- •Свойства скалярного произведения
- •Свойства векторного произведения
- •Вариант 4
- •Варианты аудиторной самостоятельной работы по теме «Векторная алгебра»
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 13
- •Вариант 15
- •Вариант 17
- •Вариант 19
- •Вариант 21
- •Вариант 24
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Гусаренко Елена Леонардовна Майзелес Софья Беньямнновна
- •ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
5. Найти величину силы F = { 4; 4 ;-2 } и ее углы с осями
координат. Вычислить работу, производимую этой силой, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения А (1; -3 ; 4) в положение В (2; -2; -1).
Вариант 27
1. Даны |
три |
|
вектора: |
а = 2/ - j + Зк; |
В = / - 3j +2к; |
|||||||
с - 3/ + 2] - 4к |
Найти вектор d , удовлетворяющий условиям: |
|||||||||||
(d a)=-5;(d-b)=-\\-, |
[d с)= 20. |
|
|
|
|
|
||||||
2. |
Вычислить внешние углы треугольника с вершинами |
|||||||||||
А (1; 2; |
1), В (3; -1; 7), С (7; 4; -2); убедиться, что этот треуголь |
|||||||||||
ник равнобедренный. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. Найти вектор х , зная, что он перпендикулярен к векто |
||||||||||||
рам 5 = { 2 ;-3 ;l} |
и |
Ь = {\\-2\Ъ] |
и удовлетворяет условию |
|||||||||
Jt(/ + 2 у - 7 £ ) = 1 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
Показать, |
что |
векторы |
a = 2i + 5_/ + lk\ |
|
b = i + j - i c ; |
||||||
с = i + 2j + 2k |
компланарны. Вычислить площадь треугольни |
|||||||||||
ка, построенного на векторах В |
и |
с Разложить |
вектор с |
по |
||||||||
векторам а и В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
Объем |
тетраэдра V = 5 , |
три |
его |
вершины |
находятся |
в |
|||||
точках А (2; 1; -1), |
В (3; 0; 1), С (2; -1; |
3). Найти |
координаты |
|||||||||
четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси OY. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Вариант 28 |
|
|
|
|
||
1. |
Вычислить |
sin (л £ ЛС£>), |
если А (2; 3; 4), |
В (-1; 0; |
1), |
|||||||
С (1; 2; 3), D (0; -1; 2). |
|
|
В = {1;0;5}, |
|
|
|
||||||
2. |
Даны |
векторы: |
а = {2; 1;0}, |
c = { 0 ;3 ;-l} , |
||||||||
d = {5; 16; 10}. Найти разложение вектора d по базису а, В, с |
|
|||||||||||
3. |
Вектор |
х ± 5 |
= { 4 ; - 2 ; - 3 } и |
3c_L6 = {0;1;3} образует с |
||||||||
осью OY тупой угол, |х| = 26. Найти координаты вектора х |
|
4. Из вершины квадрата проведены прямые, делящие про тивоположные стороны пополам. Найти угол между этими пря мыми.
5. Даны |
векторы |
а = { 2;l;l}, 6= {l;3;l}, |
c = {l;l;5}, |
d = { 2 ;3 ;-3 } . |
Найти вектор х , удовлетворяющий условиям: |
||
{а ■х) = 2; (б • х) = 5; (с • х) = -7; (с/ • jc)= 14. |
|
||
|
|
Вариант 29 |
|
1. Даны |
вершины |
AMKN М (-1; -2; 4), |
N (3; -2; 1), |
К (-4; -2; 0). Найти длину отрезка АВ, где точки А и В - соответ ственно середины отрезков МК и KN.
2. |
Пусть |
а = |
; 1; - j, |
b ={ - 3; - 2; 5}. Существует |
ли |
||
вектор х , удовлетворяющий условиям (а ■х) = 2, (б • ic)= 3 ? |
|
||||||
3. |
Пусть |
даны |
векторы: |
5г = {3;2;5}, 52 = {2;4;7}, |
|||
53 = { 5; 6; 0}. Найти |
прйз (а, + а2) . |
|
|
||||
4. |
Найти |
вектор |
х , |
зная, |
что х 1 а = {2; 3; - |
1}, |
х -L b = {1; - 2;3} и (i • (2/ - j + ^))= -6 .
5.Даны вершины треугольника АВС: А (1; 2; 1), В (3; -1; 7),
С(7; 4; -2). Убедиться, что треугольник АОВ равнобедренный.
(О - точка пересечения медиан треугольника АВС). |
|
|||
|
Вариант 30 |
|
||
1. Вектор |
т , перпендикулярный к оси OZ и к вектору |
|||
5 = {8; —15; з}, |
образует с |
осью ОХ острый угол. Зная, что |
||
|т | = 51, найти координаты вектора т . |
|
|||
2. Даны |
вершины |
треугольника АВС: |
А (3; 2;-3), |
|
В (-4; -2 ; 0), С (1; -2; 1). Найти длину медианы СК. |
|
|||
3. Найти |
вектор |
х , |
удовлетворяющий |
условию |
(а-£ -Зс)= а, где а -ч и с л о , |
5 = {1; 2; 1 >, £ = {3;-1;1}. |
|
4. Доказать, что точки Е (4; 1; -2), F (5; 2; -1), М (5; 3; 1),
N (5; 4; 4) не лежат в одной плоскости. |
|
|
|
|||||
5. Разложить |
вектор |
= {5; 9; О} |
|
по |
базису |
|||
0\ = {4;4;3},52 = {7 ;2 ;l},5 3 = {4; 1;б}. |
|
|
|
|||||
|
|
Индивидуальные задания |
|
|
|
|||
для домашней самостоятельной работы № 2 |
|
|||||||
Задание 1. Коллинеарны ли векторы с1 и с2 , разложенные |
||||||||
по векторам а и 6 |
|
|
|
|
|
|
||
1.1. а = {1;-2;3}, |
|
6 = { 3 ;0 ;- 1}, с1=2а + 46, |
с2 = З а - Ь ; |
|||||
1.2. |
5 |
= { 1;0; 1}, 6 = { -2 ;3 ;5 } , с, = 5 + 26, |
с2 =За -Ь ; |
|||||
1.3. |
5 |
= { - 2 ;4 ;l}, |
|
6 = {1 ;- 2 ;7}, с, =55 + 36, |
с2 = 2 5 - 6 ; |
|||
1.4. |
5 |
= {1; 2; —3}, |
6 = {2; -1; -1}, 5| = 45 + 36, с2 = 85 - 6 ; |
|||||
1.5. |
5 = {3; 5; 4}, 6 = {5;9; 7}, с1=-25 + 6, |
с2 = 3 5 -2 6 ; |
||||||
1.6. |
5 |
= {1; 4; - 2}, |
|
6 = {1; 1; - 1}, с} = 5 + 6, |
с2 = 45 + 26 ; |
|||
1.7. |
5 |
= {1;- 2; 5}, |
6 = {3; —1; б}, |
ct = 4 5 - 2 6 , |
с2 = 6 - 25 ; |
|||
1.8. |
5 |
= {3;4; —l}, 6 = { 2 ;-l;l} , |
с, = 6 5 - 3 6 , |
с2 = 6 - 2 5 ; |
||||
1.9. |
5 = {—2; —3; —2}, 6 = {l;0;5},c, =35 + 9 6 ,с2 = - 5 - 3 6 ; |
|||||||
1.10. |
5 = {—1;4;2}, |
6 = {3 ;-2 ;б } , с, = 2 5 - 6 , |
с2 = 3 6 - 6 5 ; |
|||||
1.11. |
5 = {5;0;-1}, |
|
6 = {7;2;3}, |
с, = 2 5 - 6 , с2 = 3 6 + 6 5 ; |
||||
1.12. |
5 = { 0 ;3 ;-2 } , |
6 = { l;- 2 ;l} ,c , = 5 5 - 2 6 , |
с2 =35 + 26; |
1.13.5 = { - 2 ;7 ; - l},6 = {- 3;5;2},5] = 25 + 3 6 ,с2 = 35 + 26 ;
1.14.5 = {3;7;О}, 6 = { l;-3 ;4 } , с, = 4 5 - 2 6 , с2 = 6 - 2 5 ;
1.15. |
5 |
= { -1 ;2 ;-1 },6 = {2;-7;1}, |
с, = 6 5 - 2 6 |
, |
с2 = 6 - 3 5 ; |
|||||
1.16. |
5 |
= { 7 |
;9 ;-2 } ,6 = {5;4;3}, |
5 ,= 4 5 - 6 , |
|
52 = 4 |
6 |
- |
5 |
; |
1.17. |
5 |
= {5; 0; —2}, 6 = {6; 4; 3}, |
сх= 5 5 - 3 6 , |
|
с2 = 66 |
- |
1 |
0 |
5 ; |
|
1.18. |
5 |
= {8 ;3;-1},6= {4;1;3}, |
с ,= 2 5 - 6 , |
|
с2 = 2 6 |
- 4 5 ; |
||||
1.19. |
5 |
= { 3 |
;-1 ;б}, 6 = {5;7;10}, |
с, = 4 5 - 2 6 , |
с2 = 2 |
6 + 4 5 ; |
1.20. |
5 |
= { l;-2 ;4 } ,6 = { 7 ;3 ;5 } , |
c ,= 6 5 - 36, |
c2 = 6 - 2 5 ; |
|||
1.21. |
5 |
= {3;7;0},6 = { 4 ;6 ;-l} , |
с, = За + 26, |
с2 = 5а-7Ь; |
|||
1.22. |
5 |
= { 2 ;-1 ;4 } ,6 = { 3 ;-7 ;-б } ,5 , = 25 - 36,с2 = 3 5 - 2 6 ; |
|||||
1.23. |
5 |
= { 5 ;-1 ;-2 } ,6 = {6;0;7}, с, = 3 5 -2 6 , |
с2 = 4 6 - 6 5 ; |
||||
1.24. |
5 |
= {- 9; 5; 3}, |
6 = {7; 1; - 2}, с, = 2 5 - 6 , |
с2 =35 + 56; |
|||
1.25. |
5 |
= { 4 |
;2 ;9 } ,6 = { 0 ;-1 ;3 } , |
с1 = 4 6 - 3 5 , |
с2 = 4 5 - 3 6 ; |
||
1.26. |
5 |
= { 2 |
;-1 ;б },6 = {-1;3;8}, |
с, = 5 5 -2 6 |
, |
с2 = 2 5 - 5 6 ; |
|
1.27. |
5 = {5;0;8}, |
6= {-3;1;7}, |
с ,= 3 5 - 4 6 , |
с2 = 1 2 6 -9 5 ; |
|||
1.28. |
5 = {-1;3;4}, |
6 = { 2 ;-1 ;0 } , |
с ,= 6 5 - 2 |
6 |
, с2 = 6 - 3 5 ; |
1.29.5 = {4; 2; - 7}, 6 = {5; 0; - 3}, С| = 25 - 56, с2 = 66 - 25;
1.30.5 = { 2 ;0 ;-5 } ,6 = {1;-3;4}, с, =25 + 36, с2 = 9 6 -1 2 5 ;
1.31.5 = { -1;2;8},6= {3;7;-1}, с,= 4 5 -3 6 , с2 = 5 5 -2 6
Задание 2. Перпендикулярны ли векторы а и b ?
2.1. |
5 = {1;3;-1}, |
6 = { 3 ;-2 ;-3 } ; |
|
2.2. |
5 |
= {2; 1;4}, |
6={4;1;3}; |
2.3. |
5 |
= {0;1;2}, |
6 = { l;3 ;- 2 } ; |
2.4. |
5 |
= {l;2;l}, |
6={3;1;2}; |
2.5. |
5 |
= {2;1;7}, |
6 = { 2 ;4 ;-3 } ; |
2.6. |
5 |
= {-4; 1;5}, |
6 = { l;3 ;l} ; |
2.7. |
5 |
= {3;-1;2}, |
6 = { 2 ;3 ;- l} ; |
2.8. |
5 = { -4;-1;5}, 6 = { l;- 3 ;l} ; |
||
2.9. |
5 = {9;1;2}, |
6={-1;1;4}; |
2.10. |
5 |
= {8;2;З}, |
6= { -2;8;0}; |
2.11. |
5 |
= {7;3;4}, |
6 = { -l;l;l} ; |
2.12. |
5 |
= { б ;-4 ;2 } , |
6 = { l;2 ;7 } ; |
2.13. |
5 |
= {1;-2;3}, |
6 = {3;2;l}; |
2.14. |
3 = { -2 ;4 ;l}, |
6 = {2; 1;О}; |
|
2.15. |
3 = { 3 ;4 ;-l} , |
6 = {l;l;7}; |
|
2.16. |
5 = {-I;4;2}, |
b = { 2;2;3}; |
|
2.17. |
3 = {-5;l;3}, |
6= {2;1;3}; |
|
2.18. |
5 = {4;3;7}, 6 = {-4;l;3}; |
||
2.19. |
a - {—4; 2; 1}, |
b={ 1; - 2; 2>; |
|
2.20. |
a = {-6; 7 ;lj, |
ft = {3; 2; 4}; |
|
2.21. |
3 = { 6 ; - 7 ; - l} , |
ft = {2; 1;5}; |
|
2.22. |
a = { 3; -3 ; 4}, |
ft = { 2 ;l;- l} ; |
|
2.23. |
5 |
= { - 4 ;- 5 ; l}, |
ft = {2; 3; 7}; |
2.24. |
5 = {-5; 4; 2}, |
ft = {2; 1; l ) ; |
|
2.25. |
5 |
= { 5 ;-4 ;2 } , |
ft = {3;5;2}; |
2.26. |
5 |
= {5;4; -2 } , |
ft = {4; 4;3}; |
2.27. |
5 |
= { 7 ;-3 ;l} , |
ft = {l;l;- 4 } ; |
2.28. |
5 |
= {8;-2 ;3 }, |
ft = {1;3;2}; |
2.29. |
5 = { -8 ;2 ;-3 } , |
ft = {2;2;3}; |
|
2.30. |
5 |
= {3 ;6 ;-7 } , |
ft = {l;2;l}; |
2.31. |
2 = {-7;3;7}, |
ft = {1;0;l} |
Задание 3. Компланарны ли векторы a ,b ,c l
3.1. |
3 = { 2 ;3 ;-l} , |
ft = { l;-l;3 } , |
c = { l;9 ;-l} ; |
|
3.2. |
5 |
= {3;- 2 ;l} , |
ft = { 2 ;l;l}, |
c = { 3 ;- l;- 2 } ; |
3.3. |
5 |
= { 2 ;-l;2 } , |
ft = { l;2 ;-3 } , |
c = { 3 ;-4 ;7 } ; |
3.4. |
2 |
= {l;2;4}, |
ft = { 2 ;l;- 5 } , |
c = { l ; - l ; - l } ; |
3.5. |
5 |
= { 2 ;- l;l} , |
ft = {l;2;3}, |
c = { l;- 3 ;- 2 } ; |
3.6. |
5 |
= { 3 ;-l;2 } , |
ft = { 2 ; - l ; - l} . c = { 4 ;- 2 ;- 2 } |
|
3.7. |
2 |
= {1;I;- l} , |
ft = { 7 ;3 ;-б }, |
c = { l;l;- l} ; |
3.8. г г = { 2 ; - 4 ; 9 }, |
|
£> = { 2 ; 0 ; - 3 } , |
c = { 7 ; 9 ; - 9 } ; |
||||||
з.9. г f = |
|
Ь = { l ; l ; - l } , |
с = { 6 ; 0 ; 5 } ; |
||||||
з л о . |
5 = { 7 ; 2; 3 }, |
В |
—{5 ; —3; 2}, |
C = { 1 0 ; - 1 1 ; 5 } ; |
|||||
3.11. |
а |
= |
{ 1;2;1}, |
Ъ |
= {3 ; —5; З}, |
с: = { 2 ; 7 ; l } ; |
|||
3.12. fl = { 2 ; l ; - l } , |
|
,b = { l ; 2 ; l } , |
с = { 2 ; - l ; 3 } ; |
||||||
3.13. |
5 |
= |
{ l ; - l ; - l } , |
6 |
= { 1 ; 4 ; 2 } , |
c = {3; 7; 3}; |
|||
3.14. |
о |
= |
{— 7; 2; — 3}, |
6 = { - 5 ; 3 ; 2 } , , |
c = {—10; 11; — |
||||
3.15. 3 = { 1 ; - 2 ; 1 } , |
|
.& = { - 5 ; 3 ; 1 } , |
c = { - 7 ; 2 ; l } ; |
||||||
3.16. 5 = { - 2 ; 4 ; - 9 } , |
Ь = { - 7 ;3 ;6 } , c |
||||||||
3.17. |
5 |
= |
{ 3 ; 4 ; 5 } , |
Ъ |
= |
{ 2 ; 1 ; 3 } , |
с = {—1; 4; 3}; |
||
3.18. |
о |
= |
{—5; 6; —2 }, |
6 = { - 2 ; - 3 ; l } , |
c = { 2 ; l ; - l } |
||||
3.19. 5 = { 5 ; 6 ; 1 } , |
Ъ = {4 ;1 ; 1 }, |
с - -= { 2 ; - l ; 2 } ; |
|||||||
3.20. 3 = { 2 ; - 1 ; 4 } , |
|
6 = { 4 ; - 1 ; 1 } , |
c = { 3 ; 4 ; l } ; |
||||||
3.21. |
5 |
= {—2; — 1; 4 }, |
Ь = {—4; 1; —l]i, |
c = { l ; l ; 2 } ; |
|||||
3.22. 5 = { 2 ; 1 ; 3 } , |
Ъ = {3 ; —2 ; l } , i- = { 2 ; 1; l } ; |
||||||||
3.23. 5 = { - 3 ; 1 ; - 4 } , |
6 = { 4 ; 3 ; l } , |
c = { l ; 2 ; 2 } ; |
|||||||
3.24. |
Й = |
{ 4 ; 3 ; - 2 } , |
|
b |
= {—1; 2; 2}, |
|
c = { 2 ; 2 ; l } ; |
||
3.25. |
5 |
= |
{ 3 ; 1 ; 4 } , |
Ъ |
= |
{ 2 ; 1;l} , |
c : = {3; 4; l } ; |
||
3.26. |
5 |
= |
{—1; 2; l } , |
|
1> = { 3 ; 2 ; - l } , |
c = { - 5 ; 6 ; l } ; |
|||
3.27. |
5 = { - 1 ; 2; - 2}, |
6 = { 4 ; 5; 4}, |
|
c = { 6 ; 5 ; l } ; |
|||||
3.28. 5 = { 2 ; - 1 ; 2 } , |
|
£ = { 3 ; 3 ; 3 } , |
c = { 4 ; 3 ; l } ; |
||||||
3.29. 5 = { - 2 ; 1 ; - 3 } , |
6 = { 2 ; 2 ; l } , |
c = { l ; l ; 2 } ; |
|||||||
3.30. |
а = |
{ 2 ; - 1 ; 4 } , |
|
6 |
= { l ; l ; 2 } , |
i? = {1; 2; —3 }; |
|||
3.31. |
5 |
= |
{ 7 ; 6 ; 5 } , |
|
£- = { 3 ; 4 ; l } , |
c |
= |
{3; 4; 5}. |
Задание 4. Найти косинус угла между векторами АВ и АС
4.1. Л (1 ;-2 ;3 ), Я (0;-1;2), С (3 ;-4 ;5 );
4.2. Л (0;-3;б), |
Я (-1 2 ;-3 ;-3 ), |
С (-9 ;- 3 ;-б ); |
|||
4.3. л(3;3;-1), |
В(5; 5;-2), |
C (4;l;l); |
|||
4.4. а (- \;2;-3), |
|
В(3;4;-б), |
C (l;l;- l); |
||
4.5. А ( - 4 ;- 2 ;О), |
fi(-l;-2 ;4 ), |
C (3;-2;l); |
|||
4.6. A (5;3;-l), |
я(5;2;0), |
С(б;4;-1); |
|||
4.7. А ( - 3 ;- 7 ;- 5 ), |
В(0 ;-1 ;-2 ), |
с(2;3;0); |
|||
4.8. Л (2 ;-4 ;б), |
Я (0;-2;4), |
С(б;-8;10); |
|||
4.9. Л (0;1;-2), |
fi(3;l;2), |
C(4;l;l); |
|||
4.10. Л(3;3;1), В(1;5;-2), |
C(4;l;l); |
||||
4.11. Л (2; 1; —1), |
Я (б;-1;-4), |
C(4;2;l); |
|||
4.12. Л (—1; —2;l), |
В ( - 4;-2;5), |
С (-8 ;-2 ;2 ); |
|||
4.13. /4(б;2 ; - з), |
|
Я (б;3;-2), |
С (7;3;-3); |
||
4.14. А (0;0;4), |
5 ( - 3 ;- 6 ;l), |
С (-5; -10; - 1); |
|||
4.15. Л (2;-8;-1), |
5 (4 ;-6 ;0 ), |
|
C ( - 2 ;- 5 ;- l) ; |
||
4.16. А (3; —6;9), |
|
в(0 ;-3 ;б ), |
С (9; -12; 15); |
||
4.17. Л (0;2;-4), |
|
£(8;2;2), |
С(б;2;4); |
||
4.18. А (3;3; —1), |
5(5;1;-2), |
C (4;l;l); |
|||
4.19. А (-4;3;0), |
|
В(0;1;3), |
С (-2 ;4 ;-2 ); |
||
4.20. A (l; —1; 0), |
В (-2 ;-1 ;4 ), |
C (8 ;- l;- l); |
|||
4.21. А (7,0,2), |
fi(7;l;3), |
С (8; -1; 2); |
|||
4.22. А{2- 3; 2), |
5 ( - l; - 3 ; - l ) , |
С ( - 3 ;- 7 ;- 3 ); |
|||
4.23. А(2;2;7), |
£?(0;0;б), С (-2;5;7); |
||||
4.24. А (—1; 2; —3), |
Z?(0;l;-2), |
|
С (-3 ;4 ;-5 ); |
||
4.25. А (0;3 ;-б ), |
|
В(9;3;б), |
C(l2;3;3); |
||
4.26. A (3;3;-l), |
В(5;1;-2), |
С (4;1;-3); |
|||
4.27. А (—2; 1; l), |
Я(2;3;2), |
С(0;0;3); |
|||
4.28. A (l;4 ;-l), |
В (-2; 4 ;-5), |
|
С(8;4;0); |
4.29.Л(0;1;0), B(0;2;l), C(l;2;0);
4.30.А (—4;0;4), Я(-1;6;7), C(l;10;9);
4.31. Л (-2 ;4 ;-б ), В(0;2;-4), С (-6;8;-10).
Задание 5. Даны точки А, В, С. Вычислить:
I) пр g^AB ;
2> " Р (« ,д ) ( 2^ +3« ) ;
3)|лВ + 4 В с|;
4)( 1 в - С Я ЛЛ в);
5) ( i s В ?);
6)^АВ + 4ВС \^А -АС ))-
7)[Л Я хЯ С ];
8)[(АЬ + 2ВС) х(СВ - АВ)];
9)АВ ВС АС ;
10)[[(.АВ + ВС)хВС]хАС];
II) (а В Вс )-ВС ;
12) |
орт вектора АВ . |
|
|
||
5.1. |
Л(1;2;1), В (-1;3;4), С(0;1;2); |
||||
5.2 |
Л(0;1;2), |
В (3;-1;2), |
С (-1;2;5); |
||
5.3. |
А(0; 2; 3), |
в(3;1;2), |
C (l;4;l); |
||
5.4. |
Л(1;0;3), |
fi(l;4 ;l), |
С(0;2;3); |
||
5.5. |
>4(1; 1; 0), |
В(4;1;2), |
С (l; 2;3>; |
||
5.6. |
Л (-1 ;4 ;2 ), |
В(5;2;3), С(0;1;2); |
|||
5.7. |
А (З; - 2 ; l), |
B (l;3;2), |
C (2;4;l); |
||
5.8. |
А (—1; 3; l), |
В (-3 ;2 ;3 ), |
С (3;-3;3); |
||
5.9. |
>4 (l; —1; б), |
В (4; 5; - 2 ) , |
С (-1;3;0); |
||
5.10. |
Л (7;1;2), |
В ( - 5 ;3 ;- 2 ), |
С (3;2;5); |
||
5.11. |
А ( - 2 ;3 ;- 2 ), |
в (2 ;-3 ;2 ), С(1;5;б) |
|||
5.12. |
А(4 ;2 ;- l) , |
В(3;0;4), |
C (l;2;l); |
||
5.13. |
A (l; 2; 3), |
В (-1 ;2 ;-3 ), |
C (-2 ;3 ;l); |
||
5.14. |
Л (4 ;-5 ;2 ), |
B (l;-3 ;4 ), |
С (5 ;2 ;-4 ) |
5.15. |
A(4;4;9), |
S (7;10;2), |
|
С (2;8;4); |
5.16. |
Л(4 ;6 ;5>, |
в(б;9;4), |
с(7;5;9); |
|
5.17. |
А{3;5;4), |
Я (8;7;4), |
С (4 ;7 ;8 ); |
|
5.18. |
/4(10;6;5), |
Я(-2;8;4), |
с(7;10;3); |
|
5.19. |
Л (б;3;5), |
я(8 ;7 ;3 ), |
С (5; 10; 4); |
|
5.20. |
Л(1;8;2), |
Я (5;2;б), |
С (б ;9;3); |
|
5.21. |
Л(7;2;2), |
й (5;7;б ), |
С (2;3;7); |
|
5.22. |
А (—5; 6; —l), Я (2;4;3), |
С (5; 2 ; - 4 ) ; |
||
5.23. |
А (3; 2; 4), |
Я ( - 6 ;- 1 ;2 ) , |
С (5 ;-2 ;3 ); |
|
5.24. |
Л (5 ;-2 ;1 ), |
В (4;2;5), |
|
С (-1 ;2 ;4 ); |
5.25. |
Л (7;5;3), |
5 ( - 2 ; - 5 ; 2), |
С (-2 ;1 ;0 ); |
|
5.26. |
Л(-2;1;2), |
*(l;-2;2), |
С(3;-1;2); |
|
5.27. |
А(1;3;2), |
я ( - 2 ;3 ;2 ) , |
|
С (-5 ; 6;8); |
5.28. |
л (3 ;1 ;-2 ), |
Я (3 ;-2 ;7 ), |
С (-2 ;1 ;2 ); |
|
5.29. |
yf (l;-2;l), |
S(-2;3;2), |
C(l;3;-2); |
|
5.30. |
А(2;2;5), |
я (3 ;2 ;7 ), |
с (3 ;5 ;8 ); |
|
5.31. |
л(б;1;5), |
Я (4; 5 ;- 2 ), |
|
С (8; 10; 7). |
Задание 6. Даны координаты вершины пирамиды ABCD. Вычислить:
1)объем пирамиды;
2)длину ребра АВ;
3)площадь грани АВС;
4)угол между ребрами АВ и AD.
6.1. |
Л(1;1;1), Я(-1;2;4), |
С(2;0;б), |
Z>(-2;5;-l); |
||||
6.2. |
л ( 0 ; 5; О), |
Я (2 ;3 ;-4 ), |
С (0 ;0 ;- б ), |
D ( - 3 ; l ; - l ) ; |
|||
6.3. |
А (О; 0; б), |
Я (4 ;0 ;- 4 ), |
C ( l;3 ; - l) , |
|
Я ( 4 ; - 1 ; - 3 ) ; |
||
6.4. |
A ( - 5 ; 6 ; - l ) , В (б ;-5 ;2 ), |
C (6 ;5 ;l), |
D(0; 0; 2); |
||||
6.5. |
А (2; —5;3), |
Я (3 ;2 ;-5 ), |
С ( 5 ; - 3 ; - 2 ) , D ( - 5 ;3 ;- 2 ); |
||||
6.6. |
А{6; 0; 4), |
я (0 ;6 ;4 ), |
С (4;6;0), |
£ > (0 ;-6 |
;4 ); |
||
6.7. |
А (3;2; 4), |
Я (2;4;3), |
С (4 ;3 ;- 2 ), |
£ > ( - 2 |
; - 4 ; - 3 ) ; |
6.8. |
А(6;3;5), Д (5 ;-6 ;3 ), |
|
С(3;5;б), |
D (- 6 ;-1 ;2 ); |
||
6.9. |
Л (5 ;- 2 ;- 1 ), |
5 (4 ;0 ;0 ), |
C (2;5;l), |
Z)(l;2;5); |
||
6.10. |
Л (4; 2; 5), |
Я (3;0;4), |
|
С(0;0;3), |
D (5 ;- 2 ;- 4 ); |
|
6.11. |
Л (4 ;2 ;- 5 ), |
Я (-3 ;0 ;4 ), |
С(0;2;3), £>(5;2;-4) |
|||
6.12. |
А{4;4; 10), |
Я(7;10;2), |
С (2;8;4), |
£>(9;6;9); |
||
6.13. |
Л(4; 6; 5), |
Я (б;9;4), |
|
С(2;10;10), |
/>(7; 5;9>; |
|
6.14. |
Л (3;5;4), |
В (8;7;4), |
|
С(5;10;4), |
Z>(4;7;8); |
|
6.15. |
Л (10;6;5), |
в ( - 2;8;4), С (б;8:9), |
£>(7;10;3); |
|||
6.16. |
Л(1;8;2), |
Я (5;2;6), |
С (5;7;4), |
£>(4;10;9); |
||
6.17. |
А(6;6;5), |
5(4 ;9 ;5 ), |
|
C (4 ;6 ;ll), |
£>(5;9;3); |
|
6.18. |
Л (7; 2; 2), |
5 (5; 7; 7), |
|
C (5;3;l), |
Z>(2;3;7); |
|
6.19. |
л ( 8;6;4>, |
fi(l0;5;5>, |
|
С (5;6;8), |
£>(8;10;-7); |
|
6.20. |
A il;!,!), |
В{6,5;8), |
С(3;5;8), |
£>(8;4;l); |
||
6.21. |
Л (4;0;0), |
Я (-2 ;1 ;2 ), |
|
C (l;3;2), |
£>(3;2;7); |
|
6.22. |
А ( - 2;1;2), |
Я (4;0;0), |
С (3;2;7), |
Z>(l;3;2); |
||
6.23. |
Л(1;3;2), |
л (3 ;2 ;7 ), |
С (4;0;0), |
В ( - 2;1;2>; |
||
6.24. |
л (3 ;2 ;7 ), |
* (l;3 ;2 ), |
С <-2;1;2), |
D (4;0;0): |
||
6.25. |
Л (З; 1; —2), |
5 ( l; - 2 ;l) , |
|
C (-2 ;l;0 ), |
Z>(2;2;5); |
|
6.26. |
л (1 ;-2 ;1 ), |
Я (3;1;-2), |
С (2; 2;5), |
D (-2 ;l;0 ); |
||
6.27. |
А ( - 3;2;l), |
Я (-2;1;0), |
|
C (l;- 2 ;l), |
D (3;l;2); |
|
6.28. |
Л (1;-2;1), |
Я (3;1;-2), |
С (2:2; 5), |
D (-2 ;l;0 ); |
||
6.29. |
Л (-3 ;1 ;2 ), |
Я (-2;1;0), |
|
C (l;- 2 ;l), |
D (3;2;l); |
|
6.30. |
А(2;-1;1), |
В (2;2;5), |
C (3;2;l), |
D (l;- 2 ;l); |
||
6.31. |
А(2; 5; 5), |
В(2;1;0), |
С(4;1;2), |
£>(-1;3;2). |
Задание 7. Имеет ли смысл выражение ? Обосновать.
7.1. [5 ж 6] х с] с ; 7.6. [([5x6]c)xrf];
7.2. ((а -[Ь ж с]) 5); |
7.7. |
(a b) - c; |
|
7.3. |
[[5x(fe + c )]x rf]; |
7.8.( (а - 6 ) - с )с ; |
|
7.4. [[(5 - 6 ) ж с] ж d] ; |
7.9. |
[(а + 6 )х с ] х а ; |
|
7.5. [[5 ж 5J] ж [Вж с]]; |
7.10. пр^ ( а -6); |
7.11. п р ^ [ 5 х * ] ; |
7.21 ,[ax[bx(cd)]]; |
||
7.12. пр[5х?](а + 36); |
7.22. |
[(b-(a + 2b))xc]; |
|
7.13. пр(-_^)[[а х 6] х с ]; |
7.23. (([5 x 5 ] -5 )-6 ); |
||
7.24. |
[[(5 + В ) х с ] х d ] ; |
||
7.14. пр^4г_7^)С5 -[6 х с ]); |
|||
7-25. (пр{ a i ) [ a x B ] - d ) \ |
|||
7-15- пР(г.^)[(Зй? -В )хс]; |
|||
7-26. [пр(i_2a)ia-B)xc]\ |
|||
7.16. прзг[ 6 х ( 5 с ) ] ; |
|||
7-27-пР(bc)(B-d)\ |
|||
7-,7 -nP((25-c).J)(5 + ^ ; |
|||
7-28. пр[5х5](Ь х с ) ; |
|||
7.18.npls_E)(O b - d ) -b ); |
|||
7.29. ( [( 5 - 6 ) х с] [5 хс]); |
|||
7.19. пр5^([4с х ф а ) ; |
|||
7.30. [ а х ((25 + 6 ) 5 ) ] . |
|||
7.20 . [( dc) x( a +B)]; |
|||
|
|
Задание 8. Придумать исходные данные на указанные типы задач векторной алгебры и решить их.
8.1. Дано: х11а = {ax,ay,az} , (хЛoz) - острый (или с любой
другой осью, тупой или острый), |3с| = А . |
|
|
||||
Найти: х = {д:,, дг2, JC3 }. |
|
|
|
|
||
8.2. Дано: xlla = {ax,ay,az} , ха = А. |
|
|
||||
Найти: x = {xl,x2,xi }. |
|
|
|
|
||
8.3. Дано: |
х L а = {ах,ау,аг} , |
х l B ={bx,by,bz), (хл оу) |
- |
|||
тупой (острый или любой другой осью), |3с| = А . |
|
|
||||
Найти: Зс = {х],д:2,л:3}. |
|
|
|
|
||
8.4. Дано: |
х l o z |
(любой |
другой оси) |
( х - а ) - |
А, |
|
а {йд-,ау ,az}, |
(дс *Ь) 7?, |
b {Ьд,by,bz}. |
|
|
||
Найти: х = {хи х2,хг}. |
В = {bx,by,bz}, |
|
|
|||
8 .5 . Дано: |
a = {ax,ay,az}, |
с = {cx,cy,czj , |
||||
(х-а) = А, |
(х - В ) - В , ( х ■с) =С . |
|
|
|
||
Найти: |
Зс = {х |,х 2,х3}. |
|
|
|
|