- •Введение
- •Дифференцирование векторных величин
- •1. Кинематика поступательного
- •1.1. Система отсчета. Путь. Вектор перемещения
- •1.2. Скорость. Ускорение при криволинейном движении
- •1.3. Нормальное, тангенциальное и полное ускорения
- •1.4. Движение точки по окружности. Угловая скорость. Угловое ускорение
- •2. Динамика поступательного движения
- •2.1. Законы Ньютона
- •2.2. Силы в механике
- •2.2.1. Сила тяжести
- •2.2.2. Упругие силы
- •2.2.3. Сила трения
- •2.3. Внешние и внутренние силы. Закон сохранения импульса
- •3. Работа и энергия
- •3.1. Работа силы и ее выражение через криволинейный интеграл
- •3.2. Кинетическая энергия механической системы и её связь с работой
- •3.3. Потенциальная энергия материальной точки во внешнем силовом поле и ее связь с силой, действующей на материальную точку
- •3.4. Потенциальная энергия системы взаимодействия. Связь кинетической энергии системы с работой внутренних и внешних сил
- •3.5. Закон сохранения механической энергии. Закон сохранения и превращения энергии как проявление неуничтожимости материи и ее движения
- •3.6. Удар абсолютно упругих и неупругих тел
- •4. Динамика вращательного движения
- •4.1. Момент силы и момент импульса
- •4.2. Уравнение моментов
- •4.3. Движение центра тяжести твердого тела
- •4.4. Момент инерции тела относительно оси вращения
- •4.5. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Закон сохранения момента импульса
- •4.6. Кинетическая энергия твердого тела. Работа внешних сил при вращении твердого тела
- •4.7. Кинетическая энергия при плоском движении твердого тела
- •5. Элементы специальной теории относительности
- •5.1. Преобразования Галилея. Механический принцип относительности
- •5.2. Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца
- •5.3. Следствия из преобразований Лоренца
- •5.3.1. Одновременность событий в разных системах отсчета
- •5.3.2. Длина тел в разных системах отсчета
- •5.3.3. Длительность событий в разных системах отсчета
- •5.4. Пространственно-временной интервал
- •5.5. Релятивистская кинематика. Релятивистский закон сложения скоростей
- •5.6. Релятивистская динамика
- •6. Механические колебания и волны
- •6.1. Понятия о колебательных процессах. Гармонические колебания. Амплитуда. Частота. Фаза колебаний
- •6.2. Свободные гармонические колебания
- •6.2.1. Математический маятник
- •6.2.2. Пружинный маятник
- •6.2.3. Физический маятник
- •6.2.4. Скорость и ускорение точки, колеблющейся по гармоническому закону
- •6.2.5. Энергия гармонических колебаний
- •6.3. Сложение колебаний
- •6.3.1. Сложение колебаний одного направления и одинаковой частоты
- •6.3.2. Сложение двух гармонических колебаний одного направления, но разного периода
- •6.3.3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •6.4. Затухающие колебания
- •6.5. Вынужденные колебания. Резонанс
- •6.6. Волновые процессы
- •6.6.1. Плоская синусоидальная волна. Фазовая скорость. Длина волны. Групповая скорость
- •6.6.2. Скорость распространения волн в упругой среде
- •6.6.3. Поток энергии в волновых процессах
- •6.6.4. Принцип Гюйгенса-Френеля. Интерференция волн
- •6.6.5. Отражение волн. Стоячие волны
- •7. Молекулярно-кинетическая теория
- •7.1. Статистический метод исследования. Термодинамический метод исследования. Термодинамические параметры. Равновесное состояние и процессы их изображения на термодинамических диаграммах
- •7.2. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов
- •7.3. Средняя кинетическая энергия молекул. Молекулярно-кинетическое толкование абсолютной температуры. Связь основного уравнения мкт с уравнением Менделеева-Клайперона
- •7.4. Средняя скорость молекул. Поток молекул
- •7.5. Распределение молекул по скоростям. Закон Максвелла
- •7.6. Барометрическая формула.
- •7.7. Больцмановское распределение частиц в потенциальном поле. Закон Максвелла-Больцмана
- •7.8. Экспериментальный метод определения числа Авогадро
- •7.9. Эффективный диаметр молекулы. Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекулы
- •7.10. Явления переноса в газах
- •7.10.1. Вязкость газов (внутреннее трение)
- •7.10.2. Закон Стокса
- •7.10.3. Теплопроводность газов
- •7.10.4. Диффузия газов
- •8. Термодинамика
- •8.1. Внутренняя энергия системы. Работа. Количество теплоты. Первое начало термодинамики
- •8.2. Степени свободы молекул. Распределение энергии по степеням свободы
- •8.3. Молекулярно-кинетическая теория теплоемкости газа
- •8.4.1. Изохорный процесс
- •8.4.2. Изотермический процесс
- •8.4.3. Изобарный процесс
- •8.5. Адиабатический процесс
- •8.7. Цикл Карно
- •8.8. Принцип действия тепловой и холодильной машин
- •8.9. Второе начало термодинамики
- •8.10. Приведенное количество тепла. Неравенство Клаузиуса
- •8.12. Статистический смысл второго начала термодинамики. Связь энтропии с термодинамической вероятностью
- •9. Агрегатные состояния и фазовый переход
- •9.1. Реальные газы. Уравнение Ван-дер-Ваальса
- •9.2. Экспериментальные изотермы. Критические состояния
- •9.3. Внутренняя энергия реального газа. Эффект
- •Библиографический список
- •Оглавление
7.8. Экспериментальный метод определения числа Авогадро
В газе, находящемся в поле силы тяжести, число молекул в единице объема убывает с высотой. Если число молекул в единице объема на нулевой высоте равно n0, то на высоте h оно равно
, (7.33)
где m - масса молекулы, g - ускорение силы тяжести, k - постоянная Больцмана, Т – температура по шкале Кельвина.
Эта формула была применена Перреном для броуновских частиц и использована для определения числа Авогадро.
Взвешенные в жидкости, очень мелкие твердые частицы, находящиеся в состоянии непрерывного беспорядочного движения, называются броуновскими частицами. Принимая участие в тепловом движении, эти частицы должны вести себя подобно гигантским молекулам и для них должны выполняться закономерности кинетической теории, в частности, закон (7.33).
Во время опыта по определению числа Авогадро была взята стеклянная трубка с эмульсией глубиной 0,1 мм и помещена под микроскоп. Микроскоп имел столь малую глубину поля зрения, что в него были видны только частицы, находящиеся в горизонтальном слое толщиной примерно один микрон. Перемещая микроскоп в вертикальном направлении, можно было исследовать распределение броуновских частиц по высоте.
Обозначим высоту слоя, видимого в микроскоп над дном кюветы буквой h. Число частиц, попадающих в поле зрения микроскопа, определяется формулой
N = n(h)sh,
где n(h) – число броуновских частиц в единице объема на высоте h, s - площадь, h - глубина поля зрения микроскопа.
Согласно формулы (7.33), можно записать для броуновских частиц, что
,
где mg - сила тяжести броуновской частицы в эмульсии, взятая с учетом закона Архимеда.
Запишем выражение числа частиц h для двух разных высот h1 и h2 и получим
,
.
Возьмем отношение этих двух величин и, прологарифмировав данное выражение, получим
.
Измеряя mg, Т, (h2-h1), N1 и N2, можно определить постоянную Больцмана:
.
Число Авогадро связано с k соотношением , откуда , где R - универсальная газовая постоянная, т.е.
.
Исходя из данных этого эксперимента, Перрен получил значение NA в пределах от 6,51026 до 7,21026 кмоль-1. Определенное другими, более точными методами, значение NA = 6,021026 кмоль-1.
Таким образом, значение, полученное Перреном, находится в хорошем согласии со значениями, полученными другими методами, что доказывает применимость к броуновским частицам закона распределения Больцмана.
7.9. Эффективный диаметр молекулы. Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекулы
Молекулы газа, находясь в тепловом движении, непрерывно сталкиваются друг с другом. Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d (рис.7.11). Путь, который проходит молекула за время между двумя последовательными соударениями, называется длиной свободного пробега .
d
Рис.7.11 |
Длина свободного пробега случайная величина. Поэтому имеет смысл ввести понятие средней арифметической длины свободного пробега. Средняя арифметическая величина сво-бодных пробегов называется сре- дней длиной свободного про-бега, т.е. |
,
где z - число соударений.
Число свободных пробегов за какой-то промежуток времени совпадает с числом соударений молекулы за тоже время. Если за 1 с молекула испытала z соударений, то длина ее траектории, численно равная средней скорости ее движения, будет состоять из z свободных пробегов.
Отношение средней скорости движения молекулы к средней длине свободного пробега определяет среднее число соударений.
.
Для вычисления средней длины свободного пробега молекулы предположим, что все молекулы газа, за исключением одной, неподвижны и распределены равномерно по всему объему. Будем считать, что скорость движущейся молекулы совпадает со средней скоростью молекулярного движения идеального газа. Двигаясь, молекула соударяется с другими всякий раз, когда она приближается к ним настолько, что расстояние между их центрами делается равным эффективному диаметру молекулы (рис.7.12).
Опишем вокруг движущейся молекулы сферу радиусом, равным эффективному диаметру молекулы, и назовем ее сферой ограждения молекулы. Всякий раз, когда движущаяся молекула сближается с какой-либо другой молекулой настолько, что центр последней находится на поверхности сферы ограждения, происходит соударение молекул. При движении молекулы сфера ограждения вырезает в прост-ранстве цилиндр с основанием d2. |
d
Рис.7.12
|
Если молекула движется в течение 1 с, то высота этого цилиндра
равна средней скорости молекулы , а объем, вырезанный сферой ограждения, составляет
.
Очевидно, что соударения будут происходить всякий раз, когда центр встречной молекулы будет находиться вблизи цилиндра, вырезанного сферой ограждения. Следовательно, для определения среднего числа соударений достаточно подсчитать число молекул газа, центры которых находятся вблизи указанного цилиндра. Это число равно произведению объема цилиндра V на количество молекул газа в единице объема n0.
Таким образом, среднее число соударений молекулы за одну секунду равно
.
При получении этого соотношения все молекулы газа, кроме одной, считались неподвижными.
Более строгая теория показывает, что при учете движения всех молекул и при условии, что скорости молекулярного движения распределены согласно закону Максвелла, среднее число соударений молекулы за 1 с будет несколько больше и может быть подсчитано по уравнению
.
Зная среднее число соударений молекулы, можно определить среднюю длину пробега молекулы:
, (7.34)
где n0 - число молекул газа в единице объема.
Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории
, (7.35)
подставив (7.35) в (7.34), получим
.
Таким образом, при постоянной температуре средний свободный пробег молекулы обратно пропорционален давлению. При повышении температуры средняя длина пробега несколько растет. Зависимость от Т дается формулой Сёзерленда
,
где С – характерная для каждого газа постоянная величина, имеющая размерность температуры и носящая название постоянной Сёзерленда, - средняя длина свободного пробега при Т .