С помощью этой программы формируется геометрическая мо­ дель здания или сооружения, задаются граничные условия и внеш­ ние нагрузки. При этом автоматизированные инструменты поэтаж­ ного создания модели и задания внешних нагрузок естественны и понятны инженеру-строителю. По результатам созданной модели автоматически формируется программный код (программа) на язы­ ке APDL, который передается в ANSYS для расчета.

В заключение следует отметить, что современный рынок про­ граммных средств, предназначенных для расчетов и обоснования проектных решений в строительстве, достаточно обширен, но при этом следует понимать, что идеальных программ не бывает. Пра­ вильный выбор необходимого программного обеспечения с учетом решаемых задач позволит сэкономить значительные денежные средства как в настоящем, так и в будущем.

Контрольные вопросы

1.Расскажите о программах автоматизации инженерных мето­ дов расчета.

2.Раскройте понятие «интегрированные системы прочностного анализа».

3.Дайте характеристику вычислительного комплекса ЛираWindows.

4.Расскажите о проектно-вычислительном комплексе Structure

CAD (SCAD Office).

5.Характеризуйте комплекс по расчету и конструированию железобетонных монолитных зданий МОНОМАХ.

6.Расскажите о современных расчетных комплексах для конеч­ но-элементного анализа грунтового основания.

7.Расскажите о возможностях универсального конечно-элемен­

тного программного комплекса ANSYS.

ЛЕКЦИЯ 12

В О З М О Ж Н О С Т И И П Р О Б Л Е М Ы К О М П Ь Ю Т Е Р Н О Г О

М О Д Е Л И Р О В А Н И Я С Т Р О И Т Е Л Ь Н Ы Х О Б Ъ Е К Т О В

Появление огромного количества разнообразных прикладных программ связано с широким внедрением методов математического моделирования и численных методов на основе ЭВМ в практику инженерных расчетов. В связи с этим в профессиональной деятель­ ности инженера-строителя, и в частности проектировщика - поль­ зователя САПР, следует выделить умение грамотно работать с программными комплексами, реализующими прочностные расче­ ты строительных объектов. Не только разработчики, но и инжене­ ры-пользователи САПР должны представлять возможности и осо­ бенности реализации методов, заложенных в программные ком­ плексы, уметь оценить вычислительные затраты, необходимые для решения конкретных задач, диагностировать причины погрешно­ стей и ошибок, возможных отказов и уметь их корректировать.

В основе большинства расчетных программных комплексов лежит метод конечных элементов [18, 55,61, 71], который явля­ ется в настоящее время основным методом расчета строительных конструкций в САПР. Он открывает практически неограниченные возможности компьютерного моделирования, но при этом требует грамотного и осознанного применения в каждом конкретном случае.

§1. М е т о д к о н е ч н ы х э л е м е н т о в

И П Р А К ТИ Ч Е С К А Я РЕАЛИЗА ЦИЯ МКЭ

1. Основные понятия МКЭ

Кратко напомним сущность МКЭ и основные этапы его прак­ тической реализации.

Основная идея МКЭ состоит в том, что исходная область оп­ ределения искомой функции разбивается с помощью сетки, в общем

случае неравномерной, на отдельные подобласти (конечные элемен­ ты). Искомая непрерывная функция аппроксимируется кусочно­ непрерывной функцией, чаще всего в ацде полинома (линейного, квадратичного или кубического), определенной на множестве конеч­ ных элементов. Полиномы подбираются так, чтобы обеспечить непрерывность искомой функции в узлах па границах элементов.

Значения непрерывной величины в каждой узловой точке пер­ воначально считаются известными, одцако в действительности их еще предстоит определить. Это определение осуществляется путем минимизации некоторого функционала, связанного с физической сущностью задачи. В прочностных задачах чаще всего минимизиру­ ется потенциальная энергия деформированного тела, а в основе используемых алгоритмов прочностных расчетов большинства про­ граммных комплексов лежит МКЭ в форме метода перемещений, поэтому узловыми неизвестными являются перемещения узлов. Про­ цесс минимизации сводится к решению систем линейных алгебраи­ ческих уравнений относительно узловых значений неизвестных:

[K]x{U}={F}«

Матрица жесткости разрешающей системы алгебраических уравнений [К] связывает векторы узловых перемещений {U} и нагру­ зок {F} и является симметричной ленточной матрицей, что сущест­ венно облегчает ее обработку. Ширина ленты матрицы жесткости зависит от нумерации узлов [29].

С точки зрения МКЭ конструкцию можно рассматривать как не­ которую совокупность конструкционных конечных элементов, соеди­ ненных в конечном числе узловых точек. Если известны соотношения между силами и перемещениями для каждого отдельного элемента, то, используя известные приемы строительной механики, можно описать свойства и исследовать поведение конструкции в целом.

2. Свойства конечных элементов

Как следует из основной концепции МКЭ, вся модель конст­ рукции (или отдельной ее части) делится на множество конечных элементов (КЭ) достаточно простой формы, соединенных между

собой в вершинах (узлах). Каждый элемент характеризуется сле­ дующими основными свойствами:

♦геометрической формой (отрезок прямой, треугольник, пря­ моугольник, четырехугольник, тетраэдр и т.п.);

♦размерностью используемого пространства (одномерное, дву­ мерное, трехмерное);

♦набором узлов, располагаемых как в вершинах геометриче­ ских фигур, так и на их сторонах, ребрах, поверхностях;

♦набором используемых степеней свободы в узле;

♦системой аппроксимирующих15 (базисных или координат­ ных) функций, с помощью которых перемещения произвольной точки конечного элемента однозначно определяются через переме­ щения его узлов;

♦физическим законом, связывающим напряжения и дефор­

мации;

♦набором допустимых нагрузок и воздействий;

♦классом задач, для которого предназначены элементы дан­ ного типа;

♦другими, более специфическими условиями.

Обычно предполагается, что вся расчетная схема состоит толь­ ко из элементов заранее определенного типа, причем при построе­ нии модели могут быть использованы не один, а несколько типов элементов.

Имеется несколько типичных форм конечных элементов (стержни, пластины, оболочки, массивные тела), которые могут использоваться в задачах разной размерности, например, стер­ жень или пластина могут рассматриваться как в плоскости, так

ив 3-мерном пространстве.

Вобычных пространственных конструкциях в узле могут при­ сутствовать все шесть смещений (степеней свободы):

1 - линейное перемещение вдоль оси Х\

2 - линейное перемещение вдоль оси Y;

3 - линейное перемещение вдоль оси Z;

15 В разных литературных источниках используется разная терминология:

аппроксимирующие, координатные, базисные, координатные функции.

Порядок элементов

4 - угол поворота относительно оси X {Ш0;

5 - угол поворота относительно оси Y (UY);

6 - угол поворота UY Z (J7Z).

Если в некотором узле какое-либо из перемещений не сказыва­ ется на напряженном состоянии всех элементов, примыкающих к этому узлу (например, повороты узла, к которому примыкают толь­ ко стержни с шарнирами на концах, как это бывает при расчете ферм), то соответствующее перемещение не входит в число основ­ ных неизвестных.

Может оказаться, что вся система обладает такими свойствами и в каждом ее узле присутствует один и тот же сокращенный набор неизвестных перемещений, или, точнее, - некоторые из перемеще­ ний не присутствуют среди степеней свободы ни одного из узлов системы. Тогда можно это свойство системы {признак системы) специально обозначить и в дальнейшем принципиально не опери­ ровать с некоторыми из перемещений.

В зависимости от количества узлов на стороне конечные эле­ менты могут быть линейными (элементы первого порядка), парабо­ лическими (элементы второго порядка) или кубическими (элементы третьего порядка) (рис. 12.1).

	I	II	III	Линейные		элементы	имеют
				прямые стороны и узлы только
	х А	(Ъ		в углах. Таким образом, мини­
				мальное число узлов			трехмер­
				ного элемента равно 4. Парабо­
				лические элементы могут иметь
				промежуточный узел вдоль ка­
				ждой из сторон. Именно благо­
	Рис. 12.1. Элементы разного			даря	этому	стороны	элемента
				могут	быть криволинейными

порядка

(параболическими). При равном

количестве элементов параболические элементы дают большую точность вычислений, т.к. они более точно воспроизводят криволи­ нейную геометрию модели и имеют более точные функции формы (аппроксимирующие функции). Однако расчет с применением КЭ высоких порядков требует больших компьютерных ресурсов и большего машинного времени.

В методе перемещений элементы системы считаются присое­ диненными только к узлам расчетной схемы. Такой подход является приближенным, поскольку, приводя эквивалентные усилия к узлам, условия равновесия конечных элементов некоторых типов (напри­ мер пластин, оболочек) можно выполнить только интегрально. Поэтому для расчета следует использовать, так называемые совме­ стные элементы, которые гарантируют совпадение перемещений и их необходимых производных для точек, расположенных на про­ тивоположных сторонах разреза конечных элементов.

В соответствии с физическим законом, связывающим напря­ жения и деформации, для каждого конечного элемента формирует­ ся матрица жесткости [К], размерность которой зависит от числа узлов (АО и числа степеней свободы в узле (п) и равна [Nxn]. Наибо­ лее распространенным физическим законом в строительном проек­ тировании является закон Гука о линейной связи между напряжениялш и деформациями, хотя современные промышленные про­ граммные комплексы включают в свой арсенал КЭ, в которых описаны такие нелинейности, как пластичность и ползучесть мате­ риала, большие прогибы, большие деформации, контактное взаи­ модействие и другие.

При решении практических задач обычно возникают вопросы, связанные с выбором типа элемента, так как для решения одной и той же задачи существует целый набор конечных элементов, имеющих различные свойства. Списки типов элементов {библиоте­ ки конечных элементов), которыми оперируют разные программные комплексы, существенно различаются, причем они могут видоиз­ меняться и пополняться от версии к версии. Выбранный тип эле­ мента для решения конкретной задачи обязательно должен соответ­ ствовать тому классу задач, для которого он предназначен.

Одной из важнейших характеристик конечно-элементной мо­ дели является максимальный размер конечного элемента А, с кото­ рым связывают оценки погрешности метода. Этот размер можно определить как минимальный диаметр шара, в который можно вло­ жить любой КЭ расчетной модели. Когда говорят о сходимости МКЭ, то имеют в виду, что при Л—>0 последовательность прибли­ женных решений задачи устремляется к точному решению.

3. Этапы практической реализации МКЭ

Практическая реализация задачи с применением МКЭ состоит из следующих основных этапов:

1.Переход от реальной конструкции к расчетной схеме

(или механико-математической модели). При решении каждой конкретной задачи следует заранее определить, надо ли в расчете учитывать силы инерции и выполнять динамический расчет или же можно ограничиться статическим анализом. На данном этапе при­ нимается решение о том, будет ли расчет выполняться в линейной постановке или требуется учитывать нелинейное поведение конст­ рукции. Нелинейные задачи могут быть вызваны отсутствием про­ порциональности между напряжениями и деформациями (физиче­ ская нелинейность) или связаны с эффектами, возникающими при изменении геометрии системы под нагрузкой (геометрическая не­ линейность). Здесь же определяется размерность задачи (одномер­ ная, плоская или пространственная); моделируются геометрическая форма, схема загружения, условия закрепления, модель деформиро­ вания и критерии разрушения материала.

2.Переход от расчетной схемы к дискретной или компью­ терной модели, приспособленной к возможностям конкретного программного обеспечения (выбор типов конечных элементов, дис­ кретизация, введение необходимых связей, схематизация нагрузок). Составление компьютерных моделей в настоящее время становится искусством с применением специальных приемов и является непро­ стой задачей для реальных конструкций и сооружений.

3.Проведение самого расчета, получение численных результа­

тов расчета. Этот этап обычно выполняется автоматически и, как правило, особых трудностей не вызывает за исключением получения систем с плохо обусловленной матрицей жесткости. Опричинах плохой обусловленности проектировщику необходимо знать.

4. Анализ результатов расчета, подразумевающий выявление слабых мест в конструкции, что существенно облегчается имеющи­ мися в современных расчетных программных комплексах мощными инструментальными средствами визуализации результатов, а также исследование вопросов сходимости метода и точности результатов.

Каждый из рассмотренных этапов содержит элементы моде­ лирования, а, значит, вносит свою долю в накопление погрешно­ стей при переходе от реальной конструкции к итоговой информа­ ции. На каждом из этих этапов степень участия расчетчика и роль используемого программного обеспечения различны, как и раз­ лична их ответственность. Использование вычислительной техни­ ки при реализации МКЭ в роли «черного ящика», без понимания основных процессов и этапов вычислений, может привести к непри­ емлемым результатам.

Ниже мы рассмотрим некоторые проблемы численной реализа­ ции МКЭ и остановимся на некоторых полезных приемах компью­ терного моделирования строительных объектов и проверки результа­ тов расчета, позволяющих избежать возможных ошибок.

§2. Н е к о т о р ы е п р о б л е м ы к о м п ь ю т е р н о г о

МО ДЕ Л И Р О В А Н И Я С ТР О И ТЕЛ Ь Н Ы Х ОБЪ ЕКТОВ

ИВ О ЗМ О Ж Н Ы Е ВА РИАНТЫ И Х РЕШ ЕНИЯ

Приступая к конечно-элементному анализу, исследователь должен понять:

♦к какой области анализа относится данная задача;

♦какая часть всей конструкции должна исследоваться подробнее;

♦какие упрощения можно допустить в данной задаче. Ошибки и погрешности могут возникать на различных этапах

конечно-элементного анализа: при постановке задачи, при дискре­ тизации (построении конечно-элементной модели), при численном решении и анализе результатов. В данном разделе рассмотрим, на что следует обращать особое внимание на каждом из этих этапов.

1. Этап постановки задачи

На этапе постановки задачи ошибки и погрешности могут вызвать:

♦идеализация геометрии и нагрузок;

♦некорректное задание граничных условий;

♦ несоответствие типа конечных элементов или их размера физическому поведению материала в конструкции.

При идеализации геометрии некоторые пространственные элементы конструкции заменяют стержневыми, пластинчатыми или оболочечными элементами. Использование этих элементов является привлекательным в силу их изученности и снижения размерности по сравнению с пространственными элементами. При этом приня­ тые оси стержней и пластин могут не совпадать с их нейтральными плоскостями.

Назначенные основные размеры могут несколько отличаться от натурных с целью придания возможной регулярности и для со­ кращения ввода исходной информации, и анализа результатов. Все это вносит определенные погрешности в расчет.

Идеализация нагрузки в виде сосредоточенной силы (практи­ чески нереализуемая ситуация) может иметь неприятные особенно­ сти в виде появления уходящих в бесконечность решений и высо­ ких градиентов полей напряжений. Точку приложения сосредото­ ченной силы обычно называют особой точкой. Вблизи таких особых точек имеется резкая концентрация напряжений, и приме­ нение МКЭ (равно как и других методов дискретизации) обычно затруднено, особенно в представлении поля напряжений. Прихо­ дится резко сгущать сетку конечных элементов, существенно уве­ личивая размер задачи. К сожалению, это может и не привести к результату, например, при действии сосредоточенной силы на пла­ стинку, когда в малой окрестности этой силы напряженное состоя­ ние является в действительности пространственным, а обычные гипотезы теории пластин не выполняются. Вообще, сосредоточен­ ная сила есть не существующая в природе абстракция, и если бы она была создана, то проткнула бы конструкцию любой прочно­ сти. Выходит, что эта идеализация создает искусственную труд­ ность и следует представлять, каким образом фактически реализо­ вана в конструкции та сила, которая идеализируется в форме со­ средоточенной, тогда могут отпасть и вопросы о сходимости конечно-элементного решения к точному. Возможен также пере­ ход к трехмерной модели.

объекта [26]

Рис. 12.2. Учет симметрии

Помимо сил, которые в расчете можно трактовать как сосре­ доточенные, на элементы конструкции действуют также поверхно­ стные и объемные силы, являющиеся примерами распределенной нагрузки. В соответствии с принципами МКЭ эта нагрузка не может быть приложена к элементу, а должна быть трансформирована к узлам, что во многих программных комплексах выполняется ав­ томатически. Но об этом пользователь программного средства должен знать.

Задание граничных условий - один из ответственных этапов конечно-элементного анализа, связанный с наложением на некото­ рые из узловых перемещений ограничений (связей). Это могут быть линейные перемещения вдоль осей: X, У, Z или угловые перемеще­ ния (повороты) относительно этих же осей UX, UY, UZ.

Граничные условия (перемещения или силы) прикладываются только в узлах. Граничных условий должно быть минимально необ­ ходимое число (не меньше и не больше). Не следует прикладывать силу в узле в том же направлении, в котором в данном узле наложе­ на связь.

Если конструкция имеет оси ши плоскости симметрии, то при назначении граничных условий это следует учитывать. На рис. 12.2, а показан куб, сжимаемый прессом, имеющий три плоскости симмет­ рии. Очевидно, в этом случае нет необходимости моделировать весь куб целиком. Можно смоделиро­ вать только часть куба (1/4 или 1/8), имея в виду, что в точках на плоскостях симметрии соответ­ ствующие перемещения равны нулю. Это обстоятельство учиты­ вается соответствующими гранич­ ными условиями в узлах элемен­ тов, лежащих на плоскостях сим­ метрии (рис. 12.2, б).

С помощью граничных условий можно моделировать вид нагру­ жения (растяжение, чистый изгиб, сдвиг), как показано на рис. 12.3.