2421
.pdfния прежде всего из-за высо кого уровня силового нагру жения элементов конструкций, обусловило необходимость развития специальных методов расчета на прочность, учиты вающих возможность наличия в изделиях стабильных трещин допускаемых размеров. Неста бильный рост трещины нач нется при локальном напряже нии аР(с), вычисляемом из следующего условия:
ор(с) |
|
|
(3.8) |
Рис. 3.14. Образец для стан |
|
где с— полудлина |
внутренней |
дартного определения К\с ме |
|||
тодом испытания на внецен- |
|||||
или глубина внешней |
трещи |
тренное растяжение (тип ВР) |
|||
ны; К\с — коэффициент интен |
W = 2В (В — толщина) с < |
||||
сивности |
поля напряжений в |
< 0JW (вместе |
с устало |
||
начале |
нестабильного |
роста |
стной трещиной). |
|
|
трещин в условиях |
плоскоде- |
|
так назы |
||
формированного состояния, характеризующий |
ваемый параметр вязкости разрушения материала. Мно житель г] зависит от размера пластической зоны у вер
шины трещины и от ширины детали W: |
для с<^ W и |
°р С ° т ч = 1 [15]. Величина К\в |
предварительно |
определяется в лабораторных экспериментах на специальных образцах с заранее созданной усталост ной трещиной [15] (рис. 3.14) и затем с учетом (3.8) используется для расчета прочности конструкции из этого же материала, содержащего трещину с. Учитывая, что параметр К\с сильно зависит от химического соста ва, структуры материала, температуры, а также от сте пени приближения к плоско-деформированному состоя нию, становится ясным, что надежные результаты могут быть получены только при соблюдении в лабораторных опытах всех указанных параметров такими же, как в реальных условиях эксплуатации, а это сопряжено с усложнением и без того непростой методики экспери ментального определения К \с.
К сожалению, пока нет надежных физически обо снованных способов расчета величины К\с на основа нии структурных характеристик материала. Известная
5* |
131 |
попытка Дж. Нотта в этом отношении носит характер грубой оценки. Однако исходя из представленных здесь соображений для некоторых простейших случаев такие расчеты могут быть выполнены. В частности, это мож но сделать для надреза с известным радиусом закругле ния р в материале, находящемся вблизи температуры хрупко-вязкого перехода Td, когда ат ~ акр. Это, конеч но, будет не стандартная величина К ic а некая условная характеристика вязкости разрушения, которую поэтому будем обозначать /Скр. В данном случае важно не столь ко численное соответствие между расчетной величиной /Скр и стандартной Kic, сколько характер структурной зависимости /Скр, который должен остаться тем же, что и в случае усталостно наведенной трещины. На этом ос новании рассмотрим такую модель: субмикротрещина кри тического размера скр= сГр зарождается в результате ло кальной текучести, стимулированной концентратором напряжений у вершины надреза с известной геометрией. Поскольку коэффициент концентрации напряжений Kt от внешнего надреза радиусом р и глубиной t может быть вычислен на основании линейной механики упругости
К/ = 2\-j-J где t/p > 1; На < 1, а — размер-нетто под
трещиной, то в условие прочности можно ввести вычис ленное концентрированное напряжение в вершине над реза ак:
он — номинальное внешнее напряжение. При ок = окр имеем он =ор (0 — напряжение разрушения материала с надрезом:
(3.9)
Подставив в (3.8) величину ор (/) из (3.9), получаем (за менив К ic на /Скр):
Ккр = «р (0 (ч*01/2 = |
/ |
Т М > |/2> |
ИЛИ |
|
|
/Скр = ~2 акр CiFp),/2. |
(3.10) |
132
Как видим, параметр Ккр фактически должен иметь пря мую связь с остротой надреза (р) и размером зерна d, поскольку окр = 18d~l/2:
Ккр = 9,0 Y |
(р и d в мм). |
(3.11) |
Хотя расчетные значения Кир для надреза с конечным р непригодны для количественного сопоставления со стан дартным Kic, полученным на образцах с усталостной трещиной, тем не менее соотношение (3.11) правильно определяет структурную зависимость К\0 для условий хрупкого состояния материала, когда Онр = от. Строго говоря, формула (3.11) позволяет определить Ккр исхо дя из данных о структуре материала и остроте трещины лишь для температуры перехода данного материала от вязкого к хрупкому разрушению при одноосном рас тяжении— Td (см. рис. 2.6). Для температур выше Та экспериментальные значения /Сир будут больше рассчи танных по (3.11), для температур ниже Td — меньше расчетных.
О качественном согласии расчета /Скр по (3.10) с опы том можно судить по сопоставлению с данными по зави симости /Скр от радиуса надреза, приведенными Дж. Нот том [15] (см. рис. 1.11). Как видим, на опыте закономер
ность вида |/р хорошо выполняется вплоть до некоторого минимального значения pmin. Величину минимального эффективного радиуса надреза предположительно можно связать с размером зерна, т. е. pmin~cfТакое предполо жение выглядит вполне разумным, так как границы зерен являются надежными барьерами для течения. Поэтому возбуждаемые внутри зерен элементарные акты микроте кучести так или иначе снимают упругое поле напряжений у острия надреза и тем самым сводят его к некоторому «эффективному» значению рЭф , размер которого равен ра диусу пластической зоны и в данном случае ограничен контуром зерна, т. е. рэф^с?. При р < d указанная релак сация всегда обеспечивает рэф = d для любого сколь угодно малого радиуса надреза. Поэтому на рис. 1.11 не наблю дается ЗаВИСИМОСТЬ К\с ОТ р При р < pmi n ~ рэф~ ^ .
Дальнейшее подтверждение приведенных выше сооб ражений по определению величины /Скр на образцах с известным конечным радиусом трещины можно подчерк нуть из работы Т. Екобори и М. Китагавы [81], в кото рой исследовалась зависимость разрушающего напря-
133
женин op(t) надрезанных плоских образцов от величи ны зерна стали и радиуса надреза (рис. 3.15). Экспе риментальные значения напряжения для хрупкого раз рушения <jp(0 железа с 0,04% С при температурах ниже Td (рис. 3.16 и 3.17) описываются следующими эмпи рическими соотношениями.
Зависимость ор (t) от d для / = 3 мм:
при |
р = 1 мм: |
ор (/) ^ 8rf~,/2; |
(3.12) |
при р = |
0,25 мм: |
ор (/) ^3 ,9 d -1/2. |
(3.13) |
Зависимость ap(t) от Y? |
(при d~112 = 3 мм_,/2): |
|
|
|
ор ( 0 ^ 2 5 ] / р . |
(3 .14) |
Эти же зависимости можно получить из теоретиче ского расчета, основываясь на рассмотренной модели разрушения в зоне концентрации напряжений у надре за. Для этого в формулу величины концентратора на
пряжений |
Kt необходимо ввести поправку на геометрию |
|||
образца с надрезом, |
использованного в работе [81], где |
|||
t = 3 мм, |
а = |
3 мм, |
W = 12 мм |
(рис. 3.15). Поскольку |
t = а, то |
расчетный |
концент |
|
|
ратор К' будет несколько НИ- |
б р К )н гс/м > » г |
|||
же идеального Kt{Ki=2(tlp) '/2), |
|
|||
справедливого |
при |
соотноше |
|
|
нии 11а > |
1: |
|
|
|
К' = 2e(*/p)1/2, где |
е < 1. |
|
||
Величину поправки е опре |
|
|||
делим по графику зависимости |
|
*5'
fj
— : fS по
Рис. 3.15. Плоский образец с надрезом, использовавшийся в работе [81]. Толщина 10 мм, глубина надреза t = 3 мм, а — = 3 мм, радиус надреза р = 0,1-f- —г~1,0 мм.
134
коэффициента |
концентрации |
|
|
|||
от отношения а!р |
приведенно |
|
|
|||
го в работе Г. В. Ужика |
[73] |
|
|
|||
(см. рис. 3.5), из которого сле |
|
|
||||
дует, что реальный |
концентра |
|
|
|||
тор (t « а) меньше |
идеально |
|
|
|||
го (/-> со) примерно в 0,7 ра |
|
|
||||
за, т. е. е ~ 0,7. |
* |
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
Рис. 3.17. Влияние остроты |
||||
K ' ^ l A ( t l ? ) U2 и |
||||||
надреза |
на |
напряжение |
||||
0,< = 1,4он (у ) |
|
хрупкого |
разрушения мало- |
|||
|
(3 .15) углеродистой |
стали [81]. |
Отсюда для критической ситуации, когда ак = аир, по лучаем номинальное напряжение разрушения образца под надрезом ар(/):
и окончательно |
|
|
||
|
|
|
•р(0 = 13 |
(3.16) |
для |
1 = 3 мм и р = 1 мм имеем |
|
||
|
|
|
.„(/) = 7,6d-'«, |
(3.17) |
для |
t = 3 мм и р = 0,25 мм |
|
||
|
|
|
Зр(0 = г , и ~ ' п . |
(3.18) |
Как |
видим, расчетная зависимость эр (t) от d~l/2 прак- |
|||
тически |
совпадает с экспериментальной: |
сравним (3.17) |
||
и (3.18) с (3.12) |
и (3.13). Поскольку испытания в работе |
|||
[81] |
проводились |
при температурах—160 ч---- 196° С (т. е. |
ниже Та), то наш расчет, сделанный для хрупкого состо яния образца, вполне сопоставим с указанным опытом (см. рис. 3.16).
Зависимость напряжения хрупкого разрушения (ниже Та) от радиуса надреза р (рис. 3.17) также численно близка к полученной в работе [81J для стали с размером
зерна rf^O .l мм (d~l/2 = 3 мм” 1/2): |
|
Op (t) — 22]/7 |
(3.19) |
(сравним (3.19) с (3.14)). |
|
135
Таким образом, экспериментальные результаты ра боты [81] получают хорошую теоретическую интерпрета цию с позиций физической теории хрупкого разрушения и одновременно служат подтверждением приведенной выше модели расчета /С,ф. Напомним, что полученная формула (ЗЛО) пригодна для испытаний круглых образ цов с кольцевым надрезом лишь вблизи температуры хрупко-вязкого перехода.
Для того чтобы подобную формулу вывести для ма териала в пластичном состоянии (выше Гнр), потребует ся ввести в расчет /СКр условия текучести в зоне надреза, эффектов деформационного упрочнения и упругого стес нения деформации вследствие трехосности напряженно го состояния. Мы уже знаем, какая нелегкая эта зада ча и, не пытаясь решить ее до конца последовательно, попробуем сделать грубую оценку всех этих эффектов с помощью следующего формального приема.
Введем понятие эффективного концентратора напря
жения (ЭКН), |
обозначив его через /С<э»который, конечно, |
|
всегда меньше |
идеального концентратора |
так |
как пластическая релаксация у края острия срезает пик упругого напряжения (рис. 3.18, а).
Предел текучести от (либо напряжение течения а£, если учесть деформационное упрочнение в зоне текучести) при отсутствии стеснения деформации (р > 1) оказывается верхним пределом возможных упругих напряжений в ок рестности острия (рис. 3.18, а). Если концентрированное напряжение oimax (без учета упрочнения) достигло значе
ния о? на удалении гр от вершины (где гр — радиус пла стической зоны), то на границах зерен, которых в зоне гс достаточно много, возникнут зародышевые трещины. По
следние смогут |
распространяться, |
если |
пиковое значение |
|||||||
главного напряжения o imax |
будет равно окр. Но для вязких |
|||||||||
металлов oimax не может достичь |
уровня |
окр, |
если нет |
|||||||
стеснения |
деформации, |
так |
как |
в |
этом |
случае |
окр > от, |
|||
a oimax ^ |
от. Чтобы |
создать |
упругое |
перенапряжение |
||||||
у концентратора, т. е. |
поднять o imax выше |
от вплоть до |
||||||||
уровня окр (см. |
рис. 3.18,6), |
надо |
на |
границе |
упруго |
пластической зоны обеспечить такую жесткость напря
женного состояния (3, которая оказалась |
бы |
достаточной |
для этой цели, а именно: Q = -г- = —-. |
В |
этом случае |
Р |
|
|
136
Рис. 3.18. Развитие пластической зоны вблизи острия трещи ны в докритнческой (а — гр < r j н критической ( б — гр = гсу
ситуациях.
напряжение стесненного течения о? может достичь уровня окр и субмикротрещина, зародившаяся на границе упруго пластической зоны гс в области пика напряжения а1тах, получит возможность гриффитсовского роста в локальной области концентрации напряжений, а после слияния с вершиной надреза образовавшаяся макротрещина пере
йдет в катастрофический |
рост до полного разрушения |
изделия. |
что Q растет от конца надреза |
Далее будет показано, |
|
в глубину по некоторому |
затухающему закону и «стес |
ненный предел текучести» а? материала будет увеличивать ся по мере удаления от острия по оси х (см. рис. 3.18, б).
В точке А , где о?= окр на краю зоны гс будет достигнут |
|
локальный критерий разрушения |
от действия надреза |
с концентратором напряжений Ко |
Но мы видим, что |
расчетный концентратор Kt фактически не реализовался,
так как наибольшее упругое напряжение, |
которое |
было |
|||
в зоне гс, |
равно окр, что |
несколько |
меньше ок. |
Таким |
|
образом, |
в вязком металле |
в момент |
локального |
разру |
|
шения физически действовал не идеальный, |
а некоторый |
«эффективный» концентратор Kt-з, точная величина кото рого нам пока неизвестна, однако известно, что она
137
несомненно меньше Kt и как-то связана с окр или Кв =
=°к р /ат-
Впервом приближении можно попытаться выразить
эту связь в простейшем виде
Kt = KtsKB |
(3.20) |
и путем дальнейшего анализа проверить, |
справедливо ли |
такое представление. Заметим, что Kt выражается через произведение двух величин Kt5 и Кв, каждая из которых меньше Kt и больше единицы, т. е. слишком большого произвола в таком представлении Kt нет. Более того, хотя в общем случае величина Kta ограничена пределами Kt > KtB > 1, все же существуют некоторые условия, когда значение Kta становится вполне определенным. Такой случай наблюдается, когда величина пикового напряжения на границе упруго-пластической зоны окэ достигает значе ния окр, т. е. обеспечивает выполнение локального критерия хрупкого разрушения, о чем должно свидетельствовать появление хрупкой кристаллической зоны на фрактограмме излома.
Умножив обе части равенства (3.20) |
на |
о„ (номиналь |
ное среднее напряжение, приложенное |
к |
надрезанному |
образцу), получим |
|
(3.21) |
Ок = Окэ/Св |
|
и, учтя, что в случае реализации хотя бы небольшой степени хрупкости (оцениваемой по наличию кристаллич ности в изломе), окэ == окр, из (3.21) имеем
Ок=ОкР/(в. (3.22)
Отсюда, учитывая, что ок = о н/0, из (3.22) сразу следует очень полезная формула для определения величины номи нального напряжения он, обеспечивающего полное разру шение образца с надрезом в случае, если в изломе имеется хотя бы минимальная степень кристалличности:
он |
°к р ^ в |
°кр ^ в |
- \ Г ~ |
(3.23) |
|
- £ r |
= w r |
V f ' |
|||
|
|
где t — глубина внешнего кольцевого надреза на круглом образце; р — радиус в вершине надреза.
Выражение (3.23) можно представить иначе, если пра вую часть домножить и разделить на от:
Он = ог-77^, так как |
Кв = — • |
(3.24) |
Л i |
ат |
|
138
Сдругой стороны, о„ можно выразить через /Скр:
—Дкр
Подставив о„ в (3.23), получаем
V _ кр |
y T t , |
Д к р _ _ 2V't |
|
и окончательно
Ккр = - £ - < > „ ,/ ( . V ? = ^ 4 е К р
или в иной форме
/(кр = |
« д !. v7- |
(3.25) |
Как видим, полученная формула для разрушения с пла стической зоной отличается от /Скр для хрупкого мате риала (3.10) только множителем Кв, учитывающим за
пас пластичности металла. Роль введенного здесь коэф-
а
фициента Кв = ——во всей физической теории разру-
ат
шения металлов чрезвычайно велика. Главное его зна чение состоит в том, что величина К в сразу дает коли чественную характеристику потенциальных возможно стей сопротивления хрупкому разрушению пластичного металла в любом напряженном состоянии. Степень пре вышения акр над пределом текучести ат прямо указыва
ет на запас вязкости материала. |
При Кв = 1 металл |
||
хрупок, |
так как |
находится как |
раз при температуре |
Та, где |
сгт =сткр. |
Чем больше Кв, |
тем большее упругое |
перенапряжение в зоне трехосного растяжения может выдержать материал без опасности хрупкого разруше ния, а это значит — тем больше запас его вязкости.
Таким образом, Кв наряду с акр приобретает значе ние фундаментальной характеристики металла, роль ко торой в физической теории разрушения не менее значи тельна, чем роль Kic в механике разрушения.
Весьма примечательно, что и показатель вязкости разрушения в механике— Kict судя по выражению для его аналога /Скр (3.25), должен быть теснейшим обра зом связан с физическим коэффициентом запаса вязко сти, которым является Дв.
139
Допустимая (критическая) степень упругого перена пряжения без охрупчивания элемента конструкции в сложно-напряженном состоянии QKp равна /СвЭто дает возможность вести расчет на прочность с учётом струк
туры (акр), свойств металла (<гт) и напряженного со- 1
стояния (р) QKр = |
= Кв, откуда |
|
|
ркР = 7- . |
(3.26) |
|
кр |
|
Формула (3.26) может быть полезной в конструктор ских расчетах. Возвращаясь к /Скр, отметим, что в фор муле (3.25) отражена зависимость /Скр от <Тт и от тем пературы, что качественно хорошо согласуется с экспе риментальными данными, приводимыми К. Хеккелем и Дж. Ноттом [14, 15, 82] (см. рис. 1.10; 1.12; 1.20).
Для численного сопоставления /Скр с опытом по (3.25) требуется знать конкретную величину радиуса надреза р и характеристики материала акр и ат. Стандартные определения К и предусматривают наведение строго ре
гламентированной |
усталостной |
трещины [15], |
радиус |
||
острия которой р трудно поддается оценке, |
но |
факти |
|||
ческая величина |
которого |
столь |
мала, что |
как будто |
|
не влияет на определение^ |
ic, так как находится в зоне |
таких малых значений р, где зависимостьК\с от Y Р пе реходит на горизонтальную линию (см. рис. 1.11). По поводу такого специфического влияния радиуса надре за или остроты трещины р на значение определяемого на опыте параметра К]С можно высказать следующее соображение. Строго говоря, как согласно полученным формулам (3.10), (3.25), так и по экспериментальным данным (рис. 1.11), величина коэффициента интенсивно сти напряжений у надреза или трещины пропорциональ
на ]/р, и это всегда следует иметь в виду. Действитель
но, при |
макроскопически больших |
величинах р, когда |
||
р намного |
больше |
характерных |
размеров элементов |
|
структуры |
(р > d), |
учет величины |
р совершенно необ |
|
ходим. |
Легко убедиться, что оценка величины / С ц Р по |
формулам (3.25) приводит к разумным значениям, если использовать макроскопически большие радиусы надре зов. Так, для значений От^ЮО кгс/мм2 /<п«1,5 и р« «0,3 мм из (3.25) получаем
Ккр == ЮО (1,5)2 .0,3 кгс/мм1/2^ ; ! 15 кгс/мм3/2,
140