<x≤56) = 0.070833333333333 + 0.0875 = 0.15833333333333
F(56<x≤58) = 0.15833333333333 + 0.13333333333333 = 0.29166666666667
F(58<x≤60) = 0.29166666666667 + 0.15416666666667 = 0.44583333333333
F(60<x≤62) = 0.44583333333333 + 0.17916666666667 = 0.625
F(62<x≤64) = 0.625 + 0.1625 = 0.7875
F(64<x≤66) = 0.7875 + 0.079166666666667 = 0.86666666666667
F(66<x≤68) = 0.86666666666667 + 0.0625 = 0.92916666666667
F(68<x≤70) = 0.92916666666667 + 0.033333333333333 = 0.9625
F(70<x≤72) = 0.9625 + 0.020833333333333 = 0.98333333333333
F(72<x≤74) = 0.98333333333333 + 0.016666666666667 = 1
F(x>74) = 1