- •Свойства скалярного произведения
- •Свойства векторного произведения
- •Вариант 4
- •Варианты аудиторной самостоятельной работы по теме «Векторная алгебра»
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 13
- •Вариант 15
- •Вариант 17
- •Вариант 19
- •Вариант 21
- •Вариант 24
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Гусаренко Елена Леонардовна Майзелес Софья Беньямнновна
- •ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
1. Даны вершины тетраэдра О (-5; -4; 8), А (2; 3; |
1), |
5 (4 ; 1; —2), С (6; 3; 7). Найти длину И высоты, опущенной |
из |
вершины О на грань АВС. |
|
2. Найти ((55+ 3 6 )-(2 5 -6 )), если |5| = 2, |б| = 3 ,5 ± 6 |
|
3. Даны два вектора 5 = {8; 4; 1}, 6 = {2; - 2; l}, выходящие
из одной и той же точки. Найти вектор с , выходящий из этой же точки, перпендикулярный к вектору 5 , равный ему по дли
не, компланарный с векторами 5 и 6 , образующий с вектором
6острый угол.
4.Векторы 5, 6, с имеют равные длины и образуют по
парно равные углы. Найти вектор с , если 5 = / + j, Ъ = j |
+к |
||||||
5. Найти |
проекции вектора 5 |
на оси |
координат, |
если |
|||
a = AB + C D , |
А (0; 0; 1 ),5 (3 ;2 ; 1),С (4;6; 5), D (1; 6; 3). |
|
|
||||
|
|
|
Вариант 17 |
|
|
|
|
1. |
Даны |
радиус-векторы |
вершин |
треугольника АВС: |
|||
гА = {1; 2; 3}, |
гв = {3; 2; l}, гс = {1; 4; l}. Показать, что треуголь |
||||||
ник АВС равносторонний. |
|
|
|
|
|||
2. |
Найти |
модуль вектора 5 = 2т - З й , где т и п - |
еди |
||||
ничные векторы, составляющие угол 60°. |
|
|
|
||||
3. |
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на |
||||||
векторах 5 + 36 и 35 + 6 , если |5| = |
= 1, |
О |
|
|
|||
|
|
|
|||||
4. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого нахо |
|||||||
дятся в точках А (2; -1; 1), 5 (5; 5; 4), С (3; 2; -1), D (4; |
1; 3), и |
||||||
длину высоты, опущенной из вершины А. |
|
|
|
||||
5. |
Вычислить |
проекцию вектора |
A = 3p-\2q + 4г |
на ось, |
|||
имеющую направление вектора В = (p - 2r)x(p + 3q - 4 г ) , если |
|||||||
p ,q ,r |
- взаимно перпендикулярные векторы. |
|
|
|
1. Даны радиус-векторы трех последовательных вершин па раллелограмма ABCD: гА = {1; 1; l}, гв = {1; 3; 5}, гс = {7; 9; 11}.
Определить радиус-вектор четвертой вершины D.
2. Вычислить длины диагоналей и площадь параллело
грамма, построенного на векторах а = к - j |
и b = i + j |
+ к . |
3. Доказать, что точки А (1; 0; 7), В (-1; -1; 2), С (2; -2; 2), |
||
D (0; 1; 9) лежат в одной плоскости. Найти |
векторное |
произве |
дение векторов АВ и CD .
4. Вычислить, какую работу производит сила F = {3; - 2; 5}, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемеща ется из положения А (2; -3; 5) в положение В (3; -2 ; -1).
5. Даны |
вершины |
пирамиды |
А (4; 0; 0), |
В (-2; 1; 2), |
С (1; 3; 2), D (3; 2; 7). Найти угол между ребрами АВ и AD, пло |
||||
щадь грани АВС, проекцию вектора АС на вектор A D , объем |
||||
пирамиды. |
|
|
|
|
|
|
Вариант 19 |
|
|
1. Найти |
объем |
тетраэдра, |
построенного |
на векторах |
ОА, ОВ, ОС, если эти векторы направлены по биссектрисам ко ординатных углов и длина каждого из них равна 2.
2.Найти площадь треугольника с вершинами А (-1; 2; 3),
В(2; 1; 4), С (0; -3; 4) и длину высоты, опущенной из вершины В.
3.Даны четыре точки А (-2; 3; -4), В (3; 2; 5), С (1; -1 ; 2),
D (3; 2; -4). Вычислить проекцию вектора |
АВ на вектор |
CD и |
||
угол между векторами АВ и А С . |
|
|
|
|
4. Вычислить, |
какую |
работу |
производит |
сила |
F = {3; - 5; 2}, когда ее точка приложения |
перемещается из на |
чала в конец вектора S = {2; - 5: - 7}.
5. Найти единичный вектор того же направления, что и вектор a - i + 2j + 2к
1.Построить пирамиду с вершинами О (0; 0; 0), А (5; 2; 0),
В(2; 5; 0), С (1; 2; 4) и вычислить ее объем, площадь грани АВС и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.
2. Даны векторы а = {2; 2; l} и В = {6; 3; 2}. Найти пр56 и
п р ^ а . Найти площадь параллелограмма, построенного на этих
векторах.
3. АВ = а +26, ВС = -45 - В, CD = -55 - 3В Доказать,
что ABCD - трапеция.
4.Вычислить площадь треугольника с вершинами А (2; 2; 2),
В(4; 0; 3), С (0; 1; 0) и длину высоты, опущенной из вершины С.
5.Точка А (2; 3; 4) твердого тела закреплена. В точке его
В(0; 3; 4) приложена сила F = {0; 5; 1}. Найти момент силы от носительно точки А.
Вариант 21
1. На материальную точку действуют силы / | = 2/ - j - к ,
/ 2 = - / + 2j + 2 к , / 3 = / + j - 2к Найти работу равнодейст
вующей этих сил R при перемещении точки из положения
А(2; -1; 0) в положение В (4; 1; -1).
2.Точка О является центром тяжести треугольника АВС.
Доказать: ОА + ОВ + ОС - б .
3. Доказать, что точки А (5; 7; -2), В (3; 1; -1), С (9; 4; -4), D (1; 5; 0) лежат в одной плоскости. Найти проекцию вектора
АВ на направление вектора CD.
4. Найти площадь треугольника АВС, если известны про екции его сторон С4 = {X],у ,,г,} и СВ = {х2,У2 ,гг). Найти угол
между векторами СА и СВ.
5. При каком значении т векторы a - mi + j и
В = 3/ - Зу + 4ifc перпендикулярны?
1. |
Даны векторы ОА = а |
и ОВ = В , |
причем |а| = 2, |
|
|£| = 4, |
(aAfc)= 60° Определить |
угол |
между |
медианой ОМ |
треугольника АОВ и стороной ОА . |
р - { 2; —З}, q = {1; 2} |
|||
2. |
На плоскости даны два вектора |
|||
Найти разложение вектора а = {9; 4} по базису |
р, q |
3.Даны вершины треугольника А (1; -1; 2), В (5; -6; 2),
С(1; 3; -1). Вычислить длину его высоты, опущенной из верши ны В на сторону АС.
4.Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами
А(0; О,- 1), В (2; 3; 5), С (6; 2; 3), D (3; 7; 2) и угол между векто
рами АВ и AD |
|
|
|
|
|
|
|
5. Найти вектор |
d , перпендикулярный векторам a = i + j |
||||||
и В = 2j - к , |
если |
известно, |
что его |
проекция |
на |
вектор |
|
с = i + 2j + 2к |
равна единице. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 24 |
|
|
|
|
|
1. Вектор с перпендикулярен к векторам а |
и b |
Угол ме |
|||||
жду а и b равен 30° Зная, что |
6, |
Ь\ =3, |
|с| = 3 |
вычис |
|||
лить abc |
|
|
|
|
|
|
|
2. Вычислить |
площадь |
треугольника |
с вершинами |
Л (1; 1; 1), .В (2; 3; 4), С (4; 3; 2) и длину высоты, опущенной из вершины А.
3. Даны три точки: А (1; 1; 1), В (2; 2; 1), С (2; 1; 2). Найти угол ф = Z ВАС
4. Дан треугольник АВС. На стороне ВС расположена точка
М так, что ВМ - X МС Найти A M , если АВ = В, АС = с
5. Даны точки А (1; 1; 1), В (4; 5; -3). Найти проекции век
тора АВ на ось и, составляющую с координатными осями рав ные острые углы.
1.Даны точки Л (2; -1; 2), В (1; 2; -1), С (3; 2; 1). Найти ко ординаты векторного произведения [ в с - 2 Са \*СВ .
2.Могут ли отличные от нуля числа х1,х2,х3,уиу2,уг, zl,z2,zi удовлетворять уравнениям:
X, |
у, |
Z, |
xlx2 +yiy2 +ziz2 =0; |
х 2 |
У г |
z 2 |
= ° ;х \х з + У \ У з + г \г з= 0; |
* з |
Уз |
г з |
х 1 х З + У г У з + г 2г З =0 . |
3. Дан треугольник АВС: А (2; -1; 3), В (1; 4; 2), С (3; 1; -1). Найти его площадь, длину сторон, длину высоты, опущенной из вершины С.
4. На плоскости дан треугольник с вершинами О (0; 0), А (2а; 0), В (а; -а). Найти угол, образованный стороной ОВ с ме дианой ОМ этого треугольника.
5. Радиусами-векторами вершин треугольника АВС явля
ются Я„Я2,г3. Найти |
радиус-вектор точки |
пересечения медиан |
||||
треугольника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 26 |
|
|
|
|
1. Векторы |
5 и |
В образуют угол —л . Зная, что |5| = 1, |
||||
6 = 2 , вычислить: |
|
|
|
|
|
|
a) (axb)12;43 |
б) [(25 + 6 )х (5+ 26)]2 |
|
|
|
||
2. Определить |
углы треугольника |
АВС |
с |
вершинами |
||
Л (2 ;-1 ;3 ), В (1; |
1; 1), С (0; 0; 5). |
|
|
|
|
|
3. Вычислить |
смешанное |
произведение |
векторов: |
|||
( а - б ) ( б - с ) ( с - 5 ) . |
|
|
|
|
|
|
4. Даны вершины пирамиды |
А (6; |
1; 5), |
В |
(-1; 3; 0), |
С (4; 5; -2), D (1; -1; 6). Найти площадь грани BCD, проекцию вектора AD на вектор АВ , угол между ребрами CD и AD, объ ем пирамиды.