- •ЧАСТЬ 1
- •Список литературы
- •4.3. ПОЛУЧЕНИЕ
- •вр Ed (р — ар) + уарг) + E0NV '
- •Список литературы
- •Список литературы
- •7.2. ОБРАЗЦЫ ДЛЯ ИСПЫТАНИЙ
- •7.4. СДВИГ
- •8.1. Расчетные зависимости для постоянных упругости однонаправленного материала (монослоя)
- •8.2. ТЕРМОУПРУГОСТЬ
- •многослойных композитов
- •ПРИ ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ
- •состоянии
- •8.4. ИЗГИБ МНОГОСЛОЙНЫХ
- •композитов
- •Шсшгьш-
- •[Фасу] = 1.] [ф°] [7\]т; (8.101)
- •Список литературы
- •9.1. КЛАССИФИКАЦИЯ КОМПОЗИТОВ
- •9.2. СТРУКТУРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
- •9.5. Приближенные зависимости для расчета упругих характеристик композита с противофазным искривлением волокон
- •9.6. ЧЕТЫРЕХНАПРАВЛЕННЫЕ КОМПОЗИТЫ (4Д)
- •ЧАСТЬ 2
- •1.1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ АНИЗОТРОПНОГО ТЕЛА
- •Список литературы
- •2.1. КОМПОЗИТНЫЕ БАЛКИ
- •2.2. ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ
- •2.4. КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА
- •Список литературы
- •4.1. СТАТИКА ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
- •Му == ^1я8да 4“ &22®у 4~ CiaKx4“ ^ааКу!
- •в.З. АНИЗОТРОПНЫЕ ДИСКИ
- •6.3. Влияние начальных термических напряжений на удельные энергоемкости дисков, образованных намоткой композитов
- •6.4. ХОРДОВЫЕ МАХОВИКИ
- •Список литературы
- •ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА
- •8.1. ПРОЕКТИРОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ СОЕДИНЕНИЙ
- •Список литературы
- •« РЕКЛАМА»
- •« РЕКЛАМА»
Для однородной (р = const) стенки где
= pAr+I |
[1 - • ( * ! + А*) + |
+ Aifeje*] + 9 (Aj + А* — 2А1Аае)+
Для слоистой стенки (см. рис. 1.15), если можно не учитывать изменение метрических коэффициентов по тол щине слоя,
1=1
х (< ;+ , - < Я ) ,
Г л а в а 2
Для тонкой стенки можно прибли женно принять Hi — At, Н%= Ла, Я}‘>= 1 , Я<‘>= 1.
Список литературы
1. Васильев В. В. Меванека конструк ций из композиционные материалов. М.: Машиностроение, 1988. 272 о.
2. Власов В. 3. Избранные труды.
Т.I. М.: Изд. АН СССР, 1962. 628 с.
3.Лехннцкий С. Г. Теория упругости
анизотропного тела. М.: Наука, 1977. 415 о.
КОМПОЗИТНЫЕ БАЛКИ, СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
Композитные балки, стержни и коль ца — элементы, имеющие одну об щую особенность: размеры их попе речного сечения, как правило, значи тельно меньше длины осевой линии. Эта особенность позволяет ввести при расчете этих элементов некоторые до полнительные (см. гипотезы в гл. 1 ) предположения, позволяющие свести задачу к одномерной, т. е. описать напряженно-деформированное состоя ние рассматриваемых элементов си стемой обыкновенных дифференциаль ных уравнений, включающих только одну независимую переменную — осевую координату. В результате ре шения при этом часто удается полу чить аналитические выражения для напряжений и деформаций. Расчету металлических балок, стержней и колец посвящена обширная справоч ная литература [2 1, поэтому в на стоящей главе в основном обсужда ются особенности расчета соответст вующих композитных элементов. Вы вод приведенных ниже результатов представлен в работе [1 ].
2.1. КОМПОЗИТНЫЕ БАЛКИ
Композиты широко применяются для изготовления балочных элементов кон струкций различного назначения, а высокомодульные композиты на основе углеродных и борных волокон ус пешно используются для усиления ме таллических балок. Конструктивно они представляют собой, как правило, слоистую систему (рис. 2 .1 ), включаю щую в общем случае слои композита, металла и податливого на сдвиг заполнителя из сот, пенопласта
Уравнения (1.19), (1.21), (1.26)— (1.28) (см. гл. 1 , ч. 2 ) принимают в рас сматриваемом случае следующий вид (см. pHG. 2.1):
уравнения равновесия
N' = 0; М' = Q; Q' + р = 0 , (2.1)
где р = pbf — qbk\ bf, bk — ширина соответственно нижней и верхней пол ки;
Ряс. 2.1. Слоистая балка
соотношения упругости для осевой силы N , изгибающего момента М и поперечной силы Q
N = Ви'; М = D0';
Q = К (0 + о% |
(2.2) |
где и (х) и 0 (х) — осевое смещение и угол поворота сечения балки; v (х) — прогиб; штрих обозначает производ ную по х. Осевая В , изгибная D жесткости и координата нейтральной оси е балки определяются равенствами
В == Igj D == /д — в/д_;
в = 7i//0, |
(2.3) |
где для слоистой балки (см. рис. 2 . 1 )
ь
/п = 1 ЬЕхуПdy =
о
|
(2.4) |
Здесь |
п = 0 , 1, 2 ; Ех — осевой мо |
дуль |
упругости. Сдвиговая жесткость |
Общее решение системы (2.1), (2.2) может быть записано в форме
N (х) = N0;
Q (*) = Qo — Qp — QR ;
Д1 |
(*) = Л1 , + й * - |
||
|
- М р - |
MR i |
(2.6) |
и (х) = «о + |
х\ |
||
0 (*) = |
во + |
х + |
- j g х* — |
|
— 0 р — 0 д; |
|
|
V (х) = v0 |
+ -jjr (Qo* — Мр — MR) — |
||
— (во* + |
2 ^ х2 + |
QD ** |
Vp |
Здесь величины с индексом «О» соот ветствуют начальному сечению х = О (рис. 2.2) Функции с нижним индек сом €ръ учитывают распределенную нагруэку р (х) и имеют вид
X X X
Ср = J pdx; Мр = J dx | pdx;
О |
0 0 |
х |
х х |
|
Функции |
с нижним индексом «/?» |
где Gxy — модуль сдвига. |
учитывают |
сосредоточенные воздей- |
No |
р М |
j Rm |
|
т ш |
г |
\ |
|
|
|
X |
Y N |
Рис. |
2.2. Схема нагружения |
балки |
ствия (см. рис. 2 .2 ) и записываются следующим образом:
Q * = S Q£>; л*л = £
т=1 |
т = \ |
е ^ ; |
»* = £ " Г - |
т= 1 |
/п=э1 |
|
(2.7) |
Здесь п —- число сосредоточенных сил
Rm и
при Хт < X
Qjr* = 0 ; М^т) = 0; 0<?т >= О;
= 0 ,
при х ^ хт
<&ж) = * т ;
= % - ( * - *т)2; 4 т , =
~ ап |
^ т )9- |
Начальные значения сил, переме щений, момента и угла поворота на ходятся из граничных условий для концов балки. Имеют место следующие варианты граничных условий:
жесткое _ закрепление (заделка, рис. 2.3, а)
и = 0 ; о = 0 ; 0 = 0 ,
свободный край
N = 0; Q = 0; М = 0,
нагруженный край (рис. 2.3, б)
N = Г; Q = R; М = Я,
неподвижная шарнирная опора (рис. 2.3, в)
и = 0; о = 0 ; Л1 = 0,
свободное опирание (рис. 2.3, г)
N = 0 ; о = 0 ; Л1 = 0 .
По найденным силовым W, Q, М и кинематическим и, о, 0 переменным может быть определено распределение напряжений и перемещений по высоте
сечения. Продольные |
нормальные на |
||
пряжения |
|
|
|
ох = Ех (у) ( - J - |
+ |
- S - » )» (2'8) |
|
где $ = у — е\ |
0 < |
^ < Л. Касатель |
|
ные напряжения |
|
|
у |
|
|
|
|
'Ьеу — т |
т |
|
|
Рис. 2.8. Граничные условия:
а — жесткое закрепление (заделка); б —
нагружение аилами и моментом; |
в — не |
подвижное шарнирное опнранне; |
в — сво |
бодное опиранне |
|
Разрушение слоистых балок при изгибе часто сопровождается их рас слоением. Поэтому межслоевые каса тельные напряжения, действующие по плоскости контакта слоев с номерами
i и I + |
1 , т. е. при у |
= tt |
(см. рис. 2 . 1), |
||||
|
и -D ____ |
|
Q |
1 |
pU)h |
/4 _ |
|
%*у |
|
^ |
|||||
|
|
2btD JU ^ X |
|
||||
|
|
|
|
|
/ = |
1 |
|
|
|
- О -i) |
(0 |
+ |
0 - 1 ~ 2 б ). |
(2.9) |
|
Трансверсальные |
нормальные |
напря |
|||||
жения |
(см. рис. 2 . 1 ) |
|
|
||||
ov |
|
1 |
|
|
|
ЕяЬд dg + |
|
|
Ь(У) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
о |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Pbi |
Р |
Exbg dg — |
|
b(y)D |
|||
|
FJ |
||
|
|
' о |
|
|
|
Pb1 |
|
|
|
Ь{У) • |
На границе контакта слоев I и I + 1
( I
М . Ж ) |
Р- |
|
b{D |
/ = 1
- о - . ) [ 4 - (< < + '/-.) - • ] -
/ = 1
Продольные перемещения распреде ляются по высоте сечения по линей ному закону
и* (*» 0 ) = и (х) + у8 (х).
Вариация полной энергии (функцио нала Лагранжа) имеет вид
бп = J [N 6 и ' + М 60' +
+ Q6 ( 0 + о*) — р би] dx.
Пример расчета. Рассмотрим дву тавровую балку из алюминиевого сплава, усиленную сверху накладкой из боралюминия (рис. 2.4). Геометри
ческие |
параметры |
балки: |
I |
= |
ЮЛ, |
|
b = 0,5Л, б = |
0,05Л, Л = |
0,1 |
м; |
на |
||
грузка |
(см. |
рис. |
2 . 1 ) р = —цЬ |
= |
= —30 кН/м; характеристики материа лов: модули упругости и сдвига и пре
дел текучести |
алюминиевого |
сплава |
соответственно |
равны (ГПа) |
70; 27,7 |
и 0,26, модули |
упругости и |
сдвига |
и пределы прочности при сжатии и сдвиге (ГПа) однонаправленного бор алюминия — 255 и 63; 2 и 0,084.
По формулам (2.3)—(2.5) находим характеристики сечения, для которого
(см. рис. |
2 . 1 |
и |
2 .4) |
k = |
4 : |
U = 0 ; |
tt = |
0,05Л; |
t%= |
0,9Л; |
|
t9 = |
0,95Л; U = h |
Я
b
Рис. Я.4. Свободно опертая двутавровая балка
И
/.n-f2
/„ - - J q r p [0,5-70-0,05n+ 1 +
+ 0,05-70 (0,9n + 1 — 0,05n+I) +
+- 0,5-70 (0,95n + 1 — 0,9n+1) +
+0,5-230(1 — 0,95n+1)].
Врезультате
/„ = 12,85fta; lt = 9,29ft*;
/„ = 8,41ft*; e = 0,72ft;
В = 12,85-10"* ГПа-ма;
D = 1,69-10"* ГПа-м*;
,, |
Л2 ( Q’ 0 5 |
I |
Q>8 |
I |
A “ |
V 0,5-27,7 |
^ 0,05-27,7 |
|
|
|
0,05 |
0,05 |
\ - l _ |
|
+ |
0,5-27,7 |
0,5-63 |
) |
|
=l,6.10~a ГПа-ма.
Вкруглых скобках последней фор мулы существенным является только второе слагаемое, т. е. при вычислении сдвиговой податливоти сечения можно
учитывать |
только |
стенку |
двутавра. |
||
В соответствии с решением (2.6), |
|||||
принимая |
(см. |
рис. |
2.4) |
N0 = 0, |
|
УИГ0 = 0 , |
о0 = |
0 |
и |
закрепляя балку |
от продольного смещения, т. е. пола гая щ = 0 , получим
N = 0; Q = Qo — Рх*
M = Q ex — p - £ - ; « = 0 ;
|
Таким |
образом |
|
запас |
прочности |
||||
|
(по пределу текучести) по нормальным |
||||||||
|
напряжениям |
в |
металле |
составляет |
|||||
«о |
1,18. |
|
В |
слое |
боралюминия |
макси |
|||
мальные сжимающие напряжения име |
|||||||||
|
ют |
место, |
в |
точке |
х = |
1/2, |
у = h, |
||
|
т. е. |
ох = —0,31 |
ГПа, запас |
проч |
|||||
|
ности составляет 6,45. Найдем также |
||||||||
Рис. 2.6. Профиль, усиленный композит |
касательные |
напряжения, |
действую |
||||||
щие |
на границе |
раздела |
металла и |
||||||
ными жгутами |
боралюминия |
(при |
у = t3). По фор |
||||||
|
муле (2.9) |
имеем |
|
|
|
|
|||
|
т = |
- |
|
[70-0,5.0,05 (0,05 - |
Начальные значения Q0 и 0О на ходятся из граничных условий на конце х = I — v (/) = О, М (0 = 0. Окон чательно получим
Q = P { ^ 2 — *); м = -£-(/ — *)х;
v = "2 Af"
+ W (/8- 2/xa + ^ -
Максимальный прогиб
|
|
( |
~ |
т |
) - |
|
|
5Pi* |
( |
|
|
|
|
|
384D |
V, + |
w |
w |
) - |
|
|
5Pi* |
1 |
|
|
|
|
~ |
384D |
\ |
|
|
|
|
При htl |
= 0,1 |
поправка, |
связанная |
с учетом поперечного сдвига, состав ляет около 10%. При р = —30 кН/м получим vm = —2,5-10" 3 м.
Найдем напряжения. Максимальные нормальные напряжения в соответ ствии о формулой (2 .8 ) в металличе ской части балки реализуются на ее нижней поверхности (у = 0 ), в сред нем сечении (х = 1/2)
Ех )м ( р - е ) = 0.22 ГПа.
—1,44)+ 70-0,85-0,05 (0,9— 1,44) +
+70-0,5-0,05 (0,95— 1,44)] =
= —0,0087 ГПа.
Соответствующий запас прочности со ставляет 9,65.
Для сравнения рассмотрим анало гичную двутавровую металлическую балку с высотой сечения Л. В этом случае D — 1,00Л4, е = Ы2 и макси мальные нормальные напряжения со ставляют 0,26 ГПа, т. е. балка на ходится в предельном состоянии. Ее максимальный прогиб vm = 4,14 X X 10“ 3 м, т. е. он в 1,63 раза превы шает прогиб балки о композитной накладкой.
Композиты на основе жестких воло кон иногда используются в виде жгу тов, усиливающих металлический про филь (рис. 2.5). В этом случае фор мула (2.4) обобщается следующим об разом:
/ = 1
+ |
2 E f r f . |
|
/~ 1 |
Здесь т — |
число, жгутов; Ej, Fj, |
8j — соответственно модуль упрзпгости, площадь поперечного сечения и коор дината /-го жгута (см. рис. 2.5).
Рассмотрим устойчивость слоистых стержней при осевом сжатии (рис. 2 .6). Линеаризованное уравнение устой чивости стержня имеет вид
t,lv + A V = 0 . |
(2. 10) |
где
Я» = D ( 1^ - ( е д е с ь X = ■ £ ) .
Решение уравнения (2.10), а также выражения для изгибающего момента, поперечной силы и угла поворота сечения записываются следующим образом:
v = Сгх + С2 +
+ Са sin kx + С4 cos kx\
M = Dk2 (\ — A,)(C8 sin kx +
y,v i |
|
Т |
т |
е 1 |
X |
Рис. 2.6. Слоистый стержень, сжатый в осевом направлении
с = 0,25 и для жестко закрепленного стержня (рис. 2.7, в) с = 4.
Рассмотрим колебания слоистых ба лок. Уравнения динамики имеют вид
|
+ C4 |
cos kx); |
(2.H) |
||
Q = Dk* (1 — X) (Ca cos kx — |
|||||
|
— C4 sin kx)\ |
|
|||
9 = k |
& (1 — X) - |
1J (C,cos fee— |
|||
|
— C4 sin kx) — Ci. |
|
|||
Решения |
(2 . 1 1 ) |
должны |
удовлетво |
||
рять четырем |
однородным |
условиям |
|||
на концах |
х = |
0 |
и |
х — I |
(см. рис. |
2.6). В результате получается однород ная система четырех линейных ал гебраических уравнений, которая об ладает ненулевым решением (нулевое решение Сх = С2 = С3 = С4 = 0 со ответствует v — 0 , т. е. прямолинейной форме равновесия стержня), если ее
определитель равен нулю. Из этого
условия |
находится |
параметр |
k , а |
|||
затем сила |
7 \ |
наименьшее |
значение |
|||
которой |
является критическим. |
кри |
||||
Окончательное выражение для |
||||||
тической силы |
имеет следующий вид: |
|||||
|
Т „ = |
Н - (* У * ) |
|
(2. 12) |
||
|
|
|
|
|
||
где Тэ |
= |
cn*D/P |
— критическая |
|||
нагрузка, |
определяемая |
формулой |
Эйлера и не учитывающая деформацию поперечного сдвига (Тк = Тэ при К-+аа). Для шарнирно опертого
стержня (рис. 2.7, а), как |
известно, |
с = 1, для консольного (рис. |
2.7, 6)— |
Здесь В, D, К — жесткости, определя емые равенствами (2.3)—(2.5); Вр, Ср, Dp — аналогичные инерционные ха рактеристики, причем
Bp = J Q; |
Ср = J о (е |
вр)\ вр = |
|
= |
J i/J о\ |
Dp — J 2 |
2е/ 1 -J- e^Jо |
|
|
|
(2.14) |
Г |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
а) |
|
|
|
L |
|
|
|
Ю |
|
Т |
У/Л |
|
£ 2 |
|
|
|
F73 |
Ю
Рис. 2.7. Формы потери устойчивости сво бодно опертого (л), консольного (б) и жестко закрепленного по концам (а) стержня
и для вдоистой балки |
|
|
нии у = |
Л/ 2 (при |
этом е = |
ер = |
Л/2 ). |
|||||||||
|
h |
|
|
|
|
|
В общем случае о необходимости учета |
|||||||||
Jn = |
J bpyn dy = |
B _|_ |
2 |
biPl x |
связанности форм свободных колебаний |
|||||||||||
можно |
ориентировочно |
судить, |
срав |
|||||||||||||
o |
|
|
|
f=l |
|
нивая |
параметр |
Яс = я 2т2 |
(е — |
|||||||
|
x (<?+*-<й/), |
|
— ер)2/Р (т — номер формы колеба |
|||||||||||||
|
|
ний, I — длина балки) с единицей. |
||||||||||||||
где n = |
0 , 1 , 2 ; р/ — плотность мате |
Для |
балки, показанной |
на |
рис. 2.4, |
|||||||||||
А»с = |
0 ,0 0 2т а. |
считать, |
что Ср |
= 0, |
||||||||||||
риала i-го слоя. Уравнения (2.13) |
Если |
можно |
||||||||||||||
могут быть сведены к одному: |
|
уравнение изгибных |
|
колебаний |
сло |
|||||||||||
B dx*- S - - [ B»+ V > ( T |
+ X ) ] X |
истой балки принимает вид |
|
|
||||||||||||
|
|
(о |
1 |
Вр° ) |
1 |
d*v |
|
|||||||||
|
|
|
|
BID |
|
|
D |
дх* |
|
|||||||
X |
d*v |
|
[ - 3 |
Ср |
|
|
Г р |
1 |
К |
) |
|
|
||||
дх* дР |
|
В |
|
|
|
ВрРР |
д*° |
. |
о |
d*V |
|
|||||
г |
L |
в |
|
|
|
|
||||||||||
|
ВК |
|
|
+ |
к |
|
|
|
в р Ир ~ |
|
||||||
+ ВР°е ( 4 “ + |
|
х ) ] |
дх* дР + |
|
дР |
1 |
|
|||||||||
|
= Р~- Н |
D |
|
|
|
D |
др |
|
||||||||
|
Во |
|
|
|
d*v |
, |
dx2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
и Р |
|
+ |
|
|
я р |
а*» |
р dx2dt2 |
В |
dt* |
||
D |
d*p |
|
|
BpD\ |
К |
dx* |
|
ЭР + |
в j х |
Х дх2 дР |
ВК |
(BPDP Ср) х |
||
|
д*р |
д2р |
Вр |
д*р |
|
dt* |
dx2 |
В |
dt2 |
Входящий сюда коэффициент Ср учи |
||||
тывает |
связанный |
характер продоль |
ных и изгибных колебаний. Эти формы колебаний разделяются, если Ср = 0 или е = ер. В общем случае е ф ер, так как координата нейтральной оси балки е зависит от распределения жесткости по сечению, а соответству ющая инерционная характеристика ер— от распределения плотности мате риала. В частности, для балки, сечение которой показано на рис. 2.4, при
одинаковых |
плотностях |
материалов |
|
слоев |
е = 0,72Л, ер = 0,58Л. Условие |
||
е = ер |
строго |
выполняется |
для одно |
родных балок, при этом
и для балок, структура которых сим метрична относительно средней ли
Заметим, что аналогичную форму урав нение изгибных колебаний имеет для балки с нерастяжимой нейтральной осью, т. е. при В —*■оо.
Коэффициент Dp учитывает инерцию поворота сечения. Влияние этого эф фекта на частоту собственных колеба ний можно ориентировочно оценить, сравнивая параметр = яРтЮ^РВр с единицей. Для балки, показанной на
рис. 2.4, |
= 0,017т2. |
Если считать, что Ср = 0 и Dp = О, т. е. не учитывать влияние продольных колебаний на изгибные и инерцию поворота сечения, уравнение изгибных колебаний записывается в форме
|
BpD |
|
|
|
|
К |
dx2 dt2 ^ |
|
|
д*у |
|
D |
&р |
|
+ Вo ~ W |
= Р |
' К |
dx2 • |
|
Коэффициент, |
содержащий |
вели |
||
чину /С, учитывает |
податливость |
сло |
истой балки при поперечном сдвиге. О том, насколько существенным яв ляется влияние этой податливости на частоты свободных колебаний, можно
ориентировочно |
судить, сравнивая |
|
параметр |
= |
a 2m2D/KP с единицей. |
Для балки, показанной на рис. 2.4, А* = 0,104ma.
Для длинных балок (llh > 50) при анализе первых форм колебаний при веденные выше эффекты можно не