Растяжение

Изгиб

Напряжения
отсутствуют	Сдвиг

Рис. 12.3. Моделирование вида нагружения [26]

2.Этап дискретизации модели

Всовременных профессиональных конечно-элементных про­ граммных комплексах разбивка на конечные элементы чаще всего производится автоматически, но учесть все особенности работы конструкции при создании расчетной модели конструкции должен исследователь.

Замена реальной конструкции ограниченным числом конечных элементов (с учетом их формы и размеров) вносит определенные погрешности в расчет и может привести к потере точности резуль­ тата. Общих рекомендаций по выбору оптимального уровня раз­ биения системы на конечные элементы не существует. Здесь прихо­ дится полагаться на накопленный опыт и на результаты некоторых контрольных расчетов, выполняемых для одной и той же конструк­ ции при различных схемах разбиения на конечные элементы.

Слишком грубое разбиение конструкции на КЭ может привес­ ти к потере точности результатов, в особенности для тех случаев, когда рассчитываются пластинчатые или оболочечные конструк­ ции или проводится нелинейный анализ.

Чрезмерно мелкое дробление конструкции на конечные эле­

менты приводит к увеличению времени расчета и требует больших ресурсов памяти ЭВМ.

Практика расчетов с применением МКЭ позволяет дать неко­ торые рекомендации, повышающие точность расчетов.

Исследователь должен уметь предвидеть области концентра­ ции напряжений. Более частая сетка требуется там, где ожидается большой градиент деформаций или напряжений (рис. 12.4).

Форма конечных элементов также влияет на точность вычис­ лений. С этой точки зрения следует избегать слишком узких и вы­ тянутых элементов (рис. 12.7), т.к. элементы с одинаковыми при­ мерно сторонами дают меныную ошибку.

Допустимо	Недопустимо	Удачно	Неудачно
Рис. 12.6. Влияние изменения		Рис.12.7. Влияние формы КЭ
размеров КЭ на точность		на точность результатов
результатов

Точность результатов конечно-элементного анализа зависит от вида сетки КЭ. На рис. 12.8 приведены разные варианты сеток, при использовании которых следует придерживаться следующих реко­ мендаций:

Рис. 12.8. Виды конечно-элементных сеток

1)Упорядоченная сетка (б) является более предпочтительной, чем произвольная сетка (а).

2)Линейные элементы требуют более частой сетки, чем квад­ ратичные элементы (с одним промежуточным узлом) или кубичные (с двумя промежуточными узлами);

3)прямоугольная сетка с 4 узлами (в) более предпочтительна, чем сетка с треугольными элементами (б);

4)сетка треугольных элементов с промежуточными узлами (г) имеет, по крайней мере, ту же самую точность, что и сетка прямо­ угольных элементов с 4 узлами (в);

5)прямоугольная сетка с 8 узлами (д) является более пред­ почтительной, чем сетка треугольных элементов с промежуточ­ ными узлами (г), несмотря на больший размер прямоугольных элементов;

6)аппроксимация смещений кубическим полиномом (е) не тре­ бует более мелкой сетки.

Выбор размеров элементов и граничных условий при построе­ нии сетки можно существенно уп­ ростить, если принять во внимание принцип Сен-Венана: две стати­ чески эквивалентные системы сил создают одно и то же поле напря­ жений на расстоянии от их точек приложенш большему чем харак­ терный линейный размер попереч­ ного сечения (Ь > а, рис. 12.9).

Рис. 12.9. Иллюстрация

к принципу Сен-Венана

Особую роль при переходе от конструкции к расчетной модели

играют базовые элементы, такие как стерженЬу пластина, обо­ лочка, с помощью которых чаще всего конструируются полные расчетные схемы сооружений и их частей. При использовании этих элементов возникает много проблем, связанных со стыковкой в конечно-элементной модели элементов разной размерности, и необходимо тщательно следить за тем, какие внутренние усилия могут возникать в применяемых конечных элементах и как эти усилия согласуются друг с другом в общих узлах. В табл. 12.1 по­ казано (знаком?), в каких случаях возможно появление проблем, связанное с разным числом степеней свободы в узлах разных ти­ пов конечных элементах [54].

Таблица 12.1

Проблемы стыковки различных элементов

Э лем енты		1	2	3	4	5
Стержни	1	+	?	?	9	?
Плиты	2		+	?	?	?
Пластины	3			4-	?	?
Оболочки	4				+	?
Объемные элементы	5					+

Рассмотрим некоторые характерные примеры стыковки эле­ ментов разной размерности.

♦ П римыкание ригеля к диафрагме. В месте примыкания ригеля к диафрагме и при моделировании ригеля стержнем (три степени свободы в узле), а диафрагмы —балкой-стенкой (две степе­ ни сво оды в узле конечного элемента), при действии на ригель вер­

тикальных нагрузок изгибающий момент в ригеле будет отсутст­ вовать (рис. 12.10, а).

Момента в точке примыкания (рис. 12.10, б) следует

детальнее рассм отри	r	J
стержня и диафрагмы^	1руК™ВНЬ1е особенности сопряжения

Рис. 12.10 Ст
а) лг> в». '	ТЬ1ковка стержня и пластины:
до введения связка-
в) фрагмент VT	^ еи>о) после введения связей;

г) фрагмент уточнеИ"0- СХСМЫПрИ заделке консоли в стенУ;

иной схемы при монолитном сопряжении

Например, если стальной ригель заведен на части своей длины в кирпичную стену, можно продлить ригель, заходя на балку-стенку на соответствующую длину и закрепить его не в одном, а в двух узлах (рис. 12.10, в).

Иной вариант расчетной схемы можно предложить в случае мо­ нолитного сопряжения железобетонной стеновой панели и ригеля кар­ каса здания. Здесь можно учесть фактические размеры сечения - высо­ ту ригеля, на протяжении которой вдоль границы стены уместно раз­ местить абсолютно жесткое тело, как это показано на рис. 12.10, г.

Втом и другом случае в месте примыкания ригеля возникает изгибающий момент (рис. 12.10, б).

Аналогичные приемы используются во всех случаях, когда воз­ никает необходимость рассмотреть сопряжение элементов различной размерности - стержней (одномерных) с пластинами (двумерными) или объемными (трехмерными) элементами, пластин и оболочек

собъемными элементами и т.п.

Вкачестве общего правша следует считать, что если какое ли­ бо усилие (в приведенном выше примере - изгибающий момент) не воспринимается конечным элементом, то такой элемент по отноше­ нию к указанному усилию примыкает к узлу «шарнирно».

♦ Стыковка колонны и плиты. Проблема стыковки возника­ ет в задачах опирания плиты на одиночную колонну или колонны на плиту (рис. 12.11, а).

Рис. 12.11. Стыковка колонны и плиты

Изгибающие моменты в колонне у стыка с плитой неверны, поскольку плита не может сопротивляться сосредоточенному момен­ ту. Кроме того, колонной не воспринимается крутящий момент. Сгущение сетки в месте примыкания не решает задачу.

Рис. 12.12. Опирание плиты на точечную опору [15]: abed - контур тела колонны; kc, kd, kb, ка - абсолютно жесткие вставки

Один из вариантов решения - введение «подколонника» (рис. 12.11, б), у которого размер а не зависит от размеров сетки конеч­ ных элементов (рис. 12.11, в).

При необходимости учета вос­ приятия колонной крутящих момен­ тов можно ввести абсолютно жест­ кие вставки (рис. 12.12), или приме­ нить абсолютно жесткое тело kabed, обеспечив кинематическую связь между его узлами.

♦ Стыковка плиты и стены. Моделируя опирание плиты на стену (диафрагму) (рис. 12.13), необходимо иметь в виду, что вдоль верхнего кан­ та диафрагмы имеет место нестыков­ ка аппроксимирующих или базис­ ных функций КЭ плиты с базисными

функциями КЭ плоского напряженного состояния, моделирующи­ ми работу диафрагмы.

плита	базисная "балочная" функция КЭ
	плиты, соответствующая
	вертикальному перемещению узла В

диафрагма

базисная “линейная" функция КЭ диафрагмы (плоское напряженное состояние), соответствующее вертикальному перемещению узла В

Рис. 12.13. Стыковка плиты со стеной (диафрагмой)

Такие нестыковки не являются препятствием для адекватности расчетной схемы, так как при сгущении сетки параметры НДС пли­ ты и диафрагмы будут приближаться к точному решению (конечно, при использовании «правильных» конечных элементов), а совмест­

ность работы плиты и диафрагмы будет обеспечиваться одинако­ выми линейными перемещениями в узлах стыковки.

3. Этап численной реализации

При использовании МКЭ в форме метода перемещений неиз­ вестными являются перемещения, и результатом решения в этом случае будет вектор перемещений в узле {U}, перемещения в дру­ гих точках элемента вычисляются интерполяцией.

Деформации вычисляются дифференцированием соответст­ вующих перемещений, и максимальная точность вычислений де­ формаций и напряжений будет в центре элемента.

При чрезмерно мелком дроблении конструкции на конечные элементы могут проявляться эффекты неустойчивости самого про­ цесса расчета. Это связано с тем, что при увеличении общего коли­ чества неизвестных обусловленность матрицы жесткости ухуд­ шается и накапливаются ошибки округления. В конкретных зада­ чах с большим числом неизвестных следует избегать чрезмерно густых сеток, а заданную точность достигать за счет более высокого порядка аппроксимирующих функций.

Известным примером плохой обусловленности является расчет МКЭ консольной балки, загруженной силой на свободном конце (рис. 12.14).

Причиной этого является эффект больших чисел, что может перекрыть более существенные стороны явления. Здесь полная же­ сткость балки, которая в конце концов определяет перемещение под

силой, определяется как

тогда как исходная жесткость КЭ

К- —г— , что уже при числе элементов п = 50 превышает G

(1/п)3

больше, чем в 106 раз.

В действительности балка изгибается по гладкой кривой, но при коротких элементах ошибки в вычисленных прогибах могут придать этой линии колебательный характер, что крайне нежела­ тельно.

Рис. 12.14. Конечно-элементный расчет консольной балки [54]

Для минимизации погрешности целесообразно нумеровать не­ известные, начиная от наиболее податливой части схемы, постепенно перемещаясь к местам ее закреплений, как показано на рис. 12.14, б.

При расчете стержневых систем для улучшения обусловленности матрицы жесткости часто используют абсолютно жесткие вставки.

Учет эксцентриситета при стыковке стержневых элементов. Чтобы учесть эксцентричность стыковки стержневых элементов в узлах (рис. 12.15, а), можно вставить между узлами п и л+1 стер­ жень с очень большой, но конечной жесткостью. Но это приведет к резкой потере точности вычислений за счет ухудшения обуслов­ ленности матрицы жесткости [54].

Для обхода этой вычислительной трудности обычно использу­ ют бесконечно жесткие вставки по концам стержневых элементов (см. рис. 12.15). Тогда расчетная схема имеет только один узел, зани­ мающий произвольное положение на прямой между узлом п и узлом п+1, и к этому узлу концы соседних элементов присоединяются через жесткие вставки. Потеря точности в этом случае не наблюдается. Проще всего можно поступить, если единственный узел N совмес­ тить с одним из узлов пары п, п+1, тогда абсолютно жесткая вставка появится только у одного из элементов.

Платой за это упрощение является то, что внутренние усилия будут определены лишь на упругой части стержня.

Полезно заметить, что при вставке между узлами и и л+1 стержня с очень

малой жесткостью, потери обусловленности не происходит [25].

Рис. 12.15. Стыковка стержней	Рис. 12.16. Плита,
с эксцентриситетом	подкрепленная ребрами

Использование абсолютно жестких вставок особенно рекомен­ дуется в тех случаях, когда рассматривается плита или оболочка, подкрепленная ребрами, эксцентрично расположенными по отно­ шению к срединной поверхности. Если эти ребра моделируются стержневыми элементами, то учесть эксцентриситет можно лишь при использовании абсолютно жестких вставок (рис. 12.16).

Замена пластин стержневыми элементами. В стержневой системе высота сечения h не должна превышать 1/8 - 1/10 расстоя­ ния между узлами Z, иначе стержневая расчетная схема с точечными узлами на пересечении осей элементов становится некорректной.

Но встречаются конструкции, в которых это отношение дохо­ дит до 1/5 или даже 1/3 (некоторые виды фундаментов под турбо­ агрегаты, диафрагмы зданий, гидротехнические сооружения и др.). В этом случае при использовании стержневой модели обычно реко­ мендуется использовать стержневые элементы с бесконечно жестки­ ми вставками. Пример такой схемы [54] представлен на рис. 12.17. Этот прием настолько давно используется, что расчетчики практи­ чески никогда не задают вопрос о правомерности использования гипотезы недефомируемости «узла».

Вместе с тем он далеко не лишен смысла, что видно из рассмот­ рения результатов расчета модельной задачи (рис. 12.18). В ее стерж­ невой модели горизонтальные перемещения отсутствуют, и верти­ кальный стержень не изгибается. Более детальная расчетная схема указывает на наличие горизонтальных перемещений, которые возни-