- •1.1. Моделирование геологических процессов и явлений
- •1.2. Характер геологической информации
- •1.3. Понятие о геолого-математическом моделировании
- •1.4. Принципы и методы геолого-математического моделирования
- •2. ОДНОМЕРНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
- •2.1. Сущность и условия применения
- •2.2. Статистические характеристики, используемые в геологии
- •2.3. Точечные и интервальные оценки свойств геологических объектов
- •2.4. Основные статистические законы распределения, используемые в геологии
- •2.5. Статистическая проверка геологических гипотез
- •2.7. Проверка гипотез о равенстве дисперсий
- •2.8. Анализ однородности выборочных геологических совокупностей
- •2.9. Однофакторный и двухфакторный дисперсионный анализ
- •3. МНОГОМЕРНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
- •3.2. Многомерный корреляционный анализ
- •3.3. Статистические методы выделения ассоциаций химических элементов
- •3.4. Кластер-анализ (дендрограммы и дендрографы)
- •3.6. Задачи распознавания образов в геологии
- •3.8. Оценка информативности геологических признаков
- •3.9. Линейные дискриминантные функции
- •3.10. Метод главных компонент
- •4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
- •4.2. Элементы неоднородности, изменчивость и анизотропия гелогических полей
- •4.4. Фон, аномалии и поверхность тренда
- •4.5. Геометрические методы выявления закономерных составляющих признаков
- •4.6. Способы сглаживания случайных полей
- •4.7. Анализ карт
- •4.8. Метод ближайшего соседа
- •4.9. Поверхности тренда
- •4.10. Сравнение карт
- •4.15. Моделирование дискретных случайных полей
- •5.1. Принципы моделирования свойств геологических объектов
- •5.3. Использование автокорреляционных функций для решения геологических задач
- •6. ФАКТОРЫ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ВЫБОР И ЭФФЕКТИВНОСТЬ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
- •6.4. Роль геологического анализа при выборе геолого математической модели
- •7. ПРИМЕНЕНИЕ ЭВМ В ГЕОЛОГИИ
- •7.1. Автоматизация первичной обработки данных
- •7.2. Решение геологических задач с помощью ЭВМ
- •7.3. Автоматизированные системы обработки геологических данных
- •СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Способы, основанные на сглаживании или преобразовании ис ходных данных, просты и наглядны, но обладают существенными недостатками:
-они не дают объективных количественных критериев для оценки значимости выявленных закономерностей. Вопрос о нали чии закономерностей решается по виду сглаженных поверхностей или графиков. При этом «закономерности» могут быть отмечены даже в заведомо случайных данных, так как процесс сглаживания обусловливает корреляцию между соседними значениями;
-результаты сглаживания существенно изменяются в зависи мости от вида преобразования и размера площадки трансформации. Выбрать оптимальный способ преобразования можно либо путем перебора множества вариантов, либо с помощью привлечения до полнительной информации о характере изменчивости изучаемого свойства;
-любое преобразование обладает селективными свойствами только по отношению к закономерностям, близким по размеру с площадкой трансформации. Поэтому для выделения в наблюдае мой изменчивости закономерностей разного масштаба необходимо использовать различные варианты преобразований.
4.7. Анализ карт
Геологи проводят свои исследования в реальном трехмерном мире, однако представления о нем в значительной степени остаются двухмерными. Это является следствием того, что третье измерение, роль которого в геологии обычно играет глубина, нередко бывает лишь частично доступно для изучения по сравнению с другими из мерениями.
Несмотря на то, что карты являются важнейшим средством обучения и работы геологов, вопросы механизации и некоторые математические вопросы изучены весьма слабо.
Построение геологической карты - своего рода искусство, в ко тором проявляется талант исследователя. Однако иногда на геоло гических выводах сказывается влияние персонального фактора, от ражающего взгляды исследователя, что значительно снижает объ ективность построения карт на ЭВМ препятствует действию персонального фактора при их интерпретации.
Анализ поверхностей тренда - один из широко применяемых в геологии математических методов.
Существующие схемы расположения точек на картах удобно разделить на три категории:
-равномерные;
-случайные;
-групповые.
Схема точек на карте называется равномерной, если плотность точек в любой другой подобласти того же размера и точки образуют какой-либо вид сети.
Случайная схема возникает в том случае, если любая подоб ласть одного размера обладает одной и той же вероятностью появ ления в ней точки и появление одних точек не влияет на появление других.
Равномерность расположения точек является важным услови ем, необходимым для применения многих видов анализов, в частно сти тренд-анализа. Достоверность карты находится в прямой зави симости от плотности и равномерности, расположения точек на блюдения. Однако большинство геологов оценивают распределение точек наблюдения лишь с качественных позиций. Критерии, приме няемые для определения равномерности очень просты, но, к сожа лению, многие геологи не подозревают об их существовании.
Всю карту можно разбить на множество подобластей равного размера так, что каждая подобласть (квадрат) будет содержать не которое множество точек. Если точки наблюдения расположены равномерно, то каждый квадрат будет содержать одно и тоже число точек. Эту гипотезу об отсутствии существенных различий в числе точек для каждой подобласти можно проверить с помощью крите рия х2, который теоретически не зависит от формы и ориентировки подобластей.
Данный критерий эффективен, когда число квадратов доста точно велико, и в каждом из них содержится не более 5 точек. Ожи даемое число точек в каждой подобласти (Е) будет равно отноше нию общего числа точек наблюдения к числу подобласти.
Критерий х2 для проверки гипотезы о равномерности распреде ления точек определяем по формуле
1= &
где 0 - наблюдаемое число точек в подобласти.
Критерий х2соответствует Р - т - 2 степеней свободы, где т - число подобластей; Р - доверительная вероятность.
Если плотность точек на карте невелика и точки обладают тен денцией к группировке, а число участков на карте большое (больше 100), то возникает групповая схема точек. При проверке гипотезы о случайности расположения в таком случае можно воспользоваться распределением Пуассона (законом редких явлений).
4.8. Метод ближайшего соседа
Существует еще один способ исследования подобластей, на которые разбита область, и называется он методом ближайшего соседа.
Анализируемые в этом случае данные представляют собой не множество точек, расположенных внутри некоторой области, а расстояние между наиболее близкими парами точек. В условиях случайного распределения точек на плоскости математическое ожидание между каждой точкой и ближайшей к ней соседней точ кой определяется по формуле
I = 2 V P ’
где Р - плотность точек в изучаемой области.
Плотность точек определяется как число точек, приходящихся на единицу площади, причем площадь измеряется квадратами еди ниц, используемых для измерения расстояний между точками. На пример, если расстояние между точками измеряется в километрах, то Р подсчитывается как число точек, приходящихся на квадратный километр.
Можно также измерить расстояние между каждой точкой и со ответствующей ей ближайшей соседней точкой и вычислить на
блюдаемое среднее значение этих расстояний D :
х
Это отношение представляет собой статистику метода бли жайшего соседа, которая принимает значение в интервале от 0 до 2,15, где 0 соответствует случаю, когда все точки сведены в одну и расстояние между ними равно 0. Если критерий равен 1, это соот ветствует случайному расположению точек, а максимальное значе ние 2,15 характеризует распределение точек, имеющих тенденцию к рассеиванию.
Если точки расположены случайно, то теоретическое значение статистического отклонения оценки среднего расстояния между ближайшими точками будет определено следующим выражением:
0,26136
" г = W P ’
где N - число измерений расстояний между парами точек. Располагая значениями х , D , стг , можно построить критерий
для проверки гипотезы о случайном распределении рассматривае мого набора точек:
стг
Нулевая гипотеза должна быть отклонена, если Z превышает допустимое значение, соответствующее заданному уровню значи мости.
4.9. Поверхности тренда
Для построения карт достаточно часто испОЛЬзуется тренданализ. Это чисто геологическое понятие математического метода разделения двух компонентов - систематического Ч случайного - по эмпирическим данным. Систематическая составляющая отража ет региональную или общую геологическую обстановку, случайная - мелкие локальные отклонения от региональных закономерностей-
Термины «региональный» и «локальный» весьма субъективны и в значительной степени зависят от размера изучаемого региона. Имеющиеся данные оказывают влияние на установление регио нального тренда и локальных отклонений. Так, например, бесполез но искать какой-либо смысл локальных закономерностей, если об ласти их проявления близки к размерам и участкам исследования. С другой стороны, при повторных поисках нефти в какой-либо об ласти могут представлять интерес небольшие структурные анома лии, так как заранее известно, что более крупные структуры данной области уже изучены. В этих условиях закономерности, выявляе мые на таких мелких структурах, следует рассматривать как регио нальный тренд.
В представленной ситуации можно различными способами вы делить региональную и локальную компоненты. Допустим, что ре гиональный тренд характеризуется прямой линией, проходящей через совокупность точек наблюдения. Тогда все данные можно разделить на линейный тренд и три локальные большие аномалии. Можно использовать для описания и более сложную функцию, на пример, кубическую. Вероятна и такая ситуация, когда результаты опробования и кривая тренда будут совпадать, так что остаток бу дет отсутствовать. Конечно, в этом случае нельзя будет провести разделение на региональные и локальные компоненты, и такое ис следование потеряет смысл.
Возникает вопрос: можно ли по результатам исследования объ ективно выделять эти два компонента? Ответ будет положитель ным, если вместо геологического понятия тренда мы воспользуемся ранее изученными методами математической статистики. Напри мер, тренд можно определить как линейную функцию географиче ских координат, построенную по набору наблюдений так, что сумма квадратов отклонений от тренда минимальна.
Рассмотрим более подробно определение тренда:
1.Определение основано на понятии географических коорди нат. Это значит, что результат наблюдения рассматривается как функция положения наблюдения в пространстве.
2.Тренд рассматривается как линейная функция, имеющая
форму
где Рь Рг. ... x„ - географические ко ординаты.
Ранее была рассмотрена линия регрессии Y на X, которая явля ется наилучшей оценкой Y для любого заданного значения X.
Уравнение прямой Y = po+Pi* находилось путем решения сис темы так называемых нормальных уравнений:
пп
«Po+Pi Z * = Z ^
< |
/-1 м |
|
P o Z x + P i Z x 2 = t ^ / .
/-1 М /-1
относительно неизвестных коэффициентов р0 и Рь Эту систему уравнений легко приспособить, если имеются какие-либо два аргу мента, например географические координаты. В результате полу чим уравнение линейной поверхности тренда:
Y= p0+Pi*i+Par2.
В данном случае результат геологического наблюдения рас сматривается как линейная функция двух координат JCI и х2 при ко эффициентах ро, Pi и р2; оценить эту функцию можно с помощью уравнений.
Z * = Р0« + PiZ * i + Р2 Z *2;
/-1
Z ^ |
= РоZ |
Х 1 + PiZ x i + Р2Z * rх 2 ; |
Z * ^ |
= РоZ |
*2 + PiZ * i *2 + РгZ х2• |
Решив эти уравнения относительно Ро. Pi и Рг найдем их оценки.
Метод наименьших квадратов может быть применен не только к уравнению прямой, но и к уравнению кривой второго (более вы сокого) порядка путем добавления соответствующих компонент: