1464
.pdfГл а в а V
Теоретические формулы, описывающие законы фильтрации жидкости и их обобщение
§ 1. Законы фильтрации через фиктивный грунт
Чтобы применить теорию движения жидкостей по трубам к дви жению ее в фиктивном грунте, Слихтер [159] предложил следующий метод перехода от фиктивного грунта к идеальному.
При рассмотрении явления фильтрации в фиктивном грунте нужно заменить действительный поровый канал весьма сложного стро ения идеальным цилиндрическим поровым каналом, площадь попереч ного сечения которого равна сечению действительного порового канала в самом узком месте его, а длина равна длине ребра основного ромбоэд ра (рис. 36). Для определения величины потери напора при движении жидкости в таком цилиндрическом поровом канале можно применить формулу Пуазейля для ламинарного движения вязкой жидкости по трубам
,32pLw
(1, V)
где h — потеря напора на трение;
/1 — абсолютная вязкость жидкости; L — длина трубы;
w — скорость движения жидкости; 7 — удельный вес жидкости;
D —диаметр трубы.
Обозначим через f площадь поперечного сечения трубы и Лр — пе репад давления на длине ЛЬ. Тогда
D2
4 /
7Г *
Подставляя это значение D2 в формулу (1, V) и умножая обе части
равенства на удельный вес жидкости 7 , получим:
Ар = 8npLw
~ Т ~
откуда |
|
|
/Лр |
(2, V) |
|
8пLp |
||
|
При этих предпосылках Слихтер принимает площадь / сечения порового канала равной половине площади проходов (см. § 2) и, выра жая угол в через пористость пласта га, получает следующую формулу средней скорости движения:
nd2 Лр |
(3, V) 1 |
|
96(1 —тп) pL' |
||
|
Для получения расхода жидкости Q скорость движения жидко сти следует умножить на площадь проходов nF, где п — просветность, a F — площадь сечения пористой среды (пласта):
с n2d?F Др
96(1 —m) f*L
Обозначив
а = 1 —тп |
(4, V) |
он получает формулу для объемного расхода жидкости в виде
п |
d?F |
Др |
(5, V) |
|
4 |
96 o\i |
L ' |
||
|
Определенные по формуле (4, V) значения а приведены в табл. 2. Некоторые исследователи отмечают (см. [100]), что с достаточной
для практики точностью можно считать, что
\ = 1,025 т 3’3.
1 Подробное изложение теории и, в частности, вывод формулы (3, V) дается в книгах акад. Л. С. Лейбензона [100, 107].
Тогда формулу (5, V) можно написать в виде: |
|
|
Q = 0,01068 |
^ . |
(6, V) |
При выводе этих формул был сделан ряд допущений. В частности, сечения поровых каналов рассматривались как криволинейные тре угольники, за площадь этих сечений принималась половина площади проходов и др.
Очень сильное измерение поперечного сечения поровых каналов весьма затрудняло замену их эквивалентными цилиндрическими ка налами. Кроме того, как показали более поздние исследования, про странственные соотношения в фиктивном грунте гораздо сложнее, чем принимается по этой формуле.
Даже при самой плотной укладке шаров существуют две различ ные формы порового пространства вместо одной по Слихтеру. Нельзя исследуя элемент, составленный из 8 шаров, считать, что расположе ние всех остальных шаров является таким же. Рассмотрение большей числа шаров, составляющих несколько слоев, показало, что вследстви< различного расположения их изменяется путь прохождения жидкости а, следовательно, изменяется и величина сопротивления, оказываемое фиктивным грунтом фильтрующейся жидкости2.
В свете вышеизложенного неудивительно, что сравнение резуль татов вычислений по формуле (5, V) с экспериментальными данным обнаружило значительные расхождения.
Был предложен и другой способ перехода от фиктивного rpyi та к идеальному (см. Лейбензон [107]). По этому способу фиктивны грунт заменяется идеальным с таким расчетом, чтобы были одинак вы объемы поровых пространств и поверхности поровых каналов. П тем применения к подобранным таким образом идеальным поровь каналам формулы Пуазейля был получен закон фильтрации жидк сти, приводимый к виду:
|
0 |
_ |
d2F |
Др |
|
4 |
|
96 o\\i |
L ’ |
где |
|
|
|
|
|
|
|
(1 ~ т )2 |
|
Значения |
приведены в табл. 2. |
|
2Изложение последних результатов см. в книге В. Зигель [61).
На основании гипотезы о том, что главное влияние на скорость фильтрации оказывает величина удельной поверхности, т.е. суммар ная величина S поверхности частиц, заключенных в единице объема фиктивного грунта, ибо на этой поверхности происходит трение жид кости о грунт, был получен закон фильтрации жидкости в виде:
Q = 18 FApm |
(8, V) |
/JLLS2 ' |
|
Величина суммарной поверхности песчинок, заключенных в еди нице объема пористой среды, как было показано в § 1 главы IV, состав ляет:
с 3(1 — т) 6(1 —т)
=? = d
После внесения этого значения S в уравнение (8, V) была получена формула:
cPmF Др
(9.V)
2(1 —т)2(л L
К.Терцаги в известном труде «Механика грунтов» [166], рассмат ривая фильтрацию как протекание жидкости через ряд поставленных параллельно друг другу сит, получил следующий закон фильтрации:
Q = с т — то |
|
d?F ДР |
(10, V) |
\/1 —т |
V L ' |
|
|
На основании опытных данных |
Терцаги принимает т о |
= 0,13. |
Коэффициент С зависит от состояния поверхности песчинок. Для песка с гладкой поверхностью песчинок С = 10,5, при угловатой поверхности песчинок С = 6, 0.
Можно было бы увеличить перечень полученных различными ав торами формул, описывающих закон фильтрации жидкости. Вывод большинства из них дается в книгах акад. Л. С. Лейбензона [100] и [107], к которым мы отсылали интересующегося читателя.
Формулы (5, V), (6, V), (7, V) и (9, V) описывают фильтрацию в фиктивном грунте. Для применения их к движению жидкостей в ре альной пористой среде следует вместо диаметра частиц d подставить эффективный диаметр частиц d'э .
7 Подземная гидравлика
§ 2. Обобщенное выражение различных теоретических формул, описывающих закон
фильтрации
Обилие формул, описывающих законы движения жидкостей и газов в пористой среде, приводит некоторых авторов к весьма пессими стической оценке возможностей «Подземной гидравлики». Так, напри мер, указывается [53], что «в этих формулах особенно большие затруд нения вызывает определение различного рода коэффициентов и пара метров, характеризующих условия и закономерности движения жид костей и газов в пористой среде. По мере углубления наших знаний и стремлений приблизиться к действительным условиям, имеющим ме сто в пластах, полученные соотношения усложняются, а количество по являющихся параметров увеличивается».
Однако более глубокое рассмотрение всех формул показывает, что все они по существу одинаковы.
Обозначим
|
S1= |
= /(m)- |
(11' v > |
Эта безразмерная |
величина |
S1, являющаяся |
при фильтрации |
в фиктивном грунте |
функцией |
пористости, впервые введена акад. |
Л. С. Лейбензоном и названа им числом Слихтпера1.
При фильтрации жидкости в реальном грунте число S1 является функцией не только пористости, но и зависит от структуры порового пространства, определяющейся формой частиц и степенью шерохова
тости их поверхности, т. е. |
|
SI = f{m,e) |
Q\iL |
(12, V) |
|
|
<%FAp' |
где £ — некоторый параметр, характеризующий структуру порового пространства пласта.
Разделив в формулах Терцаги и других величину расхода Q на площадь F, сквозь которую происходит фильтрация, получим фор мулы, описывающие скорость фильтрации жидкостей. В этих фор мулах через ЛЬ обозначим длину элемента пористой среды, на кото рой падение давления при фильтрации жидкости составляет величи ну Лр и вместо диаметра d частиц фиктивного грунта введем эффек тивный диаметр dэ.
1 Более справедливым было бы назвать число S1 числом Лейбензона.
Выделим в указанных формулах число S1. Тогда обобщенное выра жение законов фильтрации имеет вид:
cgSl Ар
(13, V)
A* A L '
Значения числа S1 у различных авторов различны.
Поскольку каждый из авторов при выводе закона фильтрации по-своему подходил к решению задачи о сведении фиктивного грун та к идеальному, то и полученные ими значения числа S1 отличаются друг от друга. Однако общим для всех уравнений является линейная зависимость между скоростью фильтрации и перепадом давления на единице длины и присутствие в формуле, выражающей закон фильтра ции, квадрата эффективного диаметра частиц и числа S1, зависящего от коэффициента пористости и структуры порового пространства.
В дифференциальной форме уравнение (13, V) напишется так:
|
dgSl |
dp |
|
|
(14, V) |
|
~T ~dL |
|
или |
|
|
- |
Ф 1 |
, |
v = |
---- — gradp. |
Знак минус в правой части уравнений (14, V) указывает на то, что скорость направлена в сторону падения давления, формулы (14, V) по казывают, что скорость фильтрации прямо пропорциональна векторуградиенту давления, квадрату эффективного диаметра слагающих по ристую среду частиц и числу S1 и обратно пропорциональна абсолют ной вязкости жидкости.
Принимается, что движение жидкости в идеальном грунте проис ходит по законам ламинарного движения жидкостей по трубам, что и привело к линейной зависимости между расходом жидкости и гра диентом давления. В случае турбулентного движения эта зависимость является нелинейной.
§1. Коэффициент фильтрации
В1856 г. были опубликованы результаты опытов по фильтрации воды в песке [42]. Устройство экспериментальной установки для изу чения закона фильтрации схематично показано на рис. 38. В гори зонтальной трубе 1, набитой песком 2, под действием разности напо ров h\ — /12 происходит фильтрация воды 3 в направлении, показанном стрелкой. Высоты уровней воды hi и /12 во время опытов поддержи вались постоянными. На основе проведенных экспериментов был уста новлен следующий закон:
Q = k* f z |
' F’ |
a . vi) |
где Q — объемный расход жидкости |
(количество воды, проходящей |
через пласт в единицу времени);
Ah = hi —/i2 — потеря напора на длине AL\ F — площадь вертикального сечения пласта;
кф — некоторый постоянный коэффициент, называемый коэффици ентом фильтрации.
Разделив обе части уравнения (1, VI) на площадь сечения пласта F и учитывая, что
|
Q |
|
|
и |
F = V |
(2, VI) |
|
Ah |
|||
|
|
где v — скорость фильтрации и г — гидравлический уклон, получим:
v = кф •г. |
(3, VI) |
Уравнение (3, VI) представляет обычную форму записи линейного закона фильтрации в гидрогеологической литературе.
Рис. 38. Принципиальная схема экспериментальной установки для изучения закона фильтрации.
При г = 1, v = /ьф, т. е. коэффициент фильтрации представляет собой скорость фильтрации при гидравлическом уклоне, равном еди нице. Поскольку гидравлический уклон г — безразмерная величина, то из формулы (3, VI) следует, что коэффициент фильтрации имеет размерность скорости:
[кф] = L T -1.
Выразим потерю напора Ah = h\—h<i и гидравлический уклон i че рез потерю давления Ар = р\ —рг-
Так как h\ = Щ- и /г2 = у , где р\ и р2 — давления, соответствую
щие напорам hi и /12, а 7 — удельный вес жидкости, то
Ah = |
P i - Р 2 |
Ар |
|
Т |
|||
|
7 |
и
. _ 1 Др
7 AL
Подставляя полученное значение г в формулу (3, VI), имеем:
кф Ар
(4, VI)
v = Т ~AV
В дифференциальной форме линейный закон фильтрации напи шется так:
где знак минус показывает, что скорость фильтрации имеет направле ние, противоположное направлению возрастания давления.
Полученный экспериментально этот закон [формула (5, VI)] по казывает, что скорость фильтрации пропорциональна градиенту дав ления (является линейной функцией его), это полностью согласуется с полученным аналитически законом фильтрации (14, V). Линейный закон фильтрации называли законом Дарси.
Формула (5, VI) справедлива для фильтрации жидкости в гори зонтальном направлении. В тех случаях, когда скорость фильтрации направлена не по горизонтали, наряду с разностью давлений Ар на фильтрацию жидкости оказывает влияние действие силы тяжести.
Рис. 39. Элемент наклонного пласта.
Рассмотрим элемент наклонного пласта (рис. 39). В трубе а, наби той песком 5, происходит фильтрация жидкости в направлении, пока занном стрелкой. Обозначим через р\ и рч давление жидкости в центре сечений 1 и 2. Тогда пьезометрические высоты в этих сечениях рав-
V1 Р2
ны у и у , а величины напоров составляют:
hi |
P i |
+ |
zi j |
“у |
|||
|
P2 |
, |
(6, VI) |
|
„ |
||
|
■y + z2, |
где z\ и Z2 — соответственно расстояния сечений 1 и 2 от некоторой условной горизонтальной плоскости отсчетов.
Потеря напора при фильтрации жидкости в рассматриваемом на
клонном пласте |
|
|
|
|
|
|
|
Ah = hi - h2 = Pl |
- + zi - |
z2 = ^ |
+ zi - z2 = ^ |
+ Az |
|
||
где Az = z\ —Z2 • |
|
|
|
|
|
|
|
Гидравлический уклон |
|
|
|
|
|
|
|
г = |
+ Аг |
|
\ |
f Ap + iA z |
|
|
|
AL |
|
|
|
||||
|
7 |
I |
Z\L |
|
|
||
|
|
|
|
||||
Подставляя это значение гидравлического уклона |
в формулу |
||||||
(3, VI), имеем: |
кф (Ap + yA z) |
|
|
||||
|
(7, |
VI) |
|||||
|
V ~ ~ |
|
AL |
’ |
|||
|
|
|
|
||||
или в дифференциальной форме |
|
|
|
|
|
||
кф(др + ydz) _ |
кф d(p + yz) |
|
|
||||
|
dL |
|
” |
7 |
dL |
|
|
Таким образом, в общем случае линейный закон фильтрации пи |
|||||||
шется в виде: |
|
кф d(p -I- 7 z) |
|
|
|||
|
v = ~ |
(8, |
VI) |
||||
|
7 |
— |
9y |
. |
|||
Обозначим |
|
|
dL |
|
|
|
|
р* = р + jz. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
Тогда |
_ |
|
|
ф* |
|
|
|
|
|
|
|
(8', |
VI) |
||
|
’ ~ ~ ~ Ж ' |
|
|||||
|
|
|
|
Величину р* назовем приведенным давлением.
Первоначально считалось, как это полагал и сам Дарси, изучав ший фильтрацию воды, что коэффициент фильтрации кф, входящий в формулы (5, VI) и (8, VI), зависит только от свойств пористой сре ды. Однако затем было обнаружено, что изменения температуры вли яют на величину коэффициента фильтрации, что указывало на зависи мость коэффициента фильтрации не только от свойств пористой среды, но и от свойств фильтрующейся жидкости, т. е. от ее вязкости и удель ного веса1.
Неверно; кф |
к ус |
к р д |
_ |
кд_ |
не зависит от х , либо кф = |
р и |
~ |
v ' |
|
|
|