- •делится на лс2 — 2Ъ; cos а + X2.
- •12. Вычислить:
- •В следующих задачах найти все значения корня:
- •Решить уравнения:
- •49.. cosx + i sinx = sinx+/cos.x\
- •Найти следующие суммы:
- •§ 2. Функции комплексного переменного
- •66. Найти логарифмы следующих чисел:
- •67. Найти:
- •71. a) ctgm‘; б) Arcsint; в) Arctg—.
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •Вычислить следующие пределы: ]
- •Доказать, что следующие функции непрерывны на всей комплексной плоскости:
- •.... «) —комплексные постоянные.
- •103. Показать, что функция w = e* непрерывна во всех точках комплексной плоскости.
- •§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши — Римана
- •Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию /(г) по'известной действительной части и(х, у) или мнимой v (х} у) и значению Д(г0):
- •В следующих задачах найти все гармонические функции указанных видов:
- •Найти коэффициент растяжения г и угол поворота ф при заданных отображениях w — f (г) в заданных точках:
- •ражении w = га и длину его границы.
- •160. J sinzcoszdz.
- •§ 7. Ряды в комплексной области
- •Найти радиусы сходимости следующих степенных-рядов:
- •Оценить радиус сходимости R следующих рядов:
- •Определить область сходимости следующих рядов:
- •Определить области сходимости следующих рядов:
- •§ 8. Нули функции. Изолированные особые точки
- •Определить характер указанных особых точек:
- •§ 9. Вычеты функций
- •Вычислить следующие вычеты:
- •Используя вычет относительно бесконечно удаленной точки, вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Найти суммы следующих рядов,, считая число а нецелым:
- •§ 12. Конформные отображения
- •477. Плоскости с разрезом.по отрезку [—1, 1].
- •§ 14. Нахождение изображений и оригиналов
- •511. Проверить, какие из указанных функций являются функциями-оригиналами:
- •Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций: 555. a) e2t sin t\ б) e'cos nt.
- •Найти изображение функции:
- •Показать, что если / (/) === i7 (р), то
- •Показать, что функция
- •588. Найти изображение функции распределения масс Ш/, в точках i = k
- •594. Показать, что
- •595. Найти изображение функции / (() = Jx (I).
- •597. Показать, что
- •598. Функция Бесселя первого рода чисто мнимого аргумента In(t) выражается через функцию Бесселя /„(<) соотношением /„ (/) = (i)~nJ„ (it).
- •Показать, что
- •599. Полиномы Лагерра определяются формулой
- •600. Найти изображение функции /(f) = ln/.
- •Решить следующие задачи Коши:
- •Найти ре1иения уравнений:
- •§ 17. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом
- •§ 18. Решение интегральных уравнений Вольтерра
- •Решить интегральные уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 20. Решение некоторых задач математической физики
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •s Найти изображения, следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •854. f(n) = n2shan.
- •Найти следующие суммы:
- •Определить порядки следующих разностных уравнений:
- •Установить характер точки покоя (0, 0) в следующих системах:
- •§ 23. Второй метод Ляпунова
- •Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 в следующих системах:
- •§ 25. Асимптотическая устойчивость в целом. Устойчивость по Лагранжу
- •Исследовать на асимптотическую устойчивость в целом нулевые решения уравнений (см. [2]):
- •953. На примере уравнений
- •§ 26. Критерий Рауса — Гурвица
- •Исследовать на устойчивость тривиальные решения уравнений:
- •При каких значениях а будут устойчивы тривиальные решения следующих уравнений
- •§ 28. ^-разбиения
- •Построить D-области для следующих многочленов:
- •общее решение
- •называется устойчивым, если для любого в > 0 существует б (е) > 0
- •устойчивость нулевое решение следующих разностных уравнений:
- •ОТВЕТЫ
Главные диагональные миноры матрицы Гурвица |
|
|
|||
Ai = 2—2а2» |
А2 = (2 — 2*72)(1 —*7i-{■* *72). |
|
|||
В силу указанного |
критерия |
должно быть |
|
|
|
1 + я1 + Дг> 0, |
1 —а2 > 0 , |
1—a! + a2 > 0 . |
(14) |
||
Итак, характеристическое уравнение (12) имеет в |
круге | Я | < 1 |
||||
корни тогда и только тогда, |
когда выполняются условия (14). |
вто |
|||
С л е д с т в и е . |
Линейное |
однородное |
разностное |
уравнение |
|
рого порядка с постоянными |
коэффициентами |
|
|
/ (#+ 2)+ tfi/ (я-f* 1)+ Дг/ (п) = 0
имеет асимптотически устойчивое нулевое решение /(л) = 0 тогда и только тогда, когда его коэффициенты удовлетворяют условиям (14).
П р и м е р 10. Исследовать на устойчивость нулевое решение /(я ) = 0 уравнения
2/(я+ 2-2/(я+1) + /(л) = 0.
Р е ш е н и е. Перепишем это уравнение в виде
|
/(я + 2) —/ ( л + 1) + |
^ /(л )= = 0. |
|||
Здесь 0! = —1, *72= 0,5. |
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
1-j- flj -f- *7*2= 0,5 > |
О, |
||
|
|
1 — а2= 0,5 > |
0. |
||
|
|
1— £7| -}- Qo— 2,5 |
|
0. |
|
Условия (14) |
критерия |
Рауса—.Гурвица |
выполнены. Значит, реше |
||
ние / (я) = 0 асимптотически устойчиво. |
|
|
|||
П р и м е р |
11. Исследовать |
на устойчивость нулевое решение |
|||
уравнения |
/(л + 2)+ /(л+1) + 2/(я) = 0. |
||||
|
|||||
Р е ш е н и е . Здесь ах = 1, а2 = 2. Имеем |
|||||
|
|
1 *7j |
— 4 > |
О, |
|
|
|
\ — а2 —— 1 < 0. |
|||
Нулевое решение неустойчиво. |
|
|
Для следующих разностных уравнений найти необхо димые и достаточные условия асимптотической устойчиво сти нулевого решения:
1012. |
я„/ (п + 3) |
+ a j (п + 2) + a j (п + 1) + a j (п) = 0. |
|
1013. |
f (п + |
4) + |
pf (п + 2) + qf (и) = 0. |
1014. |
/(л + |
5) + |
р/(п) = 0. |
1015. |
а}(п + &) — bf(л) = 0, афО, Ь > 0. |
||
Используя |
критерий Р^уса —Гурвица, исследовать на |
устойчивость нулевое решение следующих разностных уравнений:
1016. 11/(я + 4 ) - 8 / ( л + 3) + 8Дл + 2 ) - 4 / ( я + 1 ) +
1017. |
/ (п + |
4) + / (п + |
3) + / (п) = |
0. |
+ |
/ |
(я) = |
0 . |
||
2) + 2/(л + |
1 )~ |
|
||||||||
1018. |
1 2 /(л - И ) — 3 /(я + |
3) + |
2/(я + |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
- |
2/ ( л ) = |
0 . |
|
1019. |
7/ (л + 4) — 4/ (л + |
3) + |
30/ (л + |
2) — 4/ (я + 1 ) + |
|
|||||
1020. |
/(л + |
5 ) - / ( я + 1 ) + / ( л ) = |
0. |
+ |
3/ (л) = |
0. |
||||
|
|
|
|
|||||||
1021. |
/ (л + |
5) — / (л + |
2) — / (л) = |
0. |
|
|
|
|
||
1022. |
/( я + |
5) + / ( л + |
! ) —/(«) = |
0. |
|
|
|
|
ОТВЕТЫ
|
|
о г —20 _ |
|
36 , |
|
|
— Ъ |
у = ; |
— а |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Х |
17* У~~~ 1Г |
3‘ |
|
|
|
|
" “ |
аг+ й*' |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
4. Действительного решения нет. 5. |
2 (а2—f>2) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
(а2+ 62)2 • |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
7 .x - ц2 + о2- и |
|
У = ~ |
|
и |
и2- |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
(l~--U)* + |
t>* ’ |
(1 - и |
)2 + |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
8. г1 = 0, |
г2= |
1, z3 = |
- |
i |
+ « + ? , г4 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
в* а) р = |
5, <р = |
arctg |
|
б) р = |
4, |
ф = |
|
-д я; |
в) |
Р = 5 У Л2, |
<р = |
|||||||||||
= |
arctg |
1 |
|
|
|
4 |
|
|
ф = - ’- л ; д) |
р = |
5, |
|
<p = |
|
|
|
3 |
|
р = 1 , |
|||||
j |
— Щ г) р = 1 , |
|
— arctg - j ; е) |
|||||||||||||||||||||
Ф = 2я — а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
10. |
а) |
2 (cos я + |
1 |
sin л); |
|
б) 2 ^cos ^- + |
|
/ s i n j ; |
в) |
2 ^ c o s я-|- |
||||||||||||
+ |
* sin |
|
|
я ) ; |
|
r)V 2 ( 1 - |
|
sin a) [cos ( у |
+ |
f |
) + |
‘ sin ( j |
+ |
| - ) ] ; |
||||||||||
д) |
|
1 (cosа + |
i sin а); |
|
е) |
2е‘л; |
ж) |
|
{ 5 |
|
з) |
|
- ( 5 |
и) |
—~ i |
|||||||||
|
|
1 • е |
2; |
|
I -е |
2; |
2е |
3 ; |
||||||||||||||||
ч |
|
/ |
|
я |
\ |
|
|
|
- |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
\а — |
2 ) 1 |
|
|
|
1arctg X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
к) 1- е ' |
|
|
7 |
; л) /34<? |
|
|
5 |
х2—2kx cos а + |
Я2= [х—A, (cos а + |
|||||||||||||||
|
|
1 1 . |
У к а з а н и е . |
|
Так как |
|||||||||||||||||||
+ i sin a)]Л (cos a — i sin |
|
|
а ) 1, то |
надо показать, |
что |
/[A ,(cosa±: |
||||||||||||||||||
± |
i |
sin a)] = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
12. |
a) |
—2 i» ( l+ /j/3 ) ; |
6) |
2^ (1 + 0 ; |
в) |
|
1728; |
r) |
I. |
|
|
|
||||||||||
|
|
13. |
У к а з а н и е . |
Воспользуемся соотношением |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
+ i tg a |
_ |
|
|
cos a + i |
sin a |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
— i tga |
~~ cos (— a) + i |
sin {— оc) |
|
|
|
|
|||||||||||
и применим формулу Муавра к числителю и знаменателю. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
15. |
а) |
3 c^s2 ф sin ф — sin3 ф; |
б) |
cos3 ф — 3 cos ф sin2 ф; |
в) 4 Sin ф X |
|||||||||||||||||
X cos3 ф — 4 cos ф sin3 ф; |
r) |
cos4 ф — 6 cos2 ф sin2 ф + |
sin4 ф; |
д) |
5 sin ф X |
X cos4 ф — 10 Cos2 ф sin3 ф + |
sin5 ф; е) cos5 ф — 10 cos3 ф sin2 Ф + 5 cos ф X |
|||
X sin4 ф. |
' |
|
|
|
16. |
а) |
б) |
± + ( 1 + 0 : |
в) i ( ± / 3 + i), — Ц |
|
|
V 2 |
V 2 |
1 |
г) ± (cos у - . / sin |
, ± (cos g я + f sin |
n j • |
|
17. |
а) |
± 1 , |
|
± i ; |
|
б) |
l_ i( l+ i) . |
|
v ^ ( — cos |
|
+ *sin ^ ) , |
|||||||||||
> /l2 ^ s in ^ —<cos —j ; в) |
± ( K 3 —«)• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
18. |
' ^ 2 (cos 6° + i |
sin 6°); У 2 (cos 78°+ |
i sin 78е); |
У 2 (cos I5Q° |
||||||||||||||||||
-f i sin 150°); |
У 2 (cos 222°+ i sin 222°); |
У |
2 (cos 294°+ i sin 294°). |
||||||||||||||||||||
|
19. а) Вся комплексная плоскость, из которой вырезан круг ра |
||||||||||||||||||||||
диуса 2 |
с центром в начале координат, |
б) Круг радиуса r= 1 с цент |
|||||||||||||||||||||
ром в начале |
координат, |
причем |
центр этого круга удален (круг |
||||||||||||||||||||
«проколот»), в) Вся комплексная плоскость, |
из |
которой |
вырезан |
||||||||||||||||||||
круг радиуса |
г = |
1/2 |
с центром в |
начале |
координат. |
в |
точке |
z==5i. |
|||||||||||||||
б) |
20. |
а) |
|
Окружность |
радиуса |
г = 8 |
с |
центром |
|||||||||||||||
Круг |
вместе |
с |
границей |
радиуса |
г = 4 с |
центром |
|
в |
точке z = |
||||||||||||||
= |
1 + / . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21. |
а) |
|
Часть |
кольца, |
ограниченного двумя |
лучами |
argz = tt/4 н |
|||||||||||||||
argz = Jt/2 |
|
и окружностями |
радиусов |
г = 1 |
|
и /* = 2 |
с |
центром |
в точке |
||||||||||||||
z = |
-т-1. |
б) |
Часть |
|
кольца, |
ограниченного |
двумя |
лучами |
argz = -^- |
||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
и |
|
|
и |
окружностями |
радиусов |
г = 2 |
и |
|
г = 3 |
с |
центром |
||||||||||||
a r g z = y r t |
|
||||||||||||||||||||||
в точке z = 0. |
Множество |
|
также |
включает |
часть |
луча |
|
|
|
4 |
|||||||||||||
|
|
a r g z = - ^ J i |
|||||||||||||||||||||
между |
указанными |
окружностями и |
часть окружности |
|
|
о |
|||||||||||||||||
радиуса 3 |
|||||||||||||||||||||||
между указанными |
лучами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
22. а) Правая полуплоскость, включая и ось OY; б) полоса |
||||||||||||||||||||||
между прямыми */= 0 |
и у = 1 , включая эти |
прямые. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
23 . |
|
|
|
-а) Концентрическое кольцо, ограниченное окружностями ра |
||||||||||||||||||
диусов Ri*=\ |
и Ro —2 с центром |
в точке z0= — (2 + /). |
|
Обе окруж |
|||||||||||||||||||
ности принадлежат множеству; б) часть плоскости, расположенная |
|||||||||||||||||||||||
ниже прямой у —х\ |
в) полоса |
между |
прямыми х — \ и * = 2. |
|
|||||||||||||||||||
|
24. |
Внутренность |
единичной |
окружности. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
25. |
а) |
|
Внешность |
|
|
|
|
|
х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
параболы у — — — 1; б) действительная полу |
|||||||||||||||||||||
ось, включая |
и точку (0, 0). |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
26. |
|
|
|
/ |
|
|
гиперболы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Внутренность |
лт/= — - . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
27. |
Кольцевая |
|
область |
между |
|
эллипсами |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
, |
У2 |
I |
включая |
и сами |
эллипсы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
+ |
, - - = |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1о |
|
|
|
а) Внутренность окружности х2-\- (у— 1)2= |
1; |
б) |
область, за |
|||||||||||||||
|
28. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
ключенная |
между окружностями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
( * - 1)2+ |
0/ - |
1)2= |
2 |
и |
( х - 2 ) 2 + ( у - 2 ) 2 = 8. |
|
|
29.Прямую х = —2.
30.Прямую у —2.
31. а) Гипербола ху — \\ б) гипербола х- —у - = \\ в) окружность х« ( Н - ! Р = 1.
|
32. |
а) |
Окружность |
— ^ |
+У2= |
| |
; |
б) |
гипербола х у = —1 . |
|||||||
|
33. |
Гипербола л:2 — г/2 = у . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
34. |
Окружность |
( * + l) a + ^ —-L ja ==-?-. |
|
|
|
|
|||||||||
|
35. |
а) Эллипс |
+ |
^ - = 1 ; |
б) луч на |
оси 0Y |
от —1 |
до —оо. |
||||||||
|
|
|
|
Гипербола к г |
|
|
|
|
|
|
|
3_\2 |
||||
|
36. а) |
~ т |
= |
I; б) эллипс |
2 , |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(!г |
|
|
|
|
«Г |
||||
|
( 3 ^ 2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
к |
37. |
а) |
Окружность |
д:2-f- f/2= ]; |
б) |
|
прямая, |
перпендикулярная |
||||||||
отрезку |
zxz2 и |
проходящая |
через |
его середину; |
в) |
гипербола |
||||||||||
/ |
1 \ 2 |
|
|
1 |
|
парабола у2 = 2х~\~\. |
|
|
|
|
||||||
fJC—— I |
|
—(/2= - ; г) |
|
|
|
|
||||||||||
+ |
38. |
a) |
z —z = |
О |
и г + 2 = 0; |
б) z + z + / (г — z) = 0; |
в) A(z + z) + |
|||||||||
26 + / (z —z) = |
0. |
2fl2; |
б) |
* z + z + z = 0. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
39. |
a) |
Z2 + 22= |
|
|
|
|
|
||||||||
|
« . - о + г я ; _ 1 + £ 5 ± , Ц Д . |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
" |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
41. |
- 1 ; 3; 1 ± 2 L |
42. |
г |
2^1 + |
22 . |
43. b+ ai. |
|
|
|||||||
|
44. |
- 3 - « / 3 . |
45. |
/ 3 - < . |
|
|
|
имеем |
|
|
|
|||||
|
•46. Р е ш е н и е . |
По условию задачи |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4— 3») (cos<p + « sinФ) = р | (—1 + 0 |
|
|
||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 cos ф + 3 sin ф = — |
, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—3 cos ф + 4 sin qp = У 2 . |
|
|
|
|||||||
|
Отсюда |
|
|
cos ф |
7 / 2 |
|
т. е. tg ф = |
|
уI , а зна- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
чит, ф = — arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
47. < р = + я . J |
8. |
= |
ctg — (й = 1, |
2.........я — 1); |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
*± |
|
|
|
tl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49.xk = j + f a |
\k = 0, |
± 1, |
± 2, |
...). |
50. |
- / 2 + 1 7 / 2 . |
51. = 3 —/, z2== 1 + 3/, z3= —1 + f.
53.Р е ш е н и е . Рассмотрим сумму
Sn = (cos х + i sin x) + (cos 2x + i sin 2x) + ... + (cos nx + i sin nx).
Применяя формулу .Муавра, получим
Sn= (cos х + i sin *) + (cos x + i sin x)2+ .. . -f- (cos x + i sin x)n.
Этоесть сумма первых п членов геометрической прогрессии со зна менателем <7= cos* + t sin х и первым членом ах= cos х + i sin х. Она равна
|
0 _ |
(cos х + |
i sin *) —(cos nx гЬ i sin nx) (cos x + |
i sin x) |
||||||||||
|
n~~ |
|
|
1 —(cosдt+ i sin1*) |
|
|
|
” ' |
||||||
Отделяя |
действительную и мнимую части, |
найдем |
|
|
|
|||||||||
|
|
. |
пх |
/ |
, |
14 |
|
. |
пх |
/ |
, |
14* |
|
|
|
п |
Sin |
-zr- |
х , . |
Sin -zr- |
|
||||||||
|
|
42 |
( п + |
1) |
|
2 |
. (п + \) х |
|||||||
|
Sn = --------- cosl- - ~ - ; |
+ t -------г - |
sin-v |
|
|
|
||||||||
|
|
sm |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sln |
2 |
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) |
sin* + |
sin 2x + |
... + |
sin nx- |
|
' T |
. |
( n + 1)* |
|||||
|
|
----- sin v— |
—-—; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
slrr |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
nx |
. |
|
ii4 |
|
|
.. |
, |
|
rv ^ J |
. |
|
|
Sin |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
( '* + 0 * |
|||||||
|
6) |
COS X + COS |
23r=|-T7T+ cos nx = ------ — cos |
-— 1— |
— |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S.n 2 |
|
|
|
|
||
|
sin2 nx |
|
sin 2nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
54. |
a) |
sin x |
6) |
2 sin * |
|
|
|
|
u = x2— y", |
v = \ + 2xy; |
||||
55. |
a) |
u = x + 2xy, v=y* —x‘—y; |
6) |
в) |
u = Zxy*--x*, v = l-3 x * y + y * ; г) |
и = |
|
щ |
- |
o = |
^ |
g; д) |
u = |
||||||||||
|
x — 2xy—y + \ |
|
x*+y —y*+x _ |
|
|
x*—y* |
|
2xy |
|||||||||||
|
(ДС+ 1 )2+y* |
’ |
|
|
(АГ+ 1 )2+ y2 |
|
’ |
|
u ~x*+ y*' |
v ~ |
x* + y*' |
||||||||
|
56. a) |
w = — 1; |
6) ta = —3 —4i; |
в) |
|
^ |
Z |
; r) w = — |
—t j — • |
||||||||||
|
57. |
а) |
Окружность |
н2+ и2= 4, |
|
|
|
|
|
по |
ходу |
I u |
|
||||||
|
проходимая |
|
часовой |
||||||||||||||||
стрелки; б) ось |
Ov |
(исключая |
точку |
О), |
|
проходимая |
так: сначала |
||||||||||||
от 0 до + о о , |
а затем от —оо до 0; в) луч, |
идущий по биссектрисе |
III |
||||||||||||||||
координатного |
|
угла |
|
из оо в 0; г) |
луч, |
идущий |
по |
биссектрисе / |
|||||||||||
координатного угла из оо в 0; д) биссектриса II координатного угла, |
|||||||||||||||||||
пробегаемая из 0 до оо, и биссектриса IV |
|
координатного угла, |
про |
||||||||||||||||
бегаемая из оо в 0; е) положительная |
действительная |
полуось, |
про |
||||||||||||||||
бегаемая из + о о в 0. |
|
в ось |
OUt |
причем |
при изменении х |
||||||||||||||
|
58. |
а) Ось |
ОХ |
|
переходит |
||||||||||||||
от —оо до + о о |
ось OU пробегается |
от + 1 |
до —оо и от + а э до - f 1 |
||||||||||||||||
(точка |
1 исключается). |
Ось OY |
переходит |
|
в окружность u2 + v*= 1. |
||||||||||||||
б) Ось ОХ переходит в ось OU так же, как |
и в п. а). Ось |
OY пере |
|||||||||||||||||
ходит |
в прямую м = 1, |
пробегаемую |
от точки |
-|-1 до \-\-ico и от |
|||||||||||||||
1 —юо до + 1 |
(точка |
1 |
исключается). |
|
|
|
х, г» = |
(2 * + 1 ) у\ в) |
и =? |
||||||||||
|
59. |
а) |
и —2.x— 1, |
и= 2у\ б) |
и = х2 —у2 |
|
|
||||||||||||
= |
х |
|
0== |
|
У . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** + У*' |
х2 + У2> |
60. |
|
а) |
и = е х cos у, |
v = — е х sin у\ |
б) и —ех* у2cos 2ху, v = |
= — ех* |
у2 sin 2дгг/; в) и = sin * ch у, v = cos*sh у\ |
г) ы = ch х cos (у — 1), |
|||
с/= sh JC sin (г/ — I). |
|
|
|||
61 |
/ |
м = |
” //2) 1п 2~ 4/глдс,у cos [2&л (а:2—(/2) + 2 In 2 • дл/], |
||
' 3 |
\ |
у= |
— ^2) 1п 2 |
4/?Jl*v sin [2kn (х1 -у-)-\-2 In 2 • ху] |
|
|
|
|
|
(k = 0, |
± |
1, |
± 2, ...); |
|
||
|
б) н = |
ch х созу, |
w= ch х sin у, |
в) |
cin 1*ГПС У |
||||||
|
и = - р _ |
v = |
|||||||||
__ |
sh у ch у |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
~ |
ch2 у — sin2 |
дг * |
|
|
б) |
р = 5/4, |
ф0= я. |
|
|||
|
62. |
а) |
р = |
3/4, ф0==— я/2; |
|
||||||
|
63. |
p = |
ch 1, ср0= я/2. |
64. |
р = |
я, |
ф0= — я/2. |
|
|||
|
65. |
p = cos2 (ln3), |
Фо = |
0. |
далее, |
если |
не оговорено |
противное, |
|||
|
66. |
а) |
1-|-2£л*. |
Здесь |
и |
68. а) |
р = О, |
ф — неопределен; |
б) |
р = £ 2*л, |
ф = 1п 10 + 2т я |
||||||||||
(k, т = 0, |
± 1, |
± 2, ...); |
в) |
р = |
9е2*я, |
ф = — 1пЗ + 2т я (£, т = |
|||||||||
70. |
а) |
I sh я; |
б) |
ch я; |
в) |
i th я |
|
|
|
|
|
|
|||
71. |
а) |
— i ct hn; |
б) 2kn — { In ( ^ 2 - l), |
(2* + 1) я |
- / In ( ^ 2 + l); |
||||||||||
в) ^2A+ |
|
j я — i In (V 2 + |
U, |
^26 — |
я — i In ( / 2 — l). |
||||||||||
72. |
a) |
tai + |
In 2 |
(ft = 0, |
± I. |
+ |
2, |
...); 6) |
i; в) |
0. |
|||||
i - g - |
|||||||||||||||
73. |
г* = |
(2*+ 1)я( |
(k = 0, |
± 1 , |
± 2 , |
...). |
|
|
|||||||
74. |
г* = |
^2А— i j n / |
(* = 0, ± |
I, |
± 2 , |
...). |
|
|
|||||||
75. |
г * = (2 /;+ 1 )я |
+ |
i In 2 |
(* = |
0. |
± 1 , |
+ 2 , |
...). |
|
||||||
76. |
гА= |
^ - |
1 ) |
я |
(k = 0, |
± |
1, |
± 2 , |
...)• |
|
|
||||
77. |
г2Л = |
2£л — i In (|Лд2 + |
1 —я), |
|
|
|
|
г2Л+1 = (2^+ i) я —i 1П (К я 2-)- 14-я) (k = 0, ± 1 , ± 2 , ...).
78. |
x = U . |
|
z2/;+i = |
(2£ + |
I) ni + |
|
In 3 |
(k = 0, ± |
1 t |
2, ...). |
||||||
79. |
zik=2kni, |
|
||||||||||||||
80. |
z * = ln (l+ K 2) + ( 2A: + |
j j i t i , |
|
zft= |
ln (1^ 2 - |
I) + ^ 2f t - i j nf |
||||||||||
(* = 0, |
± I, |
± |
2, |
...). |
|
— e + t. |
82. |
1. |
|
|
|
|
||||
81. |
a) 2 = |
1 —t; 6) z = |
|
|
|
|
||||||||||
83. 0. 84. He существует. 85. 0. 86. 1/3. |
94. 1. |
|
|
|||||||||||||
87., — i. 88. t. |
89. |
He |
существует. |
90. |
0. |
|
|
|||||||||
95. |
Уй. |
96. — /.-97. |
—2i. |
г) да; |
д) |
нет; |
е) да. |
|
|
|||||||
104. а) нет; б) да; в) |
нет; |
|
|
|||||||||||||
105. а) нет; б) нет; в) нет; г) да. |
двух |
направлений, |
характери |
|||||||||||||
109. У к а з а н й е. |
Для |
любых |
||||||||||||||
зующихся |
единичными |
векторами |
s° |
|
и |
л°, |
связанными |
условием |
||||||||
n° = /s°, |
имеют место обобщенные условия |
Коши —Римана |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
ди _ d v |
|
ди __ |
|
ди |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ds~~ дп' |
ds ~ |
|
дп |
|
' ' |
||||||
Чтобы |
получить |
условия |
Коши —Римана |
в полярных координатах |
||||||||||||
|
|
|
|
ди __ |
\ |
dv^ |
|
d v ___ 1 |
ди |
|
|
|
||||
|
|
|
|
др ~~ р дер' |
др ~~ |
р дф •' |
|
' ■ |
надо в качестве s° взять единичный вектор касательной к окруж ности I 2 j = р* направленный против часовой стрелки, а за л° — век тор* внутренней нормали к окружности. Кроме этого, надо учесть, что
д ____д |
д _ |
д |
|
д п ~ |
др' |
d s ~ |
р д.р' |
Тогда легко из (1) получим (2 ). Отметим, |
что условия Коши —Римана |
|||||||||||||
в декартовых координатах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ди __ do |
|
ди __ |
ди |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
дх ~~ ду' |
|
дх ~ |
ду |
|
|
|
|||
получаются |
из (1) при |
|
s° = 1, |
n° — i. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
114. |
а) |
/(г) = |
1 ; |
б) f(z) = lnz; |
в) /(г)= г= + 2г. |
|
|
|||||||
115. |
a) /(z) = |
2shz —г2; б) / (z) = |
2sinz —г; в) / (z) = 4 chz + |
г2— 1. |
||||||||||
116. |
a) |
/(z) = |
2 cos2z + |
z; |
б) |
/ (г) = 2/ (cos г — 1) —/z2+ |
2. |
|
||||||
118. |
а) |
да; б) |
нет; |
в) |
да; |
г) |
нет. |
|
|
|
|
|
||
1 Ю. а + с = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
120. а) нет; б) да; в) нет; г) да. |
|
|
|
|
|
|||||||||
122. f {u) = CiU+c2; |
сх и с2= |
const. |
и е. |
Показать, |
что |
функ |
||||||||
123. |
а) |
нет; б) |
да; |
в) да. |
У к а з а н |
|||||||||
ция In w аналитична |
в области |
D. |
и = сх (ах + |
by) + с2. |
|
|
||||||||
125. |
а) |
да; б) нет; |
в) |
нет. |
126. |
|
|
127.и^=с1ху-\-с2. 128. и —сх arctg -~ -f с2.
129.и = сх(х-— у-)-\-с2.
130, w = cx у x-f- V *2+ //‘2+ г2>CI и с2— произвольные постоянные.
|
IS1- |
" = c> p f ? +C2, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
132. |
a) rx= |
2, |
— ; r2 = — ; ф2= — у ; б) |
^ = 1 , ф ^ О ; г2 = |
|||||||||
= |
ch- 1 — sin2 1 1 |
ф 2 = |
— |
arcfg (tg 1 • th |
lj; |
в) r x = |
15, |
ф 1== — arctg |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 ’ |
'* * 3 ( l |
+ j ) , |
ф2= л — arctg |
• |
|
|
|
|
|||||||
|
133. |
а) Полуплоскость |
R e z > 0 |
растягивается, |
полуплоскость |
|||||||||
R e z < 0 |
сжимается. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
б) |
В любой |
точке |
г (кроме г = 0), |
лежащей |
внутри окружности |
||||||||
| z ' = l , |
имеет |
место |
растяжение, а для |
точек, |
лежащих вне этой |
|||||||||
ок ружности, — сжатие. |
п. б). |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
в) |
То же, |
что |
и в |
|
|
|
|
|
|
||||
|
г) |
Часть |
комплексной |
плоскости, |
лежащая |
внутри окружности |
||||||||
| г ' = |
1/}^3, сжимается; |
часть |
плоскости, |
лежащая вне этой окруж |
||||||||||
ности, — растягивается. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
134. |
S - =8/3, |
/ж-2 (1 |
+ |
/2 ) + 1п(3 + 2 /2 ) . |
|
||||||||
|
135. |
S ~ = |
Х'2 |
х‘ (sh 2уг — sh 2ух) — |
|
- У| (sin 2хг — sin 2*,). |
136.7,5л.
137.К 2 (в=«— 1).
138. Данный прямоугольник отображается в кольцо е ^ ^ £2, площадь которого равна л(е4 —е2). По формуле (9) получаем 4(е*-е-).
Ошибка |
происходит из-за |
того, |
что |
при |
заданных |
условиях |
отобра |
|||||||||||
жение не является взаимно однозначным. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
139. |
1/2. 140. - j . |
|
141. |
~ |
|
(в2- 1 ) ( 1 + / ) . |
|
|
|
|||||||||
142. |
а) 2л<; б) —2л/. |
143 |
0. |
144. |
0. |
145. |
(i— \)еК |
|
||||||||||
146. |
а) |
2 |
б) 6 + |
2/. |
147. |
|
- 2 ( 1 + / ) . |
148. - 1 . |
149. - |( / - 1 ) . |
|||||||||
150. |
а) |
с cos 1— l.+ i^sin |
U б) |
^ cos 1— 1+ie sin 1. |
|
|
||||||||||||
151. |
— ( l + / s h l ) . |
152. a ) ' 2 ( / - l ) ; |
6) |
2 / 2 / . |
|
|
|
|||||||||||
153. |
2 K 2 - 4 + |
/ 2 / 2 . |
154. |
—7e~- + (3 — 2/) + |
155. с"1- |
I. |
||||||||||||
156.. cos 1— sin 1—fe”1. 157. |
1— cos 1-f- £ (sin 1— 1). |
|
||||||||||||||||
158. |
- |
1 ( 5 ? + |
3 1п*г) + |
|
/ £ |
|
In 2. |
159. |
|
|
|
|
|
|||||
160. |
~ |
(1 r-co s(2 + |
2/)]. |
'61. |
— (tg 1 + |
i- |
lg= I + |
2 th2 1j + / th 1. |
||||||||||
162. |
|^2 sh 1 + |
/ ( ^ 2 sh 1 —2 l^sin |
l). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
163. |
^ I s h 2 |
+ |
-i-jt. |
164. |
- |
J |
. |
165. |
0. |
|
|
|
|
|||||
166. |
— In / |
sh3 1 + |
cos2 1 + / |
arctg (tg 1 *th |
1). |
|
|
|
167. л/. 168. ле~г. 169. /. 170. nsh I.
171. 0. 172. |
3 |
л с Ь л - / . 173. 0. 174. — - /. |
|
4o |
175. я. |
176. 0. 177. |
- я I. |
178. |
2л1. |
я/ |
я 2 |
|
я (я + 2) 1^2 , |
|
|
|||
179. |
8 |
i'. 180. |
0.- |
181. |
27' ,82‘ |
-"2 sh 11 |
183.пЧ. 184. 0. 185. —2т. 186.
187.Расходится. 188. Сходится. 189. Сходится. 190. Сходится
191.Расходится. 192. Сходится абсолютно. 193. Сходится. 194. Рас*0 дится. 195. Сходится. 196. Расходится._
197.Я = 1 . 198. Д = 1 . 199. R = V 2. 200. R = оо.
201. |
Д = 1 . |
202. |
R = оо. 203. |
1 |
204. |
R = 1.. |
205. |
R = 1. |
206. |
Я = оо. 207. |
Я = 1 . |
208. |
в"1. |
209. |
а) и б) R : |
г + г' — | /•—/•' I.; |
в) R ^ |
гг'-, г) R-. |
||
210. |
— sin 1 + 2 (z + 1) cos l + ^ ( z + l )3 sin 1 —|j - ( z + l) s Cos I —... |
|||||
R = co. |
1 |
|
|
|
|
|
211. |
|
|
|
|
OO |
|
- 4 |
|
|
|
|
||
|
V2 1+(г+т)_21(г+т)2_ш(г+ 7)3+-],/?='с |
212. V e ^ \ + |
j |
(2z— 1) + ^ |
(2z — D2+ — (2z — 1) * + ... |
] , |
R = co, |
|
|
|
|
Ш . - { [ l + |
| |
(z + 2 ) + 8; |
(2 + 2)3 + | ( Z + 2 )3 + ...], |
R = |
2M- - i - I ' - r a - — ••
215. |
— r*2 + 23+ /2 5 — 27 — ... , |
/? = |
1. |
|
||||||
216, |
| + т (5 Г + П + - ) ' |
* “ ” • |
|
|||||||
2I7- r ( a + |
H + |
S |
+ 4 |
* - » • |
|
|||||
21. In 2 _ ± ( - * + Д + Й , + |
|
R _ 2. |
||||||||
219. |
1 |
П |
2 |
|
+ |
й |
— |
|
|
|
220. |
I |
l |
l |
|
|
|
^ |
г5 4- |
|
/? = л |
|
----- г |
-1-------- г3 4- — |
|
|||||||
|
О |
22 |
“ |
' |
3J23 |
' |
5 ( 2 3 |
« |
• • • » |
^ — Jt* |
|
02 |
|
QI03 * |
|||||||
221' |
|
1 |
|
|
2[2зг1! — з[2з г3+ |
"-> |
= V 1п2 (2 — | ^ з ) + д З . |
|||
У ~ ^ 2 + |
||||||||||
222‘ |
6 |
|
|
|
216зг2-*'зТбЗг3+ |
” - • |
Л = ^ 1 п 35 + л 2. |
|||
223. |
In 2 — g-z + ^ z |
2—— |
г< + |
. . . , |
R = n‘ |
|||||
224- - 2 Г га- |
г |
Ч |
г |
г“ + ' - ^ ^ |
|
|||||
225. |
In |
2 2-2 |
- ----2 *-----------1 г 6-!- |
|
/? —л |
|||||
|
|
4 |
|
|
4-41 |
|
2 • 01 |
|
|
226. |
e ( l + 2 + ~ « * + |
|
i ? 2»+ . . . |
R = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
227. |
/ ( Z) = |
- i1_ |
, |
| z j < |
1. |
229. |
I z \!> 1/V2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
230. |
I г | > 2 . |
231. |
|
| z | > e'K |
232. |
\ z \ |
> e . |
233. |
| 2+ 1 |
| > |
1/4. |
|||||||||||||||
234. |
I z —2 —t I > |
1/2. |
235. |
|z + |
2( | > |
3. |
236. | г + |
|
1 —f | > |
1. |
||||||||||||||||
237. |
| г + 1 + |
/ | < |
]. |
238. |
|
I z —i ! < |
2. |
239. |
0 < |
| z —2 + |
t |< |
1. |
||||||||||||||
240. |
2 < | z | < 4 . |
241. |
Расходится |
всюду. |
242. |
l < | z j < 2 . |
|
|||||||||||||||||||
243. |
I z — i I > |
e. |
244. |
|
1< |
| z | < |
2. |
245. |
I г + |
1 | > |
2. |
|
|
1. |
|
|||||||||||
246. |
0 < |
I z — i I < |
2. |
247. |
0 < |
| г | < I. 248. |
0 < ! z— I j < |
, |
||||||||||||||||||
249. |
1) |
Если |
| a | > |
j b |, |
то |
всюду расходится; |
2) если |
| а | < |
||||||||||||||||||
то сходитЛ |
в |
кольце |
| а | < |
| г | < |
] й |. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
252. |
1 |
|
|
2 |
|
22 |
|
4- |
|
. |
253. |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
г |
|
|
|
||
— |
1 4- — 4- ~ |
|
|
— |
4- — |
4- — 4 . |
- - -1- — 4- |
|
||||||||||||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
i - |
з, |
r |
••• гз |
“t- 22 ^ |
2\г |
* |
3 |
! ^ |
4! |
|
|
|||||||
254. |
|
|
|
2 |
|
|
I |
|
I |
|
|
|
|
|
255. |
|
22 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
||
г34-г2+ -- 4- - |
|
4- — + ... |
г4— — 4- |
--- -- 4 - |
|
|||||||||||||||||||||
оКС |
^ |
|
^ 2 ! |
^31 |
M ! z ^ |
|
|
|
2! |
‘ 4! |
|
6!z2 ^ |
|
|
||||||||||||
4 2 |
|
44 |
, |
|
4й |
|
|
|
|
|
1 |
z2 |
, |
z4 |
|
г« |
, |
|
|
|||||||
|
2I2z3 |
4!2z& |
|
|
6l2z7 |
|
“ • |
|
2! |
4! |
+ |
6! |
|
8! |
|
|
|
|||||||||
256. |
1 + |
1 |
+ |
| |
+ |
| 1 |
+ |
... |
2 |
5 |
9 |
. | - ^ |
|
+ |
4 |
- ^ |
+ . . . |
|
|
|||||||
260. |
------ L - L J---- - |
+ .. . |
261. |
1 |
l |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
z2 |
|
21г 'г |
3! |
|
|
4! |
|
|
|
|
|
Z + |
|
(Z+ 1)2* |
|
|
|
|
|
||||||
|
■>2 |
|
|
|
О» |
|
|
Л I “ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
262. |
•sin 2 |
|
sin 2 |
( г - 2) |
|
cos 2 |
(г —2)2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
z — 2 |
|
2\ |
|
|
■"зГ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ !!£ 2 (г_ 2)з + ^ 2 (г- 2И _ . . . |
|||||||||||||
263. (1 —0 + (z+ 0 + f2Т —11)г+7 + \31 |
|
2! |
(Z + |
О2 |
|
|
||||||||||||||||||||
2 [ ( я + 1)! |
п | ] (г + ')_Л' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7Z= I |
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
3 /1 - 1 _ 2 Л- 1 |
|
|
|
||||||
*•■ •-2 ^ 4 2 |
|
Z \ п |
б) |
/1= |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
zn |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
265. |
a, 1г |
- |
2 |
<->>■« |
* |
2 |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
л = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
/1 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
266. |
а) |
Не |
разлагается; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4 Г |
|
1 |
2 3 + 2 |
|
24— 1 |
|
25 _ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
г:| |
|
|
г4 |
|
|
|
г3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
267. |
|
( - 1)"-1 , |
|
V |
|
( - 0 е |
гл. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
z" |
• |
+ 2 |
|
2п+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
268. а) £ |
[ n - ц г р ; |
б) 2 |
^ + |
2 |
У ? гл; |
« = |
1 |
л = |
1 |
л = |
0 |
|
|
|
|
|
п+ (-2 )л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
■ >£+2Л= 1 |
2л+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
uu |
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2в9, |
2 |
FF2T - |
2 |
|
|
|
|
27°- Не Раялагается- |
|
|||||||||||
|
|
п= 1 |
|
|
л = О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
*"■ |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
» * |
+ |
|
2 |
.1 |
(п + 2)-4п*1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
я = 2 |
|
|
|
|
|
|
п = |
|
|
|
|
|
|
||||
|
273. |
_ |
1 |
VI |
z2n+1 |
|
1 |
2 ^- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
л = О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
I |
у |
4Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
12 |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
274. |
|
/ |
L Ч 1 |
{— 1 £ (2_ / ) я. |
275. |
|
я • 4Л"1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
i=2I (7+2р з “ |
|||||||||||||||||
|
|
'2(z - /)+ 4 |
Li |
|
(2i)‘ |
v |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
п = О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
276. |
a) z = 0 —второго |
порядка, |
гь 2 = |
± |
2/ — простые; |
б) гл = /|Л |
||||||||||||||
(я = |
±_ 1, |
: t 2, |
...) —простые. |
|
|
|
гл = |
ял |
(n = |
Ji 1, |
± |
2, ...) — |
|||||||||
|
277. |
a) z = 0 —третьего |
|
порядка, |
|||||||||||||||||
простые, |
б) |
г = 0 — простой/ |
гп = ял/ |
(я = |
± |
1, |
± |
2, |
...) — второго |
||||||||||||
порядка. |
а) |
2„ = |
(2я - И ) л / |
(я = 0, ± 1 , |
± 2, ...) —второго |
порядка; |
|||||||||||||||
|
278. |
||||||||||||||||||||
б) гл = (4я + 1) |
f (я = |
0, |
± |
|
1, ± 2, ...) —второго порядка. |
|
|||||||||||||||
|
279. |
а) г = —л/ — второго |
порядка! |
г„= ял/ |
(я=--0, + |
1, |
± 2 ; ...) — |
||||||||||||||
. простые; |
б) |
гп~ |
3 /" |
|
|
JT |
|
0, |
± |
1 , |
± |
2, |
...), |
|
|
|
|||||
у |
(2я + 1) |
^ |
(/1 = |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
м |
л |
1 + |
/ К з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2л + |
1) у |
-----2---------простые. |
||||||||
zn= |
280. |
a) zlt 2= ± |
л/ — второго |
порядка, |
|
|
|
|
|
нет. |
|||||||||||
(2я + |
1) л/ |
(я = |
1, ± |
2, |
± 3 , |
...) —простые; б) нулей |
|||||||||||||||
|
281. |
Второго порядка. 282. Третьего-порядка. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
283. Простой нуль. 284. Четвертого порядка. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
285. |
Первого порядка. |
286. |
Второго |
порядка. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
.287. Четвертого порядка. 288. Пятнадцатого порядка. |
/я); б) ну |
|||||||||||||||||||
лем |
289. |
а) |
Нулем, |
порядок |
которого не |
ниже |
чем min (я, |
||||||||||||||
порядка я + т ; |
в) нулем |
порядна я —/я, е с л и я > т ; |
правильной |
||||||||||||||||||
точкой, ие являющейся |
нулем, |
если я = т ; особой точкой, если я < пи |
|||||||||||||||||||
в) |
290. |
а) Полюс |
третьего |
порядка; |
б) |
полюс |
четвертого |
порядка; |
|||||||||||||
полюс второго |
порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
порядка. |
|
|
|
||||||||
|
291. |
а) |
Полюс простой; |
б) полюс второго |
|
|
|
||||||||||||||
|
292. |
а) |
|
|
|
д |
|
(я = 0, |
± 1 , |
+ 2, |
...) — полюсы |
второго |
|||||||||
|
гл = ( 4 я + 1 ) — |
||||||||||||||||||||
порядка; |
б) z = 0 — устранимая |
особая |
точка. |
|
|
|
|
|
|
|
293. |
a) z = —2 — существенно особая точка; б) 2 = 0 — существенно |
|||||||||||
особая |
точка. |
|
|
|
порядка, г = —-I |
— полюс второго |
|||||||
|
294. |
а) 2 = 0 —полюс второго |
|||||||||||
порядка; б) г = 0 полюс |
второго |
порядка, г = 2лл/(я = ± |
1, ± 2, |
|
— |
||||||||
простые |
полюсы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
295. |
а) г = 0 —существенно особая точка; б) г = —1— существенно |
|||||||||||
особая точка; в) 2 = 0 —существенно особая точка. |
|
|
|
I, |
|||||||||
|
296. |
а) |
г = 0 — устранимая |
особая |
точка; г = 2д£ (k = ± |
||||||||
± |
2, |
...) — полюсы |
|
|
|
|
ГС |
|
(к —0, |
± |
1,- |
||
второго порядка; б) г — -^-{-2кл |
|||||||||||||
± |
2, ...) —устранимые |
особые |
точки; |
гс |
|
(/г= 0, ± |
1, |
||||||
г = — -^+ 2кл |
|||||||||||||
:» |
2, |
...) —простые |
полюсы; |
в) |
г = д — простои |
полюс; |
г —кл |
||||||
(к = 0, — 1, |
± 2, ± 3, ...) — полюсы второго порядка. |
|
|
|
297.Устранимая особая точка. 298. Полюс простой.
299.Полюс простой. 300. Устранимая особая точка.
301.Существенно особая точка.
302. |
2 = 0 — полюс |
четвертого порядка, z = — 1— полюс простои. |
303. |
Устранимая |
особая точка. 304. Устранимая особая точка. |
305.Полюс простой. 306. Устранимая особая точка.
307.Существенно особая точка. 308. 1. 309. — 16/3.
310. 1. 311. —1. 312. 0. 313. 0.
ЗН . |
res/(0) = 0, |
r e s / ( - J ) = |
* |
, rgs/ ( f + |
|
|
|
» |
|||
(п = 0, ± |
1, ± 2, ...)• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
315. |
res (0) = 1/24. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
316. res/(— 0 = ' |
' + |
3 lcos 1, |
res/(() = — ^ -^ ic o s l, |
res/(3) = |
^ . |
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
„Я/6+2ПЯ |
|
|
|
|
317. |
res./ J^(—1)"-g + n n j = |
|
J 2 |
КЗ |
|
|
|
|
|
||
|
e Я/в+(2л- 1).^ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
_ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
VI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K f - Л/6+2лЯ |
|
|
|
|
||
res/ j^(— !)«-*-» |
g |
= |
|
V I ' |
|
|
|
|
|
||
|
____ 2 _ |
я /в + ( 2 я - 1 )л |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
К з |
(п = |
0, |
± 1 |
± 2, ...). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
318. |
r e s / ( 0 ) = - | , |
res/(l) = e. |
319. r e s /(—1) = |
^ , |
res/ (2) = |
||||||
____1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
320. |
res / (0) = 0, |
res/(2l) = - i ± |
| e |
f. res/(2z)= |
(1 |
|
‘ . |
|
|||
res/(23) = ^ i i ^ - —, res/ (zt ) = — ^ |
'}.* |
■, где z k |
( k = l , |
2, 3, |
4)— |
||||||
|
4 ^ 2 |
|
|
|
4 V 2 |
|
|
|
|
|
|
корни уравнения г4+ 1 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
res / (0) = |
- |
-g . 322. |
res / (0) = |
0. |
|
|
|
|
323. |
res / (— i) = |
g sh 2 • i, |
res / ^ |
) = ~ "§ ^ |
2e_^ £‘ |
||||
324. |
res/(0) = |
- r e s / ( 3 ) = ^ |
s in ^ - |j . |
|
|
||||
325. |
res / (0) = |
0. |
|
|
|
H |
|
|
( |
326. |
r e s /(—3) = -~ e-3', res/ (— 1) = |
— |
, |
res/(l) = ^ -. |
|||||
327. |
r e s / ( 0 ) = - n42, r e s / ( j ) = |
0. |
328, res/ ( . ) = - 1.. |
||||||
329. |
*2n (2/t — 1) (2л —2) ... [2n —(n |
2)] |
|||||||
res / ( D = ------------------- (— |
i)]------------------- • |
||||||||
330. |
resf(nn) = 0 (n = 0, |
: 1 , ± |
2, |
...). |
|
|
|
||
|
% 00 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
331. |
|
|
в точке г= 0. |
|
|
|
|||
(2/1 - |
1)1 (2/1)1 |
|
|
|
|||||
332. |
e в точке 2 = 1 . |
|
|
|
|
1. |
|
||
333. |
sin 1 в точке 2 = 0; - - sin 1 в точке 2 = |
|
334.1— ег1 в точке 2 = 0; е~1 в точке 2 = —1.
335.в"1— 1 в точке 2 = 0.
|
оо |
(—1)л |
|
|
|
|
Л |
|
|
|
||
336. |
VI |
|
|
|
|
|
|
|
||||
JL (2л)! (2/1 + 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
337. |
0.~338. |
0. |
339. |
(1 —2^-i) т . |
340. |
2 (1 -е -* ) я*. |
||||||
3.1. |
— 4 л/. |
342. |
0. |
343. |
— |
In 3 • лI. |
344. 2ni. |
|||||
|
О |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
345. |
[cos 1+ |
sin 1+ / (sin 1— cos 1)] |
^ |
346. |
я/. |
|||||||
347. |
0. 348. |
2 n t^ -. |
349. |
—пЧ. |
350. |
2л;. |
|
|||||
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
351. |
sin 1—4 cos 1 |
я/. |
352. |
— |
т |
353. |
0. |
354. Зл/. 355. 0. |
||||
12 |
г |
7~2 |
||||||||||
356. |
2 = оо— простои полюс. |
|
|
|
|
|
||||||
357. |
2 = 0 0 —устранимая особая точка. |
|
|
|||||||||
358. |
2= оо—существенно особая точка. |
|
|
|||||||||
359 |
2 = оо— устранимая |
особая точка. |
|
|
360.г= оо—устранимая особая точка.
361.2= оо—полюс третьего порядка.
363.2л/. 364. 0. 365. 0. 366. 2nd.
367. |
я |
/. 368. 2л/. |
|
370. |
|
|
||
— - |
369' |
ab (а-\-ЬУ |
||||||
|
3 |
|
|
У~2 |
||||
371. |
3 |
372. |
< Ц 2 -* " л . |
373. |
|
|
||
|
8 |
|
ЬЬ* — а- |
Ь- — 5а- |
|
|
||
374. |
2 (Ь2 —а*р |
375. |
я. |
|||||
Т 3 |
!" |
а3 |
376. |
|
гетт-- *77-! »■ ЗУ8- |
J |
379-^W |
||||
|
п sin |
|
|
|
|
|
|
|
381. |
■у е_3 (cos 1—3 sin 1). |
382. |
у |
е~4(2 cos 2 + sin 2). |
||||
383. |
~ e - * ( 2 e - l) . |
384. у |
ег». |
|
|
|
||
385. |
|
п1 е |
a!VilY iI/„„„cos __ _|_ sjn |
|
| . |
386. ^-а. |
||
|
2 К 2 |
|
V'2 |
|
К 2. |
|
||
387 |
Я |
е-та |
388. |
/3 |
I |
3S9. |
||
2а |
~ р |
2 sin |
п |
|||||
|
|
|
Y z |
|
2 |
|
|
|
390. |
^ (2 -р )< г “. |
391. 0. |
|
|
|
|
392.(362- а = - т 6 (3 6 = + а=)]. 393.
|
2 |
(1 |
|
6 *)• |
395- |
2 |
|
|
|
|
|
2а< |
4а3 |
•кп- |
|||||
394. |
Л |
|
|
|
|
|
|
Ь |
|
а л. |
|
396. |
Д |
|
пе~ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
397. |
2 |
j / " |
- К |
К |
- |
398. |
я ( Д |
----------Л |
- ) . |
399. - Д Ц . |
|||||||||
|
г |
а |
|
|
|
|
|
|
\ sin ал |
sin |
6л / |
1 |
—р2 |
||||||
400. |
л (1 — р -f-р2) |
|
401. |
|
|
2л |
|
-. |
402. |
0. |
|
|
|||||||
403. |
|
|
1 - Р |
~~ |
|
|
Р“(Р“ |
1) |
|
|
|
|
|||||||
7/---Л^г=г. 404. |
|
л/. |
405. |
|
— |
(а — V а 2 — Ь2). |
406. |
_■ |
|||||||||||
|
К а 2 - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
62 |
|
|
|
|
К 1 - а 2 |
||||
407. |
|
2л |
|
|
|
|
1 —гса с^ л а |
|
|
|
|
|
|||||||
V а2— Ь2 |
|
|
|
|
2а2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
409. i ' 4 ^ (clgha+clhna)- 4I°- иге |
|
|
|||||||||||||||||
411. |
Л |
|
412. |
cm тт/> |
413. |
|
"^3. |
|
|
|
|
|
|||||||
414. |
л ch qQ |
|
1 |
|
а I ^ |
|
|
|
I л 2а2 ch ла |
ла |
|
||||||||
|
|
|
|
|
__ |
|
Л |
|
|
||||||||||
|
2as h n a |
|
2а2 |
415. |
|
|
|
sh2 ла |
sh ла Ч |
|
|||||||||
416. |
|
|
|
4а4 |
|
|
|
||||||||||||
res |
£ -Ф = 1 |
|
(6 = ± |
1 , ± |
2, |
...) |
|
|
|
||||||||||
|
г = к п } ( г ) |
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
417. |
|
res |
|
|
|
|
|
(6 = |
0, |
± |
1, |
± 2. ...) |
|
|
|||||
|
|
Л^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2—~ 4- А?л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
418. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л> |
|
, |
, |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г= у |
|
+/(Л |
|
|
|
|
|
|||
б) res |
У (г) |
|
(6 = |
0, |
± |
1, |
± |
2, |
...). |
|
|
|
|
||||||
г= (гл |
^ ^ - = 4 |
|
|
|
|
419.- 2 - 420. 3. 421. 6. 422. —1. 423. —3. 424. —4.
425.2. 426. ]. 427. 1.428. 1. 429.. 2. 430. 6.
431.3. 433. Нет. 433.5. 434. Нет. 435. II. 436. С.
2.436. 3. 439. 4. 440. 1. 441. п. 442. 2.
443. 4. 444. Нет. 445. 1. 446. I.
450. а) Вся плоскость; б) вся плоскость, кроме точки г = £ в) вся плоскость, кроме точки г= 0; г) вся плоскость,- кроме точек
zk = 1 — |
^ = 0» ± 1» |
:£ 2» ••• Д) вся плоскость, кроме точки |
||
г = — 2i. |
|
|
|
г. |
454. |
а) и б) —параллельный перенос; в), г) и е) — поворот; |
|||
д) —растяжение, |
6) |
w = — az+b; в) w = — i (az + b), где а"и |
||
455. |
a) w = az + b; |
|||
b — действительные числа, |
a > 0; |
|||
456. |
а) w = — |
z + |
6) w = 2z + i; в) w = iz — 2. |
|
457. |
w = - |
|
|
|
458. |
У к а з а н и е . |
Полагая |
z = x + ity, w = u + iv, получим |
и = |
x |
.. |
У |
х2+ у - ' |
V = - |
х * + У * ' |
|
|
|
Обходя границу полуполосы, например, так, что область остается слева, в силу принципа соответствия границ находим, что образом полуполосы будет четвертый квадрант с выброшенным полукругом
1
|
|
2 ‘ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
459. |
а) |
. a r g K > = ~ - ; |
б) |
\w |
|
= 1 , |
— л < |
arg w < |
—i ; в) |
— |
||||||
\ и ^ -2*, у = 0; г) ~ < о < 1 , и = 0; д) |
|
|
|
, и > 0. |
|
|||||||||||
460. |
w = — |
|
461. |
|
|
1 |
|
|
|
л |
|
|
|
|
||
|
® ~ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
iz —i |
|
|
^ |
з » w ^ |
|
|
|
|
|||||
462. |
Re w > 0. |
|
463. |
и < |
о. |
|
464. |
м -[-а < |
0. |
|
|
|
|
|||
465. а) — 1+ *; |
б) |
|
в) оо. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
466. |
а) |
w = — az + b; б) |
w = — i (az + b), |
где |
а п Ь —действитель' |
|||||||||||
ные числа, |
а > 0. |
|
|
, |
|
z — i |
|
|
.z —2i |
|
|
|||||
467. |
w = |
2 |
|
468. |
= |
) |
|
|
|
|||||||
2 - г |
|
а) |
2 |
б |
w = i - |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
-J- 1 |
у |
2 + 2i |
|
|
|||||
469. |
w = |
z — i |
|
470. |
Ш= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
/г — Г |
|
|
|
(3< — 1)Z — I — ЗГ |
|
|
|
|
|||||
471. |
w = i. 1 - 2 |
. Воспользоваться |
формулой |
(7)*. |
|
|
||||||||||
|
|
|
1 + г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
472. |
u> = |
2z —5 |
, |
Воспользоваться |
формулой |
(7). |
|
|
||||||||
|
|
|
1 0 -2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
473. |
Р е ш е н и е . |
Воспользоваться |
формулой |
w = ei(P- — |
где |
|||||||||||
г0—точка |
первого |
круга, переходящая |
в центр |
|
1 —220 |
|||||||||||
второго. В случае |
||||||||||||||||
а) имеем. |
|
|
j = 0, |
г. с. г0= |
у . |
|
Используя |
условие |
ar8 / ' ^ j |
= ^ , |
п |
., |
. 2z — 1 |
„ |
получим ф = у |
Итак, w —i ;^ |
. В случае б) аналогично получим |
|
до = — iz. |
|
|
|
474 tt- s - * |
+ |
^ ( l ~ D ( » + l ) |
5 —z + V 5 (i + К) (г + 1)"
475..Первый квадрант плоскости до.
476. Область — ^ I до — 1 | ^ 1, — — ^ arg (до — 1) <^0.
*4
477. w = |
J / ^ j i £ . |
478. |
to= Vre2IlJ/+ e '2Ilo« |
||||
<79. » |
- |
/ £ |
£ |
• |
480. |
до = |
|
<80. « - ( S i ) 1' |
|
||||||
У к а з а н и е . |
Сначала отобразить круг |
на верхнюю полупло |
|||||
скость, а |
затем |
преобразовать ее в плоскость |
с разрезом. |
||||
|
|
|
|
|
я |
|
|
481.w=[(z —z0)e -i{*']v* — <Р‘в
482.w = — e~z. 483. до = (
|
|
|
|
|
|
|
|
1 / |
|
|
|
|
|
|
|
|
484. |
На |
прямоугольник |
{In г |
|
ы ^ |
In #, |
О ^ у ^ |
л }. |
|
|||||
|
|
|
__ |
i л_ |
|
|
|
__ /_зт |
|
|
|
|
|
|
|
|
485. |
wY = ze |
2 , |
о; = }/Лш1 = |
}/Лге- |
4 0 ^ 1 = 1 ). |
|
|
|
||||||
|
486. |
= |
|
ш = Кш1== | / " |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
- |
487- |
|
|
w* = Wl- w(l - |
ay |
|
|
|
|
|
I* |
|
|||
|
488. |
к;1 = |
г2, |
тогда a;i!z. l4I- = |
2t. Согласно |
формуле (9) до=<?*'$у |
|||||||||
X - |
-1 7 ~ - = е|ф2л |
Т |
. Из условия |
до(0) = |
1 находим, |
что |
——.1. |
||||||||
ДО1 + 21 |
г2+ 2* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2/ —22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончательно ш= -— — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
489. |
Верхний |
2i + z 2 |
| до — 1 | < 1, |
1ш до > |
0. |
|
|
|
||||||
|
полукруг |
|
|
|
|||||||||||
|
490. |
Четверть |
круга | до | < 1, |
О С arg до < |
-у. |
|
|
|
|||||||
|
491. |
Прямоугольник с вершинами в точках |
1, 2, |
2 + ie, |
l+ie. |
||||||||||
|
492. |
«* = 2*. |
= |
|
ш= ю*= ( 16+г4' а |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
16—ДО! |
|
|
16— Z*) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n i |
(z |
— g) |
|
|
|
|
493. |
до^= z — а, до2= £ - ^ д доь |
до = £бГа?^а = е |
* |
а |
|
|
|
|||||||
|
494. |
до = |
In г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
495. |
д о ^ г * |
доа= — Дох, |
до3= |
^ |
± 1 |
| |
w = |
|
|
|
|
* |
||
|
496. |
доА= |
2/2, до2= |
до! + у |
, до = |
sin до2= |
sin ^2/z + |
~ |
j = ch 2г. |
10 М. Л, Краснов н др.
497. |
|
ш - 2 |
х—2 |
498. |
ш |
|
2/ ! ± i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* » • |
|
и,1 " |
2г’ |
|
|
|
|
|
|
* - |
5 |
т г |
|
4г»—4 iz + l |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4г»+ 4 {г + Г |
|
||||||||||||
502. |
|
ш— |
^гтт‘ |
603. |
ю = е ‘'“ « |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Z8ff |
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскость w с разрезом |
||||||||
504. |
|
а) единичный |
круг |
| ш | < 1; |
б) |
вся |
|||||||||||||||
вдоль отрезка |
и = 0, — 1 ^ v ^ |
|
1 . |
н = * 3—^2+ 2 *+ 2; |
функция |
тока |
|||||||||||||||
505. |
|
Потенциал |
скоростей |
|
|||||||||||||||||
о = 2 |
( * + 1)#; |
линии |
уровня |
|
х2—у2+ 2х = |
•— гиперболы; |
линии |
||||||||||||||
тока |
ху+у*=с2— гиперболы; величина скорости |
V = 2 К ( * + |
1)3+^®5 |
||||||||||||||||||
направление скорости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Ф= — ardg |
|
j--f /ШТ, |
m = — I, |
0, 1 |
|
|
|
||||||||||
(см. |
формулу |
(1) |
на |
стр. |
7); |
|
проекции |
скорости |
на |
оси |
Ох и |
||||||||||
506. |
|
Потенциал |
скоростей |
|
#2 —[р> |
; |
функция |
тока |
о = |
||||||||||||
|
ц = ^ 2^ |
|
^ |
||||||||||||||||||
---------- —-— ; линии |
уровня |
х*—у2= ^ |
(дс2+ у2)2; линии тока |
ху = |
|||||||||||||||||
= са (х2+ |
1/2)2; |
величина скорости |
V = |
|
|
|
^3/2; |
направление |
ско |
||||||||||||
рости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф = 3 arctg — + |
(3m — I) я, |
|
/п = — 1, 0, |
1; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
проекции |
скорости |
на оси Ох и Оу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2х(3у>-х*) |
|
|
2y(yi-3x*) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
O x |
|
|
(jC2 + f/2)3 |
• |
V Oy |
|
(x 2 - fy 2 )3 |
• |
|
|
|
||||||
507. |
Потенциал |
скоростей |
w = |
у In [(* — 1)2+ 03]; |
функция |
тока |
|||||||||||||||
v = a |
r |
c |
t g |
линии |
уровня |
|
(х— 1)2+ г/2= сх —окружности; |
линии |
|||||||||||||
тока |
у = с2 (* — 1) —прямые; |
величина |
скорости |
|
V = |
■-*=_ - |
|
|
|||||||||||||
направление скорости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и * |
- 1)2+</а |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Ф = |
arctg |
+ |
|
/ял, |
« = * — 1» 0, |
1; |
|
|
|
|
|||||||
проекции |
скорости |
на оси Ох и Оу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
V |
— - |
х |
* |
|
|
К |
= |
|
|
У |
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( * - 1 ) 2 + ^ ’ |
|
|
(^ — 1 )2 _|_ |
|
|
|
|
508. /(г) = (1 - 0 *2+ *. 509. f (г)» sin г -р с.
510. Г^=в— Юл по обеим окружностям. |
|
|
|
|
||||||||
511. |
а) |
да; |
б) |
да; |
в) нет; г) |
да; |
д) да; |
е) |
нет; ж) нет; |
з) да; |
||
и) нет; |
к) |
да; |
л) да; м) |
да. |
|
|
|
|
|
|
|
|
512. |
1- |
. . . |
3 |
. . . |
1 |
|
|
. . . |
|
Г ( а - И ) |
7 |
|
р2‘ |
Н 3' |
р» + 9 * 514 |
(р-1)*’ |
|
515. |
,а+1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
— • |
Р° |
|
|||
516. |
Нет. |
517. |
|
5 , 8. |
Р‘+ |
1 |
519. |
Й |
т а Т Г - |
|
||
|
|
|
|
Р1 |
|
|
2р2(р+1) |
|
520.— L . 521. — 1 —
р —а р3+ 16
523. |
aF (ра). 524 |
|
|
525. |
|
т (р2-\-т2 — п2) |
||||||
Р(Р2 + 4)" |
(р- + m2+ |
— 4т*л*в |
||||||||||
|
||||||||||||
526. |
Р*+ 7р |
|
|
527. |
|
|
2тпр |
______ |
||||
{р2 + 9)(р2+ 1 у |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
(р2+ w2— п2)2— 4т2п2* |
||||||||
528. |
|
Р |
|
4 р _ Д |
529. |
__ |
Р (Pt± I^+ J}L l |
|||||
|
в ( р + р*+16 |
р2 + \ ) ‘ |
|
|
(р2 + |
т 2 + |
п2)2 - 4 т 2л 2‘ |
|||||
530. |
Р2 + 2 |
531. |
(Р2 +1) (Ра + 9)' |
532. |
2<ор |
|||||||
Р (Р*+4)’ |
(р2+«*)** |
|||||||||||
533. |
р«+16р2 + 24 |
|
|
—г,»2 |
|
535 |
1 |
|||||
Р(Р2 + 4) (р2-{- 16)' 534. |
(Р2+ |
(оГ - ‘ |
( P - I ) 2’ |
|||||||||
536. |
2р8—6р |
|
|
2 (р2 + р + 1 ) |
|
„ „ |
2р2+ 4 р + 8 |
|||||
<Р*+Т)Г* |
537- |
(р2-1)~ |
■ |
538’ |
|
(р2 + 4)* ‘ |
539. |
бР |
|
540 |
(Р2- ! ) 2' |
|
|
|
|
|
|
|
542. |
(Р2 —4)2' |
|
543. |
546. |
a) In ------- |
г |
; б) |
|
р — |
' |
|
547. |
|
|
|
548. |
•> |пр ^ т — |
|
< |
|
|
54, |
Р2+ Р 2+ р Ц 2- |
*>2 |
||||
Р(Р2+ |
1)- |
5 |
|
р(Р2 + |
« 2)2 |
■* |
||||
р2 + 2ш2 |
|
544. |
1 |
545. |
||||||
Р2 (Р2 + 4w2) ' |
|
‘ р2 - |
м2 |
|
P<P + 1)S* |
|||||
Р |
+ |
1 . |
1 ,У |
р * + * |
|
|
||||
l n ^ |
|
i ; |
’ |
В) |
уг |
In |
- |
|
|
|
р |
|
|
2 |
|
р |
|
|
|
«> lnf = r
549. |
In— . |
550. arc' g— . |
551. arctg -- — arctg |
ТП |
||||
|
п |
|
° п |
|
° fit |
|
||
552. |
A In — + В 1 п 4 + С1п— . 553. |
|
In — . |
|
|
|||
|
«a |
|
Р 1 |
у |
|
a |
p —m |
|
554. |
1 . 1 a + b |
|
1 |
|
|
|||
T ln| Z=rb • |
55S- a> |
(p — 2)2 + |
|
Г' 6) (p-/»)*+«*• |
||||
556. |
3i |
557 |
1 |
— |
|
P2- |
2P |
|
(P+1)4' |
1 |
CP—I)*—1■ 558. |
(p2_2p + 2)'* |
|||||
559. |
1 |
p - 3 |
|
|
|
|
|
|
2 (p - 3 ) |
2 |
' (p —3)2 + 4‘ |
|
|
|
|
||
10 *' |
|
|
|
|
|
|
|
|
560. |
1 |
|
|
|
|
|
р + а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 (р + а ) ^ 2 [ ( р + а)2 + |
|
4р2]' |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
561. |
е- ь р |
|
|
562, |
е гьР |
|
|
|
ре~ьР |
|
563. |
|
ег-Р |
|
|
||||||
W + \ ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2р |
|
2 (р2+ |
4) * |
566. |
Р = \ ' |
|
|
|||||||||||||
564. |
\ — егР |
|
|
565. |
--——————щ |
1—2егР+г*Р |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
\ — 2 егР + ег* Р |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Р |
|
|
|
|
|
Ье~°Р |
р |
|
569. |
1 —<гаР |
|
|
|
|||||||
567. |
е ~ а р |
|
568. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Р+ Ь' |
Р(Р + Ь) ' |
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
570,. Г ° Р- |
^ |
|
, |
57, ■ т2/г = 0 |
( - |
0 Ч 2А+ 0 |
|
|
|||||||||||||
572. Р (р) = |
Л . (2е~-аР — 1) + |
1 |
в-»Р. |
|
|
|
|
||||||||||||||
573. |
|
|
0—ар |
(2— е- а Р - ег*>Р). |
|
|
|
|
|
||||||||||||
F (р)= — |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
574. F (р) =----- 1 |
|
иг |
+ |
^ |
|
|
- |
|
2 «-«/»+ A |
|
r « v . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
ар2 |
|
|
|
ар1 |
|
|
|
|||||
575. F (р) = |
- |
|
+ |
-— ^ |
|
|
|
|
|
-----^ (Г2°Р. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
р |
|
|
ар2 |
|
|
|
|
|
|
|
яр2 |
|
|
|
|
|
||
576. |
F (р) = —-----L g-ар + Д |
|
^зар. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
чг/ |
|
р |
|
ар2 |
|
|
|
|
ар2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
577. |
Р(р)------j r ° P . + |
f |
«-Мр- |
S79. F ( |
|
р |
) |
. |
|||||||||||||
580. |
1 + р —<г-р |
|
Rftt |
|
^ |
, |
|
|
1 + е “яр |
|
|
|
|
||||||||
р2 (еР |
_ |
1) . |
|
ОО I. |
,, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
{ |
|
|
|
|
р2+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
582. |
- 1 |
- |
р |
|
I 2е |
2 |
|
) |
|
|
583. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
(Р2+ О (1 —е“яр)* |
|
||||||||||||||||
|
Р2+ 1 |
\Р + 1 —ег*р)' |
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
л |
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,2 е |
|
8 Р |
|
Ре |
[*Р |
|
|
, |
3ir*P |
|
|
|
|
|
||||||
|
3) Р3+ 4 ’ б) р2 + 9 ’ l) р2—9 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
588. |
2 ] |
т Ае“*Р. |
|
589. |
?----- |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1) в |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( Р - 1)(р 2+ |
|
|
|
|
|||||||||
590. |
(Р —2) (р2+ |
1) |
. 591. |
|
|
|
|
2 |
|
|
_ |
A t l f ( p ) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1)* |
592< |
|
|
593, р3 (р + 2)* |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
595. |
Р е ш е н и е . |
|
Известно, |
|
|
что |
Ух (^) = — У' (/). |
Используя |
результаты предыдущей задачи и теорему о дифференцировании ори гинала, находим.
1 |
+ Уо(0) = - |
v V + 2 - р |
Ji (0 -.ь —Р |
К ^ + Т * |
|
К> + 1 |
К р » + 1 |
596. |
Р е ш е н и е . |
При |
л = 0 |
и /1 = 1 формула |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Jn (О |
(К У -+ 1 --,р У‘ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
КрЧ-1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
верна. Применим |
метод математической индукции. Так как |
|
||||||||||||
то |
|
(0 = |
|
(0 - Л ж (0 « Jn-i (0) = 0 |
(п ^ 2), |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
(У рг+ \ — р)п~ъ _ |
2р (У р- + 1 —р)п~1_ (К р 2+ |
1 —р)п |
||||||||||
|
|
V ¥ + \ |
|
|
|
|
\г рЧ л |
|
|
/ р ч Л |
||||
597. |
Р е ш е н и е . |
Рассмотрим функцию |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
\_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(P) = |
|
е |
р |
|
|
(л = |
0, 1, |
2, |
...). |
|
|
|
Имеем |
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
- |
0 * . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AI Jjn+ft+i* |
|
|
||
|
|
|
|
/г — 0 |
|
|
|
2= С |
|
|
|
|
||
Следовательно, / ( / ) = |
^ |
(_ |
j)/?//z+A |
|
|
|
|
|
||||||
^ |
|
|
|
|
Замечая> |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
к = о |
|
|
о° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( - D*<2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
/ я ( 2 К 7 ) - |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
*!(« + *)! |
’ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
/г = |
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
получаем f (/) = tn/iJ n (2 VO). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В частности, |
при я = 0 имеем |
|
■/о (2 Y t ). |
|
|
|
|
|||||||
599. |
Положим ср(/) = /ле“/. По |
теореме смещения |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
/л<>- |
|
|
|
л1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( Р + 1)'т |
’ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Нетрудно |
проверить, |
что |
Ф (0) = <р' (0) = |
... = ф,л |
1} (0) = 0. |
Согласно |
||||||||
теореме о дифференцировании |
оригиналов |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
dn |
(tne- О |
|
рп • |
/г! |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
dtn |
(Р+ 1)я+1 |
|
|
|
|
|||||
Используя |
теорему смещения, |
находим |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
(р — 1)л • я! |
_ |
1 ( l _ l ) " |
(„ = |
0. |
1. 2 ....). |
|||||
|
|
|
|
я1 pnYi |
|
|
Р |
|
|
|
|
|
||
600. |
|
Р |
Р |
где |
С = |
lim |
( 1 |
|
|
+ ”Г |
- 1п, 1) - п ° - |
|||
|
[15]). |
|
/I -> оо \ 1+ - £ + • • • |
|||||||||||
стоянная |
Эйлера |
(см. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
601. Р е ш е н и е . |
Рассмотрим |
функцию |
/ (t) = e( erf ( У t ), и пусть |
|||||
F (р) есть |
изображение / (/). Имеем (erf /)' = |
-т== <г/2, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
У я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О) |
Переходя |
к изображениям |
и учитывая, что /(0) = 0, |
из |
(1) найдем |
||||
pF(p)=F(p)-1— |
откуда |
F ( p ) ~ ------ г™7т = е |
Здесь |
мы |
использо- |
|||
|
Ур |
|
|
(р — 1) У р |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
вали результат задачи 515 и то, что Г ( — )= У я . Итак, |
|
|
||||||
|
|
е*erf (УТ) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(р — \ ) У р * |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
Применяя теорему смещения, |
окончательно |
находим |
|
|||||
|
|
erf (V t ) ~ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' V P + i
607.а) т е~‘; б) |- т ) ( / - 1 ) .
608./ (0) = 0, /' (0) = 1 . f" (0) = 0.
609. |
(/- 1 )» 1 !(/- 1 ) . |
610. (/ —2) г| (/ —2). |
е~* sin /. |
||||||||||
611. |
е'-а г) (/ - |
|
2). |
612. е-з |
(/ - |
3). |
|
613. |
|||||
614. |
~ |
(е~*- |
е-з'). |
|
615. (1 - / ) |
е~‘. |
|
|
|
616. |
~ t sin t. |
||
617.1 - e - t - te r * . |
|
618. ^ p ^ s i n |
^ J p |
/ . |
619. ~+ 2< rl sin /. |
||||||||
620. |
/ - s i n t, |
|
621. |
- i ei ' _ l e - ' - ^ |
c o |
s |
2/ - |
у |
sin 2/. |
||||
622. |
1 —tur< + |
i - n (n — 1) e-a' —... + |
(— l)ne~nl. |
|
|||||||||
623. |
y |
e - ^ |
^ |
s i n |
l y / - / C0S? y |
/J. |
|
624. |
e~! (1 —t2). |
||||
625. |
1 |
e1'* ( c o s ^ / H - V I sin ^ |
/) - |
{ |
<r*. |
|
|
||||||
626. |
| |
+ ~ |
(4 sin / —3 cos /). |
627. |
|
у |
(е~*—e<+3ie’). |
||||||
628. |
2^ + ^ ( 5- p |
s i n ^ / - c |
o s ^ |
|
/) . |
|
|
|
|||||
629. у |
te1—у |
|
te~f/t (с<я у ? t+ Y b sin |
|
|
tj. |
|
|
630. у e'~> sin 2 (/— 1) t) (/— I) + cos3 (/—2) t) (/ —2).
631.(l-3)<r''-»>i}(*-3). 632. еМ т|(/-1)-т|(< -1).
633. |
sin (t- |
2) i\ (t- |
2) + 2 sin (t- 3) n (t- 3)+3 sin {t- 4) ц (t- 4). |
|
634. |
sh(<—l)r](i—l) + ch2(<—2)л(< —2). |
|||
635. |
{ |
- |
j |
~ ?) П ( < - y ) “ |
-^ С0в2(<~ т ) ^ - т ) - ^ 5,п2(<- т ) ,'( <- т ) -
636.(/ — 1) Л (^— l) + (^ —2)a Л (<—2) + (<—3)3r|(<—3).
637. |
|
|
|
|
«38. |
l - e r l ^ - l ^ . |
|||
639. Решение. |
I |
v - a / p |
|
|
|
1 |
|||
/ р ( / p ) a |
Полагаем Ф (р )= — r , |
||||||||
|
|
,— aVp |
p / p |
|
|
|
к P |
||
■—\ |
e |
|
<r*P |
|
|
запаздывания |
|||
M W ) |
|
. Отсюда F(p) = —----- , и по теореме |
|||||||
|
( W )8 |
|
P ;|2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
F ( p ) ^ ( /- a ) T ,( < - a ) = /( 0 |
|
|
|
|||
По теореме Эфроса |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
^ |
|
т* |
|
|
|
|
|
|
|
~~ ' |
........... |
—a)* |
4/ dx= |
|
^ (T — a)e |
At dx= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
- TWSте |
|
OO |
V |
|
|
||
Здесь |
|
dx- |
V n t |
|
* - / , « + / , (0 . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
__ |
a* |
|
|
1 |
|
it |
|
|
|
|
||
Z i W - |
те |
|
|
- 2 W |
" . |
||||
|
я (- 2,)‘ |
||||||||
|
WИ7 |
d' ~ 7 |
|
|
|
|
|||
|
|
eo |
x* |
a |
_x> |
|
oo |
x* |
|
/,(0 = |
v % f |
" Л “ Т % 5 •“ " Л - T % $’ •’ “ *■ |
|||||||
|
тельио
|
|
|
|
|
|
|
|
|
__ da |
|
|
|
|
И о . ( , + ^ ) Е , / ( ¥ г 7 ) - « ' | / " 1 Г « , |
|
|
|
||||||||||
641. |
<***+«•**< Erf ( ^ |
7 + |
а/,^ Г)* |
|
|
|
|
||||||
642. |
Р е ш е н и е . |
|
|
|
.1 |
.- а У р |
с=г. Полагаем |
||||||
p(a+Vp) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
VР Vp (a+Vр) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
й—аУ7 |
|
|
||
Отсюда |
|
ф (р ' ” |
7 ? |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р-ар |
|
|
|
|
,—ар |
|
|
|
|
|
||
^ (р ) = -Р (а + Р ) |
|
а \ р |
|
р + а |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1*1 ( t - a |
) - r a «'-“’ij (t - а )]= f (О. |
||||
По теореме Эфроса |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
, - a V p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p(a+Vp)' |
aVnt |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
оо |
|
|
|
|
со |
Г |
|
, т* ”1 |
|
|
|
I 2 |
f |
|
|
1 |
Г . - Г - ” + «1 dx = |
|
||||||
|
a h |
g I |
‘r ' d- 7 7 Jа s l |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
lYt |
' |
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Erf (— |
|
------- f |
eaa+a'le ^ 2yf‘ + a V i) dr= |
|
|||||||
|
a |
\ |
2 V l j |
а У ni |
J |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
- |
Er f , |
a |
\ |
|
e°(g,4a) |
2 |
C |
e~z" dz, |
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
У n |
J |
|||
|
|
|
|
a |
VaK/ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 /Г |
|
г д е Zl=W |
f + a V L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e- a f p |
|
1 |
|
|
|
|
n(o/+df |
|
|
|
|||
p(a+Vp) ' |
|
|
|
|
|
|
•Erf (s7r+“^ |
||||||
|
a |
^rf ( 2 НТ ) |
|
|
|||||||||
643. |
Р е ш е н и е . |
|
_1_ |
(* |
- |
— |
dx. |
Сравнивая / (/) |
|||||
I {t)*=-y^=r |
j |
chie |
u |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
V nt |
|
|
|
|
|
|
|
с формулой |
(19), |
стр, |
172, |
видим, |
что / (/) = |
cli /, |
а значит, Г (р) = |
= — - — . Следовательно, |
F .(V p )— |
. Взяв |
Ф ( р ) = — полу-. |
Р2— 1 |
р —1 |
) р |
|
чим Ф (р) F ( V р) = |
= / (/), откуда |
/ |
|
644./ (t)=e~l. 645. / (t)=2te‘. 646. /(/) = 2te-(.
647.* (0 = ( / + l ) e - '. 648. jf (0 =-—1.
649. |
x ( 0 = e~2~ ~ cos^ |
2 s m / . |
650. |
*(/) = / + |
! |
*2. |
|
651. |
x(t) = t. |
652. x (i) = cos /. |
|
|
|
|
|
653. |
|
|
|
|
|
|
|
654. |
л Ч 0 = * ^ ( 1 - е2/ + |
2^ 2')- |
|
|
|
|
|
655. |
x (0 = |
(Зе1' - |
_ 2<r'). |
656. |
x ( f ) = t - |
sin t. |
|
657. |
x(0 = ^ e _2/ —^ c o s / + ^ | sinl—-g- l sin t — |
1cos t. |
658.x(t) = j ( e r ‘- t e - ‘-cost).
659.x(t) = j e ‘- t - \ + j (cosit+sinO -
660. * (0 = | - P - l + c o s < - s i n < . 661. x(t) = ^ l-e ' + te\
662.ж (1) = e- ^ sin 2/ — 6"^cos2< —
663.x{t) = ^ (1— e'cosf+e' sin/)-
664. |
x (0 = 2 + |
|
(e~l —cos / + sin t). |
||
665. |
x(t) = r - - 4 t + 6 - 5 e - t - te ~ ‘. |
||||
666. x(t) = 2t-f |
(e-' + cos/— sm<). |
||||
667. |
x(t) = ^ |
t sin< — cos/ + |
sl’n ^ |
||
668. |
^ (0 = |
- g - P - y < 2+ 2 / - 4 + e - '. |
|||
669. |
x (t) ** |
о |
+ |
~ <r( cos 2<+ |- e~* sin 21. |
|
|
|
|
о |
о |
|
670. |
x(t) —~ (cosZ + ch/) —*— 1. |
||||
671. |
x (0 = |
y |
(1 —e~tcost — erf sin /).. 672. x(4)=\ —2co$t. |
||
673. |
x (t) = |
^ |
t + |
cos 2/ -г- - - |
sin 21. |
674. * ( 0 “ | - у “ | |
cos21+ k e<skl 2t‘ |
675. |
e'/4cos— |
/ + -£=-e'/2 s |
i n t. |
W |
2 |
V i |
2 |
676.x(0 — 1— ^-(sin/+cos<+e-0.
677.* (< )-je < + |s i n / + i c o s < - l .
678. |
* ( / ) * c h / - y / 2- l . |
679. * ( 0 * 2 + |
b (e'+ sin /-co sf). |
||||||
680. |
* ( 0 * e ^ l - / + y |
|
|
681. |
*(/) = |
— |
s in /- i- /c o s /. |
||
682. |
x (0 = 2e-' + fcr' + |
l —2. |
|
|
|
|
|
||
683. |
* (0 - 1 |
tr‘ - -i *'/г (cos |
/ - |
3 V I sin -ijp /) . |
|
||||
684. |
*(/)*=— |
—T ^ —^ |
ял*• |
|
|
|
|
||
685. |
* (/)* j |
e ' - f e-' + j ^ |
a x ^ |
- t + |
y j e |
' * sin |
/. |
||
686. |
X(/) * COS f — / C08 t, |
|
|
|
|
|
|
||
687. |
* ( / ) « 2 + / - i - c o s / + i / e ' - |- * ' . |
|
|
|
|||||
688. |
♦ |
99 |
fi |
|
Q |
|
4 |
|
|
|
g -< r'— g |
|
— ggcos2< + g |
sin2/. |
|
||||
689. |
*(0 — j |
sin 2/+ ^ |
(cos 2/ —cos 40. |
|
|
|
|||
.690. |
*(/) = -i-(/-l)e '+ -^ c o s/ + 2 sin< — 2/cos/. |
|
|
||||||
691. |
* ( 0 = e ' ( 4 “ * + l ) . |
|
|
|
|
|
|
||
692. |
* (0 — 2/ - 3+ Zer‘ — ~ |
(sin 2/ — 2*coe 2/ + 2e-'). |
|
||||||
693. |
* (0 * 4/+ 3 —2e‘. |
694. |
* (/) = e2' - e1 - te*. |
|
|
695.*(0 = 3 ^ —3 - 2 / - / 2- y .
696.*(/) — J-e‘ ( / * - 3 / + | ) +
+I « 2 ( r 3 s i n ^ . / - c o s - ^ . / ) - ^ ' .
697.x(i) = ~ sin2/ — sin/— ~ tcos2t.
698.x (/) = ^ [sin ni сова — nt cos (л/+ a)].
m . . ( 0 - 4 « - i , + g - ^ + J . , - » - ± ^ .
700. * (0 — ^[3/ cos / + (/2 - 3) sin /].
701. |
x{t) = ~ eat sin Pt. |
702. x(t) = I sin/ — ~ sin 2t. |
703. |
дс (0 = ^ e 2/—i- + |
cost —— sin t. |
704. |
x(t) = | |
<J+ (I—Y)/ + (V— O + f-g— *)Н + 7 (cost— sin/). |
|||
705. |
|
fiO |
1 |
1 |
cos 2/. |
* (0 = gg ch 2< — —cos/ + |
|||||
706. |
x (t) = e<{cost+ sint - |
j + |
<r4 |
||
707. |
x (<)= |
I |
r"® (cos |
|
sta J £ l<) + I (*_ I, s'. |
708. |
x (t) * |
J- (tf2sin t + / cos t — sin t), |
|||
|
|
4 |
|
|
|
709.j c ^ l V - e - ^ H - l ) ] .
710.* ( / ) = 1 - H ( | + H -I ).
711.* (/)= ! —-g-e-'— | i ' * cosХр-Л
712. |
* (0 - | j [sin2у л |
(0 - sin*5 ^ ^ 11(/- * )] . |
713. |
x (/) — — cos t. 714. |
x (/) = ( / - !)8+ e2-'. |
715.*(f) = <2+2/. 716. x(t) = { t - ! - y ) c o s <.
717.x (/) = (<»-2< + 2) e1"'.
718. |
— -j sin21j 4(0 — [(/ — D — |
sin 2 (t— l)j x |
|||
|
|
Xil (t - 1)■+ j [(*■-2)— i |
sin 2 (t - 2)] n (t - 2). |
||
719. |
x(/) = [i + (l — fc) cos /] Y\ (t) + [b—b cos (l —a)] x\ (t —a). |
||||
720. |
x (t)= A. sin 3/ii(0 + g [(<— 1)— |
sin3(i— l)j i|(i— 1)— |
|||
|
- | [ ( |
l - 2)— 3- sin 3 (1— 2)j ц(1— 2)+ |
|||
|
|
+ |
*- [(* -3 ) |
- j |
sin 3 (*-3)] 11(/-3). |
721. |
3 |
|
|
|
|
* ( 0 * 2 (—1)л [1 -<f-*a+ J - ka(t-ka)]x\(t-ka). |
|||||
722. |
/? = 0 |
Уравнение |
движения |
т Я = — шЯ,£ —2тр*1 |
|
Р е ш е н и е . |
|||||
(0) = дг0» * (0)=5=i>0. Операторное уравнение |
имеет вид |
||||
|
р*Х —рл'о— VQ+ 2[ipX — 2}.LVQ4" |
= 0» |
Х Ы |
- Щ |
Ш |
Г |
“ “ |
|
|
|
|
|
|
|||
X (р) = |
л'° (Р + 41) + (■>*«-г =■'<> |
_ |
хо (р + и) |
, |
4**0+ ^0 |
||||||||
|
|
(р + и )а + (К 5Г = ^)2 |
|
(р + ц )* + я« |
( р + | 1) * +л * ' |
||||||||
где д2= Х —р,2. |
для |
X (р), |
получим |
|
|
|
|
|
|||||
Находя |
оригинал |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
х (/) — ~ |
е~^1[пхьcos nl + (цлч> + |
fy) sin nt]. |
|
|||||||
723. |
Уравнение движения |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
тх = |
— тпЧ+ |
Fr\ (t) - |
Fi) (t - T ), |
л: (0) = |
0, |
к (0) = 0. |
|||||||
724. |
Уравнение движения |
х==ап2 — п2х, |
л:(0) = 0, |
i(0 ) = 0. |
|||||||||
725. |
Уравнение движения |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
тх —— mg — 2kmx, |
х (0) = |
0,• |
х (0) = |
v0. |
|
|||||
726. |
Р е ш е н и е . |
Уравнение движения |
|
~ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
mJc = F. |
|
|
|
|
(1) |
||
В нашем |
случае т = 2, F = / 70+ a/ = 4 + a/>так что уравнение (1) |
||||||||||||
приобретает |
вид |
|
2х = |
4 + at, |
|
|
|
|
(2) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
х(0) = о , |
|
je (0) = ю. |
|
|
|
(3) |
|||
Операторное уравнение имеет |
|
вид 2 (р2Х — 10) = |
4 |
а |
|||||||||
|
---- f- |
^ » откуда |
|||||||||||
*-?(£+£+»)• |
X (р), |
получаем |
|
|
|
|
|
||||||
Находя |
оригинал |
для |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
х ( / ) = 1 2 /3 + /2+10Л |
|
|
|
|
|||||
Для |
определения |
величины а имеем следующую систему: |
|||||||||||
|
|
|
|
450 = |
ап |
|
|
|
„ |
|
|
||
|
|
|
|
- ^ - - • - /= + Ю;0, |
|
|
1 0 5 = -^ 1 + 2/0+Ю ,
откуда находим, что ./0= 10, я*= 3.
727.Уравнение движения
тЯ = Atrix— 3тк.
X(0) = 1 , Л- (0) = 0, Ji(l) = -g- (Ае1 (Г*1).
728. Уравнение движения mX —mg— kx,
В силу условия |
задачи |
h = - ^ m g при |
v = l |
м/с, так что окон |
|
чательно получаем уравнение |
|
|
|
||
|
dv |
1 . |
v ( o ) - 0. |
|
|
|
- d f = e — |
|
|||
откуда |
|
|
|
|
|
( |
- |
e‘A |
0max= 3 |
при |
t=co. |
v(t) = 3 \1 — e |
3 ), |
729.Уравнение движения
|
|
|
|
mx = |
— |
x (0) = |
0, |
x (0) =*o0, |
|
|
|
|||
|
* (0 = = + ( l - < T ^ ) , |
*max= |
+ |
при |
t = CO. |
|
||||||||
730. |
|
Р е ш е н и е . |
Опишем |
движение |
нижнего |
конца |
цепочки. |
|||||||
Выберем |
начало |
координат |
в |
точке О (см. |
рисунок) |
и направим |
||||||||
ось Ох вниз. |
Тогда |
начальные |
условия |
будут |
|
|
|
|
||||||
л*(0) = |
/, |
JC (0) = 0 |
|
(цепочка |
неподвижна). |
|
|
£ |
|
|||||
Если абсцисса конца есть, х, |
то движущая сила |
|
|
|
|
|||||||||
равна |
весу части |
|
цепочки, |
свисающей со сто |
|
|
|
|
||||||
ла, т. |
е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F = ”^ x |
* |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким |
образом, |
дифференциальное |
уравнение |
|
|
|
|
|||||||
движения |
таково: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
тх = ^ - х , х (0) = /, х (0) = 0 , |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
к |
ответу |
730. |
По этому |
закону движение будет происходить до того момента Г, |
|||||||||||||
когда цепочка |
целиком |
соскользнет со стола. Мы^найдем этот момент, |
||||||||||||
положив х = 2/: |
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
4 = еTVii* 21+ е~ТУг 721*т |
|
|
|
||||||
Обозначив z ~ e |
т1 / А |
|
|
уравнение |
|
|
|
|
||||||
Y |
21, получим |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
г2—42+ 1 = 0, |
|
|
|
|
|
|||
откуда |
z1 = 2—1^3<С I, |
z2 = 2 + V 3. |
zx отбрасываем, |
так как |
ему |
|||||||||
соответствует |
отрицательное |
значение Г. |
Итак, для |
определения Т |
получили |
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
в |
^ |
2/ я |
2 +1^3, |
откуда |
|
Т = j / " ~ |
In ( 2 + К з ). |
|
||||||||||
731. |
Уравнение движения |
|
|
|
|
|
|
|
« |
|
|||||||||
|
|
|
2m*6a, |
|
л;(0) = |
а, |
JC(0)*0, |
A:(/) = |
acos (V"2Л:/). |
||||||||||
732. |
Уравнение движения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
m i?* — р/ше, |
л; (0) = |
a, |
|
JC(0) = |
0, |
t д= |
. |
|
|||||||||
733. |
Уравнение движения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
mX — |
k*, |
*(0)=*0, |
|
х (0) * |
6, |
* (0 = 600 (1 — а*” 0,010 . |
|||||||||||||
734. |
Уравнение |
движения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Я+ |
4л:= 2 cos |
|
*(0) = 0, |
jc(0)=0, |
х ;/) = |
~ |
(cos/*—cos 2/). |
||||||||||||
735. |
|
Уравнение движения m r = — mk2r или |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
* * |
— #**, |
я (0) « а, |
х (0) = 0; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
г/ = |
— k2y, |
у (0) = 0, |
у (0) =*с/0. |
|
|
|||||||||
Траектория |
|
|
|
|
|
|
|
л:2 |
|
и2 |
1. |
|
|
|
|
|
|||
точки—эллипс:-^ + —• = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
736. |
|
Уравнения |
движения |
Т2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х (0) = а, |
х (0) = 0; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
§ = #ty> |
|
у (0) = 0, |
0 (O )*t'o. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
JC2 |
и2 |
|
|
|
|
|||
Траектория точки — гипербола: |
|
|
~ * 1 , |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T F |
|
|
|
|
|
737. |
|
Д. у. |
|
|
|
+ |
^ |
<3 |
- £ со в(“ / + а )> Q '/- o = 0, |
.Л |
/-0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dO I |
||
738. |
|
Д. у. |
|
|
|
|
|
|
= E sin nt, |
Q [,_0= |
o, |
= |
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-u |
|
|
739. |
|
Д. у. L ^ + m - E |
sin (coZ-J-a), |
/!,_„ = |
(). |
|
|
||||||||||||
740. |
|
Д. у. |
1 |
dt2 |
|
dt |
+ |
£ |
Q - £ I *| (<) + ( £ * - £ ,) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dQl |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
/-o = o |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
L |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
||
741. |
|
Д. у. |
i |
|
|
1 n |
|
|
4- ^ 0 = F 01 _О ^ 1 |
|
= . |
||||||||
|
L W |
+ R ~dT + |
c Q=E< |
|
|
~df\ UQ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
742. |
|
*(/) =--(Сх+ С гС-)ег‘. |
743. |
x (/) = |
C(. |
|
|
|
|
||||||||||
744. |
|
* (0 =■■tr 1. |
745. |
x(t) = |
- |
1. |
746. |
x (/) = |
c'. |
|
|
7/47. |
a) x (<)= 2 |
( - 1 ) J 2*S!CJ J ! L . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
'* (2s)! ’ |
|
|
|
||
|
«) , ( 0 - 2 ( - D 'S 'i c S j B T n i - |
|
|
|
||||||
748. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
749. |
* ( 0 - r M ( / + l ) In ( /+ ! ) - < ] . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
P**1L |
-«41. |
|
|
|
|
||
750. |
x ( i) - ( e ' + 2)ln- |
|
|
|
|
|
||||
751. |
x ( < ) « « '- 1 - ( < + |
In 2) (< Ч |
1) + |
( е Ч |
1) In ( < 4 1 ). |
|||||
|
|
|
|
|
|
t |
\ |
|
|
|
752. |
* (0 e |
sin Ш |
— |
arctg tg |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-f cos/ln (24-COG0 — ln3cosf. |
||||
•753. |
*(/) = |
|
9 - л |
/ з |
|
V s |
V s sin t — 2 |
|||
|
27 |
|
cos /"}*““— sin t In |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
36 |
1^3 sin t + 2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
/ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
----- cos t arctg (V s cos i) . |
|||
754. |
x (t) * |
|
|
|
я |
|
1 |
sin f • In |
sinf —^ 2 |
|
cos / arctg (cosY) —— cos t — — |
sin f + V 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
755. |
* (0 * |
sin t arctg (sin 0 + cos / |
|
1 |
|
|
|
|||
2 V 2 * |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x{|n|FirSf|-'"(3+s’"9}- |
|||||
758. |
JC(0 - |
— shH -2ch/(arctg^ -j j . |
|
|
|
|||||
757. |
x (/)* |
In 2 cos f— cos t In (2 + sin t) — t sin t-\- |
|
t |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
I |
2 lg i + 1 |
||
|
|
|
+ Y |
% (2 sin *+ 1) \ arctg — |
y i — |
|||||
758. |
x (0 = |
e', у (/)— |
«'. |
759. |
x(t) = el, |
у (/) = |
<?'. |
|
780.x ( < ) = 2 ( l - < r '- f e - ') , y(f)*=.2-t-2<r‘-2t<r‘.
761. |
* (0 = ^ (e' - e*4 2/e»0, у (0 |
(5^ - e»' - 21^). |
762. |
x(0 = ef (cost — 2 sin/), у (0 =e' (cos 1 -f 3 sin l). |
|
763. |
*(<)■•■—( « 4 2со» 2 Ч я п 21), y ( 0 m!'T (**-“ cos21 —~ sin 2 lV |
764. л:(0 = |
ё - |
У & |
- 1 |
сое * + |
^ |
Sin/ — |
, |
|
||
|
О |
|
|
99 |
4 |
|
|
1 |
|
|
У Ц) = ~ - з |
|
е' + |
51 ^ ' + 17 C° s ^ - J 7 sin *■ |
|
||||||
_ |
L g-21 |
12 |
_2 4- — e14- - eif 4- — й3' - |
|||||||
------T5 |
^ |
+ |
• |
+ |
6 |
+ |
3 e + |
2(T |
*w—Л*',-'**'+т‘“+4л
766. |
* ( 0 = - f l ', |
у (0 = |
0, |
г(0 = |
й0 |
|
|
|||
767. |
л: (t) = j { ^ |
- |
r* 0 . |
У (0 - |
у |
(Зе3, + |
2r*0, |
|||
|
г (0 = |
4- (Зй3' + 2<r20. |
|
|
|
|
||||
|
|
5 |
|
|
(11 —4a)eaf |
, |
3e°f |
|||
768. |
x(t) = |
Зе-« . |
||||||||
4(2 + а) |
4 (2 —а) |
1 |
аг —4 * |
|||||||
|
1/(0= |
|
0- 2/ |
(11- 4 а ) й2' |
, |
(о+1) в0' |
||||
|
4(2 + а) |
+ |
|
|
|
^ |
а2- 4 * |
|||
|
|
~г 4( 2 — а) |
||||||||
769. |
* (0 = 2— в"', |
у(0 = 2 - Н , |
|
г (/) —2е~'—2. |
||||||
770. |
*(0 = 6е'-е2'-4еЗ/> |
у (<) = Зй' — 2ез/, г (/) = 6й3' + й2' _ е^. |
||||||||
т |
|
15р + 1 ¥ - 2 + ? ' + ! ' ! + 20« ' ”' |
||||||||
|
|
1 |
|
13 |
■2- 5 - ' + |
! ' 1 + 210'*' |
||||
|
у О)—-15/2 ^ |
12/ |
г<« — W - j , + T ,’+ T '‘-
772.*„,(<)-*-*&■£■ (/71 = 0. U 2.........п).
773. |
*(0 = у |
- |
у |
|
й - '- ! * - * " 11, |
У(0 = ^ |
И - й |
- 6^ ) . |
|
|||||
774. |
* ( 0 - j |
+ |
f |
<. |
J/(0 = |
5 .. |
1 |
... |
5 ... |
2 . . |
5 |
|||
j < |
2- |
j , |
* ( Q ~ y * * — f < + |
£ . |
||||||||||
775. |
*(0 = | |
йЗ / - й- |
' - | - |
- |
| , |
|
* ( 0 = 4 8 й З / + * - / - 4 _ |
|
||||||
776. |
Уравнения |
движения |
электрона |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
— ^ у, л: (0) = 0, * (0) = % |
|
|
|||||||||
|
Н ^ |
Т |
* |
’ |
^ (° )===0» |
0 (°)в |
°» |
|
|
|||||
|
,А |
t/0mc |
|
. eHt |
|
... |
ты |
1 - с * ' * ) . |
|
|||||
|
x ( t) = JLrr |
sin |
— , |
у It) |
|
^ |
|
|||||||
|
w |
eti |
|
|
тс9 |
v w |
|
еЯ |
V |
тс J |
|
|||
Траектория электрона х2+ //2 |
2т а >0 |
Л |
|
|
|
|
||||||||
|
еН |
- У = 0. |
|
|
|
777.Уравнения движения
|
тХ —0, |
х (0) = 0 , |
х (0) = -^= , |
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
V 2 |
|
|
|
i/(0) = |
0. |
0(0) = -^= . |
|
||
|
my = —gm, |
|
|||||
|
I |
^2 |
|
|
|
f 2 |
|
Наибольшая |
высота |
точка |
|
|
|||
Я = ^~; |
падения * = — • |
|
|||||
778. |
Пусть |
электрон |
вылетает |
из начала |
координат. Выберем |
||
ось Ох параллельно направлению магнитного поля Я, а ось Оу |
|||||||
выберем так, |
чтобы вектор vQлежал в координатной |
плоскости хОу, |
|||||
Тогда уравнения |
движения |
будут |
|
|
|||
|
fmJe = |
0, |
*(0) = |
0, |
х (О) = 0о cos а, |
||
|
|
еН |
у (0) = |
0, |
у (0) =-о0 sin <zt |
||
|
ту — — — |
||||||
|
„ |
еЯ . |
z (0) = |
0, |
£ (0) = 0. |
|
|
|
т г = |
т у. |
|
||||
Траектория |
электрона |
|
2i>0cm sin а , |
|
|||
|
|
r/2+z2- |
|
|
|||
|
|
|
eH |
z = 0, |
|
||
|
|
|
|
|
|
=/о0 cos a .
779.Уравнения движения
[mx = |
— kmx, |
х (0) = |
0, |
х (6) = |
t'ocos a, |
|
\my = |
— mg-— kmy, |
y (0) = |
0, |
у (0) = |
v0 sin a, |
|
|
|
v0k sin a + |
g |
|
||
|
</(0 =5 |
|
^ |
|
|
|
780. Уравнения, движения |
|
|
|
|
|
|
m£ = — — y — kmx, *(0) = 0, |
i( 0 )= t/, |
|||||
|
c |
|
|
|
|
|
. eH . , . my = — x —kmy,
[,ml = — kmzt
781.Уравнения движения fmx = — 2Ял' — р2*, \т § = — 2Я,«/—pfy,
782.Уравнения движения
г/(0)=0. |
p(0)= 0,. |
||
z (0) = 0, |
i (0) =0. |
||
x (0) = |
a, |
x (0) = |
0, |
1/ (0) |
0, |
$(0) = |
t’0. |
imX = 0t |
х(0) = 0, |
£ (0) = |
t;0l |
\my = — mk2y, |
i/(0 )* a , |
£(0)в |
0» |
|
y(t) —aco%kt. |
|
Траектория точки y —ac<x
783. Ф(х) ** у |
sh х |
+ |
sin х. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
784. |
Ф(х) - i - (е * -е-* /2 cos |
|
+ |
V J е~х^ |
sin |
|
||||||||||
785. |
ф(х) =«х + |
-jjr х3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
786. ф (х) = |
о |
|
|
|
з |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
е**+-g- cos х + |
— sin x. |
|
|
|
|
||||||||||
787. |
ф ( х ) - 2 + х - е 2( с о в ^ ^ - К з |
|
s i n £ |- ^ . |
|
||||||||||||
788. |
Ф(Д)— |
|
^ |
- J |
- * + |
| * |
4 |
- ^ |
- i g |
A |
|
|
||||
789. |
ф (х)*= у< г* + |
-^ е* + |
^ е “*/2 ( с о в ^ |- ^ — К з |
s in O - ^ j . |
||||||||||||
790. |
ф(х) = |
у ^ |
- е - * |
+ ^ я п > |
л2 |
x j. |
791. ф (х )-х е* . |
|||||||||
792. |
ф (х) - |
е*. |
|
793. |
ф (л-) - |
-1 - |
— cos V |
f х. |
|
|
||||||
794. |
ф (л:) -■ ch х —хе~ . |
|
795. |
ф (х) = ~ |
(ch х + |
сое х). |
|
|||||||||
796. |
ф ( * ) - * |
- ! |
х». |
797. |
Ф(х) = ^ |
г |
sh ^ х . |
|
||||||||
798. |
ф (*) *= 1 —х. |
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
799. |
ф (*) *= 10 (х), |
так |
что |
\ |
J0 (х — 0 / 0 (i) dt** sin х. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
800. |
ф (*)==! |
801. |
ф(дг) = |
е“*. |
|
|
|
|
|
|
||||||
802. |
ф (х) = |
1 + |
2х+ у |
х2, + х * . |
803. |
ф (х) = |
2хе*-х*е*. |
|||||||||
804. |
ф (х )= 1 . |
|
805. ф ( х ) - 1 — |
|
|
|
|
|
|
|||||||
806. |
ф, (х) - |
г * |
(1 - х ) , |
|
Фа (х) = |
| e |
^ |
+ |
y x |
< ^ |
- | е-*. |
|||||
807. |
ф! (х) = |
е™, |
Ф, (х) = |
~ |
- |
i - е°-х. |
|
|
|
|
||||||
808. |
Ф! (х) =. -1 е * / * ^ з |
Sin ! ^ x + 2 c o s ^ x j — |
, |
Фа (х) = е*'гх ^cos ~ х - у = sin |
х) . |
809. |
<Pi (х) = |
(х + |
2) sin х + (2х+ I) cos л:. |
||
|
Фа (*) * |
(1 + |
1-) cos * — |
+ |
xj sin x. |
810. |
<Pi (х) = —g— sin }^3 х — £-shx, |
ф2 (х) = сск^З х —3 ell х. |
|||
811. |
<5Pi(л) = |
2(1 — х)е~ж, (р2(х) = '1 — х)е-*. |
«*■ 2 Й Й 'М
ft= 0'
у2 » (/—
eia. ,< < != 2 8>(> + э д Г ч 11- * 1-
/г «О со
8М. , (0= |
2 |
|
|
|
|
/г = |
0 |
|
|
|
оо |
|
|
|
815. *(/) = |
^ |
(~ |
О* ^ |
|
|
*>- о |
|
|
|
|
|
г |
|
|
816. Jt(0 = |
( - / + -i<*)nW + |
|||
|
|
|
00 |
|
|
|
+ |
У |
(( - к+ У к~\. (/ -З А + 2 ) 1](<-А + 2). |
|
|
|
k = |
3 |
817. * (0 = * (l+ / + g ) n ( 0 +
|
|
+ 2 № |
* - ч + 2 % т 5 ? ' * - * |
||||
818. |
х*(/) = |
/г «= 1 |
|
|
Л = 1 |
|
|
cos Л |
|
|
|
|
|||
819'• |
|
г |
|
г,г.й |
\ |
|
|
и , , |
|
|
j |
|
|
||
|
|
|
2Ykt |
|
|
|
|
820. |
и (х, |
0 = -^=- |
\ |
е-** Л . |
|
|
|
|
|
К л |
J |
|
|
|
|
821. |
и(х, |
0 = |
/а-)■"S f'1*'/-!- |
• |
|||
= ай- д:1/Г |
2ЛCOS |
||||||
|
|
|
|
|
. u[xt t) = a e |
ХУ Г Ы sin |
|
— |
|
|
|
-J- |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
P __ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
^ |
е~Р* sin x |
у |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
p2 + |
c«)2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4Л ( / — T ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
823. |
|
e ~ s 7 |
5 |
|
|
(f - T )3/3 - dx. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
$ ’ (’) S = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
824. |
|
Д. y. |
^ - = 0 2 0 , |
O ^ x s S l, |
|
O O , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
«l/-o = |
"o. |
ao |
|
= |
0, |
|
|
|
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
ax |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K(X, |
<) = |
|
“ l + |
|
|
OO |
|
|
|
/ |
|
1\2JT* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4(Ui-:U0) |
( -1 )" |
|
|
|
( 2 a - 1) я» |
|||||||||||
|
|
|
у |
- « * ( я - а ) |
|f< |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
я |
Л=1 |
2л— 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2/ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
825. |
|
Д. у. |
* L = a* ^ £ , |
x > |
0, |
/ > 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
dw |
|
= /ш IA*—о» |
|
h = |
const, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0 |
|
w |
r |
+ ^ |
+‘" ’''Er' ( w |
r |
|
+ |
^ |
)] ■ |
|||||
|
При решении задачи воспользоваться теоремой Эфроса |
(см. § 14). |
|||||||||||||||||
|
* * • * » • 1 4 ж |
|
' » « '* = '• ,> 0 ' |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
“ Ь > - о . |
v L - ь |
|
|
|
' J - 0- Щ г — Т ’ |
||||||||||
|
|
|
F* |
8Л |
v |
(~ 1)* sin |
(2- ■^>!) ЛД: cos -(2k + |
|
1}:7lci |
|
|||||||||
«(*> |
/) = |
я 2£ |
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
21 |
|
|
|||
/г=0 |
|
|
|
|
(2/?+ |
1)2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
d2w |
I |
d2w |
£■ |
» |
« * « ' ' |
о |
» . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
gx (2/ —х) |
|
|
£ „ /~0- » • |
|
“ «’• о - 0’ |
% |
|
д |
- ° . |
|||||||
Ц(Х, |
0 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2с» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 * + 1 )(* - /) .я |
|
(2 » + 1 )п й |
|||||||||
|
|
|
|
\6gr- |
|
|
cos |
|
|
2/ |
|
|
cos |
|
2/ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п3с-1 2 (-')* |
(2*+ !Я |
• 828. |
и(х, <) = - - § - (*3- |
21х*+ Р) + |
|
|
|
|||
|
|
|
|
_ |
(2Л +1)л/ |
. (2*4-1) я* |
||
|
|
. |
8Ы* |
® cos -— J—i— sm - ------— |
||||
|
|
X |
|
|
|
|
||
|
|
|
Л5 |
Z l |
|
|
(2Л+1)6 |
|
|
|
д°-и |
|
k - 0 |
|
|
|
|
829. |
а . |
0 S£ JC |
t, |
О |
0, |
|
||
дх- |
|
|||||||
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
и (х, 0). |
Ahx ( l - x ) |
ди (х, |
0) |
О, |
и (0, |
l) = u (/, /) = 0, |
|
|
|
Р |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
со |
со: (2 ^ + Р |
яо/ |
|
(2*+1)я« |
||
|
, . |
32Л V |
|
1 |
|
|
' |
|
|
“ (*• |
Л ------- |
(2*+1)3 |
|
|
|||
|
|
к=0 |
|
|
|
|
|
|
830. |
\—е~Р • |
831. |
|
|
е-Р |
|
• 832 |
l —e*-P * 833. |
|||
|
(I -е-Р)2 |
|
|||||||||
834. |
__еР (еР—cos 1) |
|
|
835. |
|
еР sin а |
|
||||
е2р |_ 2еР cos 1+ |
|
1 |
|
е2Р_ 2^р cos а + 1 |
|||||||
836. |
|
еР sh 1 |
|
|
837. |
|
сР |
2сР |
|
||
e2P-26?Pch 1+ 1 |
* |
|
еР — е |
еР— V '? |
|||||||
|
|
|
|||||||||
838. |
1 |
еР |
+ 1 - |
|
еР (еР— cos 2) |
839. |
e<t-k)p |
||||
|
еР - 1 • |
||||||||||
|
2 |
еР— 1 ^ |
2 |
t2P — 2 ^ cos2 + 1 * |
|
||||||
840. |
f |
--gP |
— 1 — е«-Р—е2а-=р') e-iP. |
|
|
||||||
|
\eP —ei |
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
841. |
еР (2 ch 2 - |
еР) sh 2 |
g.0 |
’ |
(4<?2Р — 3<?^+ !) |
||||||
|
fc2 p _ 2 eP ch2+ l |
# |
(еР — 1)з |
|
<?Р
еР —а
843. |
|
с/7"1 |
sin 2 |
|
р. |
|
еР+2 (еР+ в-) |
||||
е2Р_ |
2^Р“1 cos 2 -f *г2 * |
44’ |
(еР - |
^2)з~ • |
|||||||
845. |
ер (еР —е3 ch |
1) |
846. |
gP+i (eP + |
g) |
||||||
е2Р— 2еР+з ch 1+ ев * |
е |
Р |
— ef |
||||||||
|
~ ( |
||||||||||
847. |
еР(еР+1) |
ЯЛв (^-Р -1)сР |
|
849. In а -}-In еР - 1 |
|||||||
|
(<?Р-1)* |
|
• |
(с2Р+1)2 |
|
|
еР — а' |
||||
850. |
а + arctg |
|
sin а |
851. |
In |
\f&p-~ 2еР cos а -j- 1 |
|||||
|
|
|
еР— cos а ’ |
|
|
|
|
e P - J |
|||
852. |
1 |
, |
|
ж/" ^ - « г 1 |
853. |
еР [(1 + е 2Р) cos а — 2сР] |
|||||
<?р>—-11 1пуШ У |
еР~е- |
' |
(g2P _ 2ePcosa+l)2 |
||||||||
854. |
gP (g4P_[-2c3Pch a — 6e2P + 2eP ch a + |
1) sh a |
|||||||||
|
|
|
|
(g2p — 2eP ch a + 1 )3 |
|
|
|||||
855. |
eP (2e*P— 5e2P ch a + 4cP ch2 a — ch a) |
e |
|||||||||
|
|
|
(e2P— 2 cP ch a+ l)2 |
|
|
||||||
856. |
|
. |
|
gP — ge® |
|
1 |
|
g2p_2cPch U j - 1 |
|||
|
0+11 |
cP — ee • |
j7, |
2 |
n |
e2P—2cPche-(-l ' |
|||||
|
|
|
|
|
sin 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
858. |
e + arctg еРС1 —--- Vcos.WOсе |
sin 2е |
|
|
|
|
|
|
1 - е я |
||||
859. |
, . |
1 / . |
|
|
— arctg - |
— п") • |
ввО. |
||||||
« - 1 + - 2 |
arctg -^ |
—cos 2е |
1 - е |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ь еР — cos 2 У |
|
||||||
861. |
п (п+ 1) |
862. |
|
п |
|
1 — ея |
863. |
1 |
|
|
|
||
1 - е |
|
(1 —е)2 |
1—е2 |
|
|
||||||||
864. |
2 |
3, |
|
|
...). |
|
|
||||||
Л/(гг) = |
Д*/(л) = 0 (* = |
2, 3, 4, |
|
|
|
|
|||||||
865. |
Д*/(л) = |
(<Н-е2)* |
|
(6 = 1 , |
|
2, 3, ...). |
(6 = |
3, 4, |
...). |
|
|
||
866. |
Д/(л) = |
2л, |
Л2/(п) = 2, |
Д*/(л) = 0 |
|
|
|||||||
867. |
еР(е2Р+ |
4еР+1) |
|
осо |
|
|
еР |
fiCft |
2efl-#’P . |
|
|
||
V - i ) i — • |
|
868- |
-& р = т г |
m - w = w - |
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2л— 1 |
. оЛ— 1 |
|||
|
л (л — 1) (2л— 1) |
|
871. |
|
(л— 1) sin— 2~ |
|
sin2—у - а |
||||||
870. |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
2 sin у |
|
2 sin2 |
*о|а |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л (л — 1) (л —2)
872.
#
I
873. (1 —е cos а) (1 —е” cos na)-\-en+1 sin a sin па
е2 —2ecosa+l
874. |
пЗ""1. |
|
5я —3" |
л_л |
/1Л |
|
875. |
|
876. sin —?г- |
||||
877. |
1+(-1)я |
1 |
л + 1 |
|
||
2 |
sin — i — я. |
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
878. |
л л - In л /2 |
• |
Зля |
879. |
« ( « - D |
„«-а |
a z |
sin |
|||||
|
|
|
|
|
2 |
в • |
880.Второго порядка. 881. Нулевого порядка.
882.Первого порядка. 883. Третьего порядка.
884. |
2я. |
885. |
(— 1)я (1 - п ) . |
886. |
2Я/2 s in - ^ - . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
887. |
1 - 2 я/ас о 8 -^ -. |
888. |
2 |
C0S |
4 |
|
||||
|
|
|
л2 — п |
|
|
|||||
889. |
|
|
800. Зл— 1 -Н — 2)я |
|
||||||
|
|
|
|
2 |
• |
|
9 |
|
|
|
891. |
4д-1-Ь 15 • 2”~3 — 7 (— 2)я_3 |
892. |
1-(-1)я |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
893. |
я ( я - 1 ) (я - 2 )_ |
зп_3. |
894 |
л ( л - 1 ) ( л - 2 ) , (_ |
1)л_ч |
|||||
895. |
л5 |
__ |
п*_ |
|
^ Зл2 |
Зл |
|
|
|
|
60 ~ |
Т |
+ |
“3 |
|
20 * |
|
|
|||
896. |
Асимптотически устойчиво. 897. Асимптотически |
устойчиво. |
898.Неустойчиво. 899. Неустойчиво.
900.Устойчиво, но не асимптотически.
901.Асимптотически устойчиво. 902. Неустойчиво.
903.Неустойчивый фокус. .904. Центр.
905.Устойчивый фокус. 906. Седло.
907.Неустойчивый узел. 908. Неустойчивый узел.
909.Устойчивый узел. 910. Точка (0, 0, 0) устойчива.
911.Точка (0, 0, .0) неустойчива.
|
912. |
Асимптотически |
устойчиво |
при |
а < 0 . |
|
Во всех |
остальных |
||||
Случаях |
неустойчиво. |
|
устойчиво |
при |
а < 0 |
и а > 1 ; |
устойчиво, |
|||||
|
913. |
Асимптотически |
||||||||||
но не асимптотически |
при |
а = 0 и а = 1 ; |
неустойчиво при 0 < а < 1 . |
|||||||||
|
914. |
Неустойчиво |
при |
всех а . |
915. |
а ^ О . |
916. а ^ |
— 1/2. |
||||
|
917. |
Асимптотически |
устойчиво |
при |
с ф < 1 ; |
устойчиво, |
но не |
|||||
асимптотически |
при а р ~ 1 . |
при |
р < а 2( а < 0 ) ; |
устойчиво, |
||||||||
но |
918. |
Асимптотически |
устойчиво |
|||||||||
не асимптотически |
при: 1) а = 0 (Р < 0 ); |
2) Р*=а2 (а < 0 ). |
( а < 1 ) ; |
|||||||||
|
919. |
Асимптотически |
устойчиво при |
а 2 + |
Р2 — 2а > |
0 |
||||||
устойчиво, но |
не асимптотически |
при: |
1) ct = |
1 |
(! Р i > |
1); |
2) a 2 -j- |
|||||
+ р- — 2а = 0 ( 0 ^ а < 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
920. |
Неустойчиво при всех значениях а и 6. |
|
|
|
|||||||
но |
921. |
Асимптотически |
устойчиво |
при |
а 2+ р 2 —р < 0 ; |
устойчиво, |
||||||
не асимптотически |
при |
а 2 + Р2— Р = 0 (а Ф 0, |
р Ф 0). |
|
|
922.Устойчиво, но не асимптотически при р + 2 а + 1 = 0 ; асимп тотически устойчиво при всех остальных значениях а и р .
923.Асимптотически устойчиво. 924. Асимптотически устойчиво.
925. |
Асимптотически |
устойчиво.926. |
Устойчиво. |
927. |
Асимптотически |
устойчиво.928. |
Асимптотическиустойчиво. |
929. |
Асимптотически |
устойчиво.930. |
Неустойчиво. |
931.Неустойчиво. 932. Асимптотически устойчиво.
933.Асимптотически устойчиво. S34. Асимптотически устойчиво.
935.Неустойчива. 936. Устойчива. 937. Неустойчива.
938.Устойчива. 939. Неустойчива. 940. Неустойчива.
941.Асимптотически устойчива. 942. Устойчива.
943. Исследование по первому приближению невозможно. С попощью функции Ляпунова устанавливаем, что точка (0, 0) асимпто тически устойчива. 944. Точка покоя устойчива. 945. Нулевое решение системы первого приближения неустойчиво, а для полной системы оно асимптотически устойчиво.
946. Если а > 0,- Ъ> 0, то условие устойчивости имеет вид
cos Т > 0, где Т = (—l)*x0 + foi (fc = 0, 1, 2, ...), x0 = arcsin у (см. [2]).
954. Устойчиво. 955. Неустойчиво. 956. Устойчиво.
957.Неустойчиво. 958. При а > 1 /2 .
959. Решение неустойчиво при любом а. 960. При а > 13/6. 961. При любых (а, Р) из области G (см. рис.).
962. |
При любых (а, Р) |
из области |
G: |
а р > 3 , |
а > 0 , |
Р > 0 |
(см. рис.). |
|
|
|
р > 0, |
|
|
963. |
Решение неустойчиво |
при любых |
(а, |
Р). 964. |
<f>2. |
965. |
Все корни |
в левой полуплоскости; решение устойчиво |
(см. рис.). |
|
|
966. |
Два корня в левой полуплоскости, два корня в правой; |
|
решение |
неустойчиво |
(см. рис.). |
v
п
|
Рис. к |
ответу |
965. |
Рис. к |
ответу 966. |
967. |
Устойчиво. |
968. |
Устойчиво. |
решение неустойчиво |
|
969. |
Два |
корня в |
правой полуплоскости; |
(см. рис.).
Рис. к ответу 969.
970.Устойчиво (см. рис.). 971. Устойчиво. 972. Устойчиво.
973.Устойчиво. 974. Решение устойчиво. 975. Устойчиво.
976.Устойчиво. 977. Устойчиво. 978. Устойчиво.
979. Устойчиво (см. рис.). |
980. Устойчиво. |
(см. рис.). |
||
981. Чисто мнимые корни; |
решение |
неустойчиво |
||
V |
|
|
|
|
J\ |
|
|
V |
|
6 |
ч |
~ 7 |
2 |
* и |
Рис. к ответу 979, |
Рис. к ответу 981, |
982. Два корня в правой полуплоскости; решение неустойчиво.
983. Два корня в правой полуплоскости; решение неустойчиво (см. рис.).
984. Два корня в правой полуплоскости; решение неустойчиво.
Рис. к ответу 992.
Рис. к ответу 996. |
Рис. к ответу 097. |
998. / (л) = С, • 2" + |
С2 |
- У |
|
999. |
f (л) = |
(-1 )" |
(4л* - |
7/1 + 1). |
||||||
1000. |
/ (/I) = |
( " ^ • ) |
[ с х cos |
arctg | |
j + |
С2 sin (п arctg |
j j . |
|||||||
1001. |
/ (л) = |
2n ^CJ + CJ COS-^J |
^ + C , s i n - ^ - j . |
|
|
|
||||||||
1002. |
/ (л) = |
( - ! ; " |
(Ct + С2л) + |
2я' 2 (c 3 cos - ^ - + |
C4 sin |
J . |
||||||||
1003r / (л) = 0 , (1—У 2)n+ C 2 (1 + К 2)я — |
|
|
|
|
||||||||||
1004. |
/ (я) = 2 |
• 3я + |
(— 1)л (8л - 2 ) . |
|
|
|
|
|
|
|||||
. плг |
с / \ |
|
l i p . |
|
rm . |
, |
tiTi |
|
sin 2 (я — 1) |
|
||||
1005. |
/ (n) = |
-- tg 2 • cos - ^ - + |
sm |
|
|
2 cos 2 |
* |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1006. |
f(n) = Cl + C2n + C9n*+ - £ - 1jr . |
|
|
|
|
|
||||||||
1007. |
/ (л) = |
2» ( - 1 - + C , cos - ^ 4 - C2 sin |
|
+ C, ( - 2)". |
|
|||||||||
1008. |
Асимптотически |
устойчиво. |
1009. |
Устойчиво, но не асимп |
||||||||||
тотически. |
Асимптотически |
устойчиво. |
10 11. Неустойчиво. |
|
||||||||||
1010. |
* |
|||||||||||||
1012. |
QQ- |
\ |
|
- |
> 0, |
|
|
— Яз > |
0, |
3 (До — |
||||
— Оа>0, |
3(Оо+«з) — ai —я2> 0 , |
a'i — а1— а9а2 + |
а1а3> 0 . |
|
||||||||||
1013. |
1 —<7> |
0, |
1+/7 + ? > 0 , |
1— р + ^7> 0. |
|
|
|
|
||||||
1014. |
- 1 < р < |
1. |
1015. \ а \ > Ь . |
|
Неустойчиво. |
|
||||||||
1016ъ |
Асимптотически |
устойчиво. |
1017. |
|
||||||||||
1018. |
Асимптотически |
устойчиво. |
1019. |
Неустойчиво. |
|
|||||||||
1020. |
Неустойчиво. |
1021. Неустойчиво. |
1022. |
Неустойчиво. |
П Р И Л О Ж Е Н И Е
ОСНОВНЫЕ ОРИГИНАЛЫ И ИХ ИЗОБРАЖЕНИЯ
|
|
|
|
|
CO |
|
|
|
Оригинал / (/) |
Изображение F (p) я J |
/ (/) |
rf/ |
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1. |
|
1 |
|
|
J |
|
|
|
|
|
P |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
in ( /1 = 1 ,2 ,...) |
|
n\ |
|
|
||
p r i n |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
3. |
|
(а > — 1) |
П 0 + 1 ) |
|
|
||
|
p<m |
r |
|
||||
|
|
|
|
|
|||
4. |
e)J |
(X — л + |
Ы) |
|
1 |
|
|
p —X |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
5. |
|
/V*' |
|
|
n\ |
|
|
|
|
( р - Я ) лП |
|
||||
|
|
|
|
|
|||
G. |
TV-' |
(а > — 1) |
Г («+!■) |
|
|||
|
|
|
|
< P - * ) a+1 |
|
||
7. |
sin о)/ (о > |
0) |
_ |
5 U - |
|
|
|
|
|
|
|
•р Ч - W- |
|
|
|
8. |
|
cos cot |
|
• |
p |
|
|
9. |
|
sb (i)i |
|
|
(0 |
|
|
|
|
p2 — (o- |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
/ |
|
|
10. |
|
ch cot |
|
. |
P |
|
|
11. |
№ sin со/ |
|
(p -X )2 + |
coa |
|
||
|
|
|
|
|
Оригинал f (/)
‘ 12. |
cos сot |
13.еМsh (at
14.- № ch (at
15.t sin (at
16.t cos (at
17.t sh (at
18.t ch (at
19. |
sin (t — T) (T > 0 ) |
20.cos (t —T)
21.tn sin (at
22.tn cos (at
23.Jn(t) ( Л - 1 , 2 , ...)
24. |
Erf,( a \ |
2 |
? |
|
\ 2 V T j ~ V n |
aJ2J\ft |
|
25. |
S i * - J |
s i a x dX |
|
|
U |
|
|
П р о д о л ж е н и е
------------,
|
00 |
/ |
dt |
Изображение F (p) *= J / (0 |
|
||
* |
0 |
|
|
p —X
(0
{p —X)2 — ©2 p - X
(p -X )3- © 3 2p©
(p2 +0)2)3
P2 —O)2
(P2 + Ш2)2
2po> (p3_ 0)2)3
p3+®2 (P3- © 2)3 g-тр
P2+ 1 pe~xP
P2+ 1
Im (p + /(o)n+t (P3 + (l)2)4+l
Re(p + /o))«+i (p2+ 0)2)"+l
()/p2+ l _ p )«
l 'V + i
1 g -o t/p - p
arcctg p p
Оригинал / (0
26. |
C W - |
$ |
т Х <Ь |
|
|
t |
|
|
|
ebt — eat |
|
|
|
t |
• |
28. |
I n f |
l) |
(a > 0) |
29. |
|
In/ |
|
■a |
|
|
|
П р о д о л ж е н и е |
|
Изображение F ( p ) * f09f (t)e pl/ di |
|
|
0 |
i l n |
' |
P |
v V + i |
i |
a- |
111 |
------7- |
|
p - b |
_ L _ (K p * + a* - p ) " |
|
y ( lny - v ) , |
Y = 0.57722... |
ЛИТЕРАТУРА
1. |
А р а м а н о в и ч |
И. |
Г., |
Л у н и |
Г. Л., |
Э л ь с г о л ь ц |
Л. Э. |
||||||||||||
|
Функции комплексного переменного. Операционное исчисление* |
||||||||||||||||||
|
Теория устойчивости. —М.: Наука, |
1968. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2. |
Б а р б а ш и н |
Е. |
|
А. |
Введение |
в |
теорию |
устойчивости. — М.: |
|||||||||||
|
Наука, |
1967. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
В о л к о в ы с к и й Л. И., |
Л у нц |
Г. Л., |
А р а м а н о в и ч |
И. Г . - |
||||||||||||||
|
Сборник |
задач |
по теории функций |
комплексного переменного.— |
|||||||||||||||
4. |
М.: Наука, 1970. |
|
|
Лекции |
по математической |
теории устой |
|||||||||||||
Д е м и д о в и ч |
Б. П. |
||||||||||||||||||
|
чивости.—М.: Наука, |
1967. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б. |
Е в г р а ф о в |
М. А. Аналитические функции.—М.: Наука, |
1965. |
||||||||||||||||
6. |
Е в г р а ф о в |
М. |
А., |
С и д о р о в |
Ю. |
В., |
|
Ф е д о р ю к |
М. |
В., |
|||||||||
|
Ш а б у н и н |
М. И., |
Б е ж а н о в |
|
К. А. Сборник задач |
по теории |
|||||||||||||
7. |
аналитических функций. —М.: Наука, 1969. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
К а р с л о у |
X., |
|
Е г е р Д . |
Операционные |
методы в прикладной |
||||||||||||||
8. |
математике. —М.: ИЛ, |
1948. |
|
|
|
|
|
|
|
|
исчисле |
||||||||
К р а с н о в М. Л., |
М а к а р е н к о Г. И. Операционное |
||||||||||||||||||
|
ние. |
Устойчивость |
движения |
|
(задачи |
ж |
|
упражнения). — М.: |
|||||||||||
9. |
Наука, |
|
1964. |
|
Г. И., |
М о р д а с о в а |
Г. М., П о д о л ь с к и й В. А., |
||||||||||||
К р у ч к о в и ч |
|||||||||||||||||||
|
Р и м с к и й - К о р с а к о в |
Б. |
С., |
С у л е й м а н о в а |
|
X. |
Р., |
||||||||||||
|
Ч е г и с |
И. |
А. |
Сборник задач |
|
и |
упражнений по |
специальным |
|||||||||||
10. |
главам |
высшей |
математики. —М.: Высшая |
школа, |
1970. |
|
|
||||||||||||
Л а в р е н т ь е в |
М. А., Ш а б а т |
Б. В. Методы теории функций |
|||||||||||||||||
11. |
комплексного |
переменного. —М.: Наука, |
1973. |
А. |
Введение |
||||||||||||||
М а р к у ш е в и ч |
А. |
И., |
М а р к у ш е в и ч |
Л. |
в теорию аналитических функций. — М.: Просвещение, 1977.
12.М ы ш к и с А. Д. Математика для втузов (специальные курсы).— М.: Наука, 1971.
13. |
П р и в а л о в И. И. Введение |
в теорию функций комплексного |
14. |
переменного. — М.: Наука, 1977. |
|
П ч е л и н Б. К. Специальные разделы высшей математики. Функ* |
||
|
ции комплексного переменного. |
Операционное исчисление. —М.: |
|
Высшая школа, 1973. |
|
15.Р о м а н о в с к и й И. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитиче ские и специальные функции. Преобразование Лапласа. —М.:
16. |
Наука, 1980. |
|
А. Г., Т и х о н о в |
А. Н. |
Теория функций |
комп- |
||
С в е ш н и к о в |
||||||||
17. |
лексной переменной. — М.: Наука, |
1979. |
|
М. И, |
||||
С и д о р о в |
Ю. |
В., |
Ф е д о р ю к |
М. В., Ш а б у н и н |
||||
|
Лекции по теории функций комплексного переменного.—Мл |
|||||||
18. |
Наука, 1976. |
|
И. |
Высшая математика |
(специальные главы).— |
|||
Ч и н а е в П. |
||||||||
|
Киев: Виша |
школа, |
1977. |
|
|
|
19.Э л ь с г о л ь и Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариаци* онное исчисление. —М.: Наука, 1965.