- •делится на лс2 — 2Ъ; cos а + X2.
- •12. Вычислить:
- •В следующих задачах найти все значения корня:
- •Решить уравнения:
- •49.. cosx + i sinx = sinx+/cos.x\
- •Найти следующие суммы:
- •§ 2. Функции комплексного переменного
- •66. Найти логарифмы следующих чисел:
- •67. Найти:
- •71. a) ctgm‘; б) Arcsint; в) Arctg—.
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •Вычислить следующие пределы: ]
- •Доказать, что следующие функции непрерывны на всей комплексной плоскости:
- •.... «) —комплексные постоянные.
- •103. Показать, что функция w = e* непрерывна во всех точках комплексной плоскости.
- •§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши — Римана
- •Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию /(г) по'известной действительной части и(х, у) или мнимой v (х} у) и значению Д(г0):
- •В следующих задачах найти все гармонические функции указанных видов:
- •Найти коэффициент растяжения г и угол поворота ф при заданных отображениях w — f (г) в заданных точках:
- •ражении w = га и длину его границы.
- •160. J sinzcoszdz.
- •§ 7. Ряды в комплексной области
- •Найти радиусы сходимости следующих степенных-рядов:
- •Оценить радиус сходимости R следующих рядов:
- •Определить область сходимости следующих рядов:
- •Определить области сходимости следующих рядов:
- •§ 8. Нули функции. Изолированные особые точки
- •Определить характер указанных особых точек:
- •§ 9. Вычеты функций
- •Вычислить следующие вычеты:
- •Используя вычет относительно бесконечно удаленной точки, вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Найти суммы следующих рядов,, считая число а нецелым:
- •§ 12. Конформные отображения
- •477. Плоскости с разрезом.по отрезку [—1, 1].
- •§ 14. Нахождение изображений и оригиналов
- •511. Проверить, какие из указанных функций являются функциями-оригиналами:
- •Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций: 555. a) e2t sin t\ б) e'cos nt.
- •Найти изображение функции:
- •Показать, что если / (/) === i7 (р), то
- •Показать, что функция
- •588. Найти изображение функции распределения масс Ш/, в точках i = k
- •594. Показать, что
- •595. Найти изображение функции / (() = Jx (I).
- •597. Показать, что
- •598. Функция Бесселя первого рода чисто мнимого аргумента In(t) выражается через функцию Бесселя /„(<) соотношением /„ (/) = (i)~nJ„ (it).
- •Показать, что
- •599. Полиномы Лагерра определяются формулой
- •600. Найти изображение функции /(f) = ln/.
- •Решить следующие задачи Коши:
- •Найти ре1иения уравнений:
- •§ 17. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом
- •§ 18. Решение интегральных уравнений Вольтерра
- •Решить интегральные уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 20. Решение некоторых задач математической физики
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •s Найти изображения, следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •854. f(n) = n2shan.
- •Найти следующие суммы:
- •Определить порядки следующих разностных уравнений:
- •Установить характер точки покоя (0, 0) в следующих системах:
- •§ 23. Второй метод Ляпунова
- •Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 в следующих системах:
- •§ 25. Асимптотическая устойчивость в целом. Устойчивость по Лагранжу
- •Исследовать на асимптотическую устойчивость в целом нулевые решения уравнений (см. [2]):
- •953. На примере уравнений
- •§ 26. Критерий Рауса — Гурвица
- •Исследовать на устойчивость тривиальные решения уравнений:
- •При каких значениях а будут устойчивы тривиальные решения следующих уравнений
- •§ 28. ^-разбиения
- •Построить D-области для следующих многочленов:
- •общее решение
- •называется устойчивым, если для любого в > 0 существует б (е) > 0
- •устойчивость нулевое решение следующих разностных уравнений:
- •ОТВЕТЫ
779. |
Определить движение тяжелой |
материальной точ |
||||||||||||
ки, брошенной с |
начальной |
скоростью- ©„ |
под |
углом а |
||||||||||
к горизонту, в среде, сопротивление |
которой пропорцио |
|||||||||||||
нально |
первой степени |
скорости |
(F = tnkv). |
|
|
|
||||||||
780. |
Частица |
массы т с зарядом е вылетает из начала |
||||||||||||
координат со скоростью (и, 0, |
0). |
На |
нее действует |
по |
||||||||||
стоянное |
магнитное поле Н, |
параллельное оси Oz, и со |
||||||||||||
противление среды кию, где © — скорость частицы. Пока |
||||||||||||||
зать, что ее координаты в момент времени t равны |
|
|||||||||||||
|
А- = |
|
{е1" - |
cos U + |
\ |
sill Xl), |
|
|
|
|||||
|
У — ~ p q rp - + |
щ г р |
|
cos U + |
k sin U), |
|
|
|||||||
где X = |
eH |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— , с —скорость света. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
781. Частица движется в сопротивляющейся среде, |
||||||||||||||
действующей |
на |
нее с |
силой |
F —2Х©, |
где |
© — скорость |
||||||||
частицы, |
и |
притягивается |
к |
точке |
10, 0) |
с силой |
р2/- |
|||||||
(т = 1). |
В точке |
(а, 0) частица |
|
обладает |
скоростью ©о, |
|||||||||
параллельной оси Оу. |
Показать, |
что при р > Х |
траекто |
|||||||||||
рия частицы определяется |
уравнениями |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
у = ^ eru sin cot, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
где © = ] /р 2 — X2; |
г — расстояние |
движущейся |
точки |
от |
||||||||||
точки (0, |
0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
782. |
|
Материальная точка А с массой т, находившаяся |
||||||||||||
на расстоянии а от оси Ох, получила начальную скорость |
||||||||||||||
©о, параллельную оси Ох. Точка А притягивается осью |
||||||||||||||
Ох с силой F, прямо |
пропорциональной расстоянию от |
|||||||||||||
нее; коэффициент |
пропорциональности |
равен т№. Найти |
||||||||||||
уравнения |
движения и траекторию точки. |
|
|
|
§18. Решение интегральных уравнений Вольтерра
сядрами специального вида
Интегральным уравнением называется уравнение, содержащее искомую функцию под знаком интеграла. Например, решение задачи Коши
У' —I (а, у), УЫ = У о .
как известно, сводится к решению следующего интегрального урав нения:
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У= $ /(* . |
У(*)) dx+!j0. |
|
|
||||
|
|
|
|
Х 0 |
|
|
|
|
|
|
Если искомая функция у |
входит в уравнение линейно, то интеграль |
|||||||||
ное уравнение |
называется |
линейным. |
|
|
|
|
||||
Уравнение вида |
|
|
ь |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У{х)= ] (х) + |
J К (х, |
t) у (t)dt |
(1) |
|||||
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
(а и b— постоянные) |
называется |
линейным интегральным уравнением |
||||||||
Фредгольма второго |
рода. |
Здесь |
К (х, |
/), |
/ (*) — заданные функции, |
|||||
у (х) — искомая |
функция. |
Функцию |
К (х, |
t) называют ядром уравне |
||||||
ния (1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x) = f(x) + \K ( x ,t) y ( t) d t |
|
(2) |
||||||
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
называют |
линейным |
интегральным |
уравнением * Вольтерра второго |
|||||||
рода. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если в уравнениях (1) и (2) |
/(.v) = |
0, |
то уравнения называются |
|||||||
однородн ши. |
|
|
|
входит только |
под знак интеграла, |
|||||
Если |
искомая функция у (х) |
|||||||||
то имеем |
соответственно уравнения |
Фредгольма |
или Вольтерра |
пер |
||||||
вого рода |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ь |
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
$ К (х, |
t) у (0 dt = , |
(х) или |
^ К (х, 0 у (() dt = / (*), |
|
||||||
а |
|
|
|
|
|
а |
|
' |
|
|
Уравнения вида* |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
<t(x) + \K (x -t)q > (t)d t = f(x) |
(3) |
|||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
с ядром K(x — t)t зависящим лишь от разности аргументов, пред ставляют собой важный класс уравнений Вольтерра. Они иногда называются уравнениями типа свертки.
Пусть имеем интегральное уравнение, Вольтерра типа свертки
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
<f(x)=l(x) + lK (x -t)< p(t)dt. |
|
(4) |
|||||
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
Будем предполагать, |
что / (х) |
и К (х) |
достаточно |
|
гладкие функции |
и |
||||
имеют конечный порядок роста при |
х ^ О . В |
|
этом случае и ф (х) |
|||||||
при |
х ^ О |
имеет конечный |
порядок |
роста, ’ а |
значит, |
может быть- |
||||
найдено |
изображение функций /, К и ф (по Лапласу). Пусть Ф(р)=== |
|||||||||
=== Ф (*), |
F (p)=r= f (х), |
L (р) ===К (х). Применяя |
к |
обеим |
частям |
(4) |
||||
преобразование Лапласа и пользуясь формулой |
свертки (см. § |
М, |
||||||||
IX), |
будем |
иметь |
®(p) = F(p) + L(p)®(p), |
|
|
(5) |
||||
|
|
|
|
|
|
j “> 7 М. Л. Краснов и др.
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф« " - Т ^ Г hr |
Li”> |
|
(S) |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Для |
Ф (р) находим оригинал ф (JC) — решение интегрального ура^е- |
||||||||||
ния |
(4). |
|
1. |
Решить |
интегральное |
уравнение |
|
||||
|
П р и м е р |
|
|||||||||
|
|
|
|
Ф (х) = |
cos * + J (х —/) ф (t) dt. |
(7) |
|||||
как |
Р е ш е н и е . Переходя |
к |
изображениям и рассматривая интеграл |
||||||||
свертку |
функций, |
получим на основании |
правила изображения |
||||||||
свертки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф (р) = |
— |
+ ^ |
ф (р). |
|
(5) |
||
откуда |
|
|
|
|
р* + 1 |
■ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
рз |
|
|
|
||
|
|
|
|
ф (Р) = |
|
|
|
(9) |
|||
|
|
|
|
|
(р 2— о |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
(ра+ о |
|
|
|||
Находя |
оригинал, |
для |
Ф (р), |
получим |
решение |
интегрального |
ура0‘ |
||||
нения (7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Ф (х) = |
(cos х + |
ch ж). |
|
(Ю) |
|||
Решить |
интегральные |
уравнения: |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
783. |
ф (х) = |
sin х |
+ |
$ (х — t) ф (() dt. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
784. |
Ф(х) = х + 1 |
J (x — t)3 y ( t ) d t . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
785. |
ф (дг) = |
^ sin (jf — t ) ( f ( t ) d t . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
о |
|
X |
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
786. |
ф (х) = |
cos х + |
$ ех~‘(р (0 dt. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
787. |
ф (*) = |
1 + * + |
$ со8(х - |
0 |
ф (/)<И. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
х |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78$. |
Ф (х) = |
£ + |
J |
(х - |
/) ег ('-*> ф (/) dt. |
|
|||||
789. |
Ф (х) = |
ег* + |
' |
\ |
(х - /)* <р (/) dt. |
|
|
790. |
ф (*) = |
* + 2 jj [(* - 0 - Sin (X - |
0] Ф (0 dt. |
|
|
|
0 |
X |
• |
|
|
|
|
|
791. |
ф (л:) = |
sinx + 2 |
$ cos (х — t) ф (t) dt. |
|
|
|
|
о |
|
792. |
ф(лг) = |
|
X |
|
|
|
|
|
= 1- 2 * - 4 * 2+ $[3 + 6 ( л ; - 0 - 4 ( х - 0 2]ф(*М/.
|
|
|
О |
|
|
|
х |
793. |
ф (х) = |
1 + j |
jj sin 2 ( x - t ) q > (t)d t. |
|
|
|
О |
|
|
|
x- |
794. |
ф (х) = |
ех — 2 |
$ cos (х — t) Ф (t) dt. |
|
|
|
о |
|
|
|
X |
795. |
ф (JC) = |
1 + - g - j ( x - t ) 3 cp(t)dt. |
|
|
|
X* |
|
796. |
ф (х) = |
х — $ sh (л: — /) ф (t) dt. |
|
|
|
о |
X |
|
|
|
|
797. |
ф (х) = |
sh х — $ ch (х — t) ф (t) dt. |
|
|
|
|
о |
Аналогично решаются интегральные уравнения Вольтерра пер вого рода с ядром К (х, t), зависящим только от разности x;— t, т. е. уравнения вида
|
|
U ( * - О ф (0 <#=/(*). |
(11) |
где / (х) —известная функция, ср (д:) —искомая функция. |
При этом |
||
мы предполагаем |
К (*, |
х) Ф 0. |
|
Пусть F (р) = |
/(*), |
1 (р )ф К (х), Ф(р)==ф (*). Применяя к обеим |
частям (И) преобразование Лапласа и используя теорему о свертке, будем иметь
откуда |
Цр) -Ф (p) = F (р), |
^ |
|
|
ф < й - Щ ’ 'Ч ( р ) , ‘ о' |
Оригинал для |
Ф (р) будет решением ф (х) интегрального уравне |
ния (11). |
|