1464
.pdfРис. 48. Последовательные поло |
Рис. 49. |
Последовательные |
положения |
||
жения частицы жидкости при ее |
частицы |
жидкости при ее |
движении |
||
движении в положительном на |
в сторону, противоположную направле |
||||
правлении оси одномерного по |
нию оси одномерного потока. |
|
|||
тока. |
|
|
|
|
|
так: |
|
|
|
|
|
= |
Q = |
^7 dh |
к dp* |
(5, VIII) |
|
V |
F |
V dl |
И dl ’ |
||
|
где F — площадь поперечного сечения АВ одномерного потока;
Q — объемный расход жидкости через это сечение (в этой формуле объемный расход следует подсчитывать, учитывая истинные давления в разных точках сечения АВ);
h — напор и
р* — приведенное давление в точке М 1.
Напор и приведенное давление всегда уменьшаются в сторону дви жения потока (в данном случае в положительном направлении оси /) и потому при переходе от точки М к М ', т. е. при положительном d/, изменение приведенного давления dp*, а, следовательно, и величи
ны Щ и - - - оказываются отрицательными. Чтобы получить абсолют ен at
ное значение (существенно положительную величину) скорости, при шлось в правой части формулы (5, VIII) поставить знак минус.
Алгебраическую величину характеризующую изменение дав
ления на единице длины пути вдоль направления быстрейшего изме нения давления, будем называть градиентом давления2.
1 Чтобы не вводить коэффициенты усадки, будем считать, что всюду, если нет специальной оговорки, объемы жидкости подсчитываются применительно к пла стовым условиям.
2Строго говоря, градиент давления есть величина векторная. Абсолютное значе ние только что определенной нами алгебраической величины равно модулю вектора градиента давления.
Допустим, что точки М и М' проходились движущейся частицей жидкости в моменты t и (t+ dt); средняя действительная скорость дви жения ги и скорость фильтрации v определяются следующей формулой:
v = m w = тп-jj-. |
(6, VIII) |
Если бы частица жидкости двигалась в сторону, противоположную выбранному положительному направлению оси I (см. рис. 49), то в по ложительном направлении оси I приведенное давление и напор возрас тали бы, т. е. при изменении координаты I на dl изменение приведенного давления dp* было бы величиной положительной. Поэтому
Q _ k dp* |
(7, VIII) |
F V d l' |
|
Применительно к условиям, изображенным на рис. 49, получим:
v = mw = - m # . |
(8, VIII) |
dt |
|
В условиях плоско-радиального и трехмерного радиального дви жения можно было бы сохранить те же формулы (5, VIII) — (8, VIII), если условиться под I подразумевать радиус-вектор движущейся точ ки и учесть, что площадь поперечного сечения F любого радиального потока не остается постоянной.
Действительно, допустим, что в точке О сходятся все прямоли нейные траектории АоАО, МоМО, ВоВО плоского радиального по тока (рис. 50). Направим полярную ось г вдоль одной из траекторий в направлении, противоположном скорости движения частиц жидко сти. Все остальные обозначения сохраним те же, что и на рис. 48 и 49. Пользуясь теми же рассуждениями, что и при выводе формул (7, VIII)
и (8, VIII), получим: |
|
|
Q |
к dp* |
(9, VIII) |
V F |
Р dr' |
|
|
dr |
(10, VIII) |
v = mw = —m — , |
dt’
где
ОМ = г, ОМ' = г -f dr.
Если частицы жидкости движутся к центру О симметрично со всех сторон, то под F следует подразумевать боковую поверхность цилиндра
ю*
Рис. 50. Элемент радиального потока
радиуса г и высоты 6, равной мощности (высоте) потока (см., например, рис. 44 и 45):
F = 2nrb. |
(11, VIII) |
Если в основной плоскости течения поток ограничен радиусами АО и ОБ, то под F следует подразумевать лишь часть боковой поверхности цилиндра.
Предположим, что на рис. 50 точка О является центром, к кото рому сходятся прямолинейные траектории трехмерного радиального потока. В таком случае формулы (9, УШ) и (10, VIII) останутся без изменения, но под F надо подразумевать площадь соответствующей части поверхности сферы. Так, например, если считать, что рис. 50 является элементом потока, изображенного на рис. 46, то для всего изображенного на рис. 46 потока F будет равно поверхности полусфе ры:
Одномерное и радиальное движение несжимаемой жидкости в условиях водонапорного режима
§ 1. Одномерное движение по линейному закону фильтрации
Исследуем горизонтальный установившийся одномерный поток однородной несжимаемой жидкости в условиях водонапорного режима.
Рис. 51. Вертикальное сечение элемента пласта и пьезометрическая линия в условиях одномерного потока.
Будем считать, что движение жидкости в пористой среде подчиняется линейному закону фильтрации. Допустим, что заданы постоянные ве личины приведенных давлений (а следовательно, и напоров) р* и р* в двух вертикальных сечениях OR и БТ, перпендикулярных направ лению движения потока (см. рис. 51); пусть р* > р*. На фиг. 51 изоб ражено вертикальное сечение потока ORTB, проведенное параллель но скорости потока; плоскость этого сечения совмещена с плоскостью
координат x z, а плоскость ху совмещена с нижней непроницаемой гра ницей (подошвой) пласта.
Линии OR и ВТ мы интерпретируем как сечения, соответствую щие контуру области питания пласта и галлерее; индексы «к» и «г» около обозначений давлений соответствуют первым буквам слов «кон тур» и «галлерея».
Конечно, линии OR и ТВ можно было бы интерпретировать и по-другому — как сечения, соответствующие началу и концу образ ца горной породы (части керна) при определении его проницаемости в лабораторных условиях.
Расстояние между сечениями OR и ВТ обозначено через LK, мощ ность пласта — Ъ.
Рис. 52. Горизонтальное сечение элемента пласта в условиях одномерного по тока.
Как было выяснено в предыдущей главе, для полного исследования потока достаточно изучить движение жидкости вдоль оси хх и ограни читься построением изобар в одной горизонтальной плоскости, напри мер в плоскости ху. Если за опорную плоскость принять плоскость ху, то, судя по формуле (3, VIII), можно утверждать, что истинное давле ние в какой-либо точке опорной плоскости численно равно приведен ному давлению в той же точке. Обозначим через рк и рг постоянные заданные величины давлений на контуре области питания и в галлерее на уровне опорной плоскости; иными словами, рк и рг есть истинные давления в точках О и В сечения пласта на рис. 51, т. е. давления вдоль горизонтальных линий 0 0 ' и В В' на рис. 52. На рис. 52 поток изобра жен в плане (в сечении плоскостью ху); буквой а обозначена ширина потока. Исследование изучаемого потока сводится к определению дав ления, градиента давления и скорости в любой точке фильтрационного потока, к определению дебита и закона движения.
Чтобы выразить все перечисленные неизвестные величины через заданные величины рк и рг (или р* и р*), LK, р, k, га, рассмотрим плоский фильтрационный поток в плоскости ху.
Обозначим через М некоторую точку в потоке, имеющую текущую координату х.
Из формулы (5, VIII), применительно к случаю потока в опорной плоскости ху , получим:
(1, IX)
где
(2, IX)
Для определения давления в точке М проинтегрируем урав нение (1, IX), учитывая, что в условиях рассматриваемого пото ка Q = const,
рX
Р к |
О |
отсюда
(3, IX)
Для определения дебита фильтрационного потока проинтегрируем уравнение (1, IX) в других пределах:
(4, IX)
откуда
(5, IX)
Конечно, последнюю формулу можно было бы вывести и из фор
мулы (3, IX), заметив, что р = рг при х = LK.
Подставив найденное значение Q из формулы (5, IX) в (1, IX), (3, IX) и (5, VIII), найдем, соответственно, градиент давления, давление и скорость фильтрации в любой точке плоского потока:
dp |
Рк - Рг |
dx LK
(7, IX)
'К
к Рк - Р г
(8, IX)
ЧLK
Формулы (5, IX) — (8, IX) вполне определяют все искомые величи ны не только применительно к одной плоскости ху фильтрационного потока, но и для всего исследуемого пространственного одномерного потока. Действительно, рк — рг = р* —р*, а потому, заменив р, рк, рг через р, р*, р*, можем считать, что упомянутые формулы вполне опре деляют градиенты давления, давление и скорость фильтрации в любой точке всего потока1.
Оказывается, что дебит есть линейная функция перепада давления (или перепада приведенного давления или перепада напора).
Градиент давления и скорость фильтрации постоянны — не зави сят от координаты х.
Истинное и приведенное давления (напор) суть линейные функ ции координаты х. Откладывая параллельно оси ординат на рис. 51 отрезки, пропорциональные истинному давлению в точках оси х, по лучим пьезометрическую линию E N F , которая, согласно только что сказанному, оказывается прямой.
Судя по формуле (7, IX), истинное давление в горизонтальной плоскости будет одинаковым во всех тех точках, для которых постоян
на абсцисса х, т. е. уравнение |
|
х = const = С |
(9, IX) |
представляет собой уравнение семейства изобар — семейства горизон тальных прямых линий, параллельных оси у.
Поверхностями равного напора (равного приведенного давления) будут служить вертикальные плоскости, параллельные плоскости yz.
Вданном случае изобары и траектории (прямые, параллельные оси х) образуют два семейства взаимно перпендикулярных прямых линий.
Вусловиях других плоско-параллельных потоков изобары и траекто рии могут не быть прямолинейными, но всегда должны пересекать друг друга под прямым углом (т. е. должны быть взаимно ортогональными). Это общее свойство гидродинамического поля будет доказано далее.
Следуя упомянутому в § 2, главы VIII, правилу, изобары данного потока необходимо чертить на одинаковом расстоянии друг от друга.
Заметим, что рк может быть названо статическим (при остановке), а рг — ди
намическим (при работе) давлениями в галлерее на уровне опорной плоскости.
Для вычерчивания траекторий также необходимо придерживать ся общего правила: между любыми двумя начерченными соседними траекториями расход жидкости должен быть одинаковым.
В частном случае исследуемого одномерного потока семейство тра екторий в плоскости ху мы должны изобразить с помощью равноотсто ящих друг от друга (эквидистантных) прямых линий, параллельных оси х.
На рис. 52 линии de и им параллельные изображают семейство изобар, линии O B , О'В' и им параллельные — семейство траекторий.
Совокупность изображенных на чертеже изобар и траекторий ча стиц жидкости называют гидродинамическим полем данного потока.
Тот факт, что на рис. 52 изобары и траектории представлены рав ноотстоящими параллельными прямыми линиями, подтверждает по стоянство скорости фильтрации и градиента давления в любой точке потока.
Перейдем к исследованию аналитической зависимости пройденно го (частицами жидкости) пути от времени, т. е. к установлению закона движения частицы жидкости вдоль траектории2.
Подставив значение скорости из формулы (8, IX) в (6, VIII), полу
чим (заменяя I на х): |
m Ll LK |
|
dt = |
||
(Ю, IX) |
k ( p K - P r )
Интегрируя уравнение (10, IX) в соответствующих пределах, мож но определить закон движения частицы жидкости вдоль траектории и промежуток времени, необходимый для прохождения любого задан ного отрезка пути. Допустим, например, что необходимо проследить за движением частицы жидкости, которая в начальный момент находи лась в сечении 0 0 ' (см. рис. 52); обозначив через t промежуток време ни, соответствующий пройденному пути ОМ = т, из (10, IX) найдем:
TTLр
(П, IX)
к (рК - Рг)
Как и следовало ожидать, зависимость между t их получилась ли нейная, ибо в рассматриваемых условиях фильтрационный поток дви
жется с постоянной скоростью.
Для последующего сравнения с формулами радиального движения направим ось х в сторону, противоположную движению, и выберем
2Напомним (см. часть вторая), что нас интересует лишь закон осредненного дви жения частицы жидкости и мы не рассматриваем микроизменений в скорости при движении в каждом отдельном поровом канале.
О |
X |
Рг_ |
Л |
D . |
D |
U
Рис. 53. Горизонтальное сечение элемента пласта в условиях одномерного по тока; специальный выбор осей координат, наиболее удобный для сравнения с радиальным потоком.
начало координат так, как показано на рис. 53. Обозначив
ОАг = Lr, ОМ = х,
ОАк = Ьк
и сохранив все остальные прежние обозначения, мы из форму лы (7, VIII), применительно к потоку в плоскости x z , получим:
рх
(12, IX)
|
(13, |
IX) |
откуда находим: |
|
|
Q = F - — — — |
(14, |
IX) |
Р к - Р |
(15, |
IX)3 |
|
Рк Рг
3Если начало координат выбрать в точке А г (см. рис. 53а) и ось у пустить вдоль галлереи, то окажется Ьг = О, L'K = LK и вместо формул (14, IX) и (15, IX) получим
Рис. 53а. Горизонтальное сечение элемента пласта в условиях одномерного потока. Начало координат — на линии галлерей.
Заметим, что если бы давления рк и рг в сечениях АКА'К и АГА'Г были бы не постоянными, а заданными функциями времени, то фор мулы (5, IX) — (8, IX), (14, IX), (15, IX) остались бы справедливыми. Действительно, поскольку при данном исследовании жидкость и пори стая среда считаются несжимаемыми, постольку изменение давления должно мгновенно распространяться на весь фильтрационный поток.
Поэтому, как бы ни менялось давление на «границах пласта» (в сеченияхЛк и А г ) , в каждый данный момент времени распределе ние давления в пласте и скорость частиц жидкости будут таковы, как если бы поток был установившийся.
Состояние движения в любой момент не зависит от истории дви
жения.
Считая, что рк и рг являются заданными функциями времени, из перечисленных выше формул дебит, скорость, градиент давления и давление также определяются как функции времени.
следующие формулы, которыми в дальнейшем воспользуемся:
п _ |
kF Рк — Рг |
(14', IX) |
Q ~ |
V LK |
’ |
Рк ~РГ~
ь к