668

−упругие деформации и явление упрочнения грунта не рассматриваются, и их влиянием пренебрегают;

−свойства ползучести, последействия также не рассматриваются.

Такое количество допущений приводит к существенной идеализации поведения реального грунта в предельном состоянии. Однако результаты решений, получаемых с помощью модели, в основе которой лежат все эти гипотезы, оказываются вполне приемлемыми для практических целей, что, конечно же, не означает отсутствие необходимости дальнейшего развития ТПРГ и постепенного, последовательного отказа от перечисленных упрощений. Некоторые обобщения будут сделаны в настоящем пособии.

1.1.3. Уравнения равновесия плоской задачи

Перейдем к определяющим уравнениям плоской задачи ТПРГ, первыми из которых будут уравнения, описывающие равновесие грунтового массива. Как уже говорилось, равновесие основания − одно из двух главных требований при построении решений ТПРГ. Чтобы основание находилось в равновесии, достаточно потребовать соблюдения равновесия в каждой точке массива.

Рассмотрим схему напряженного состояния грунта в точке в декартовой системе координат xOz (рис. 1.2). Следует иметь в виду, что в отличие, например, от «Сопротивления материалов» в

«Механике грунтов» принято считать сжимающие напряжения положительными.

13

O	x	dx
		σ z
z		τ xz
	τ xz	X	σ x	+	∂σ x		dx
					∂x
dz
	σx
		Z	τxz +	∂τxz		dx
				∂x
		τxz +	∂τxz dz
	σz +	∂σz dz	∂z
		∂z

Рис. 1.2. Схема напряженного состояния в точке

Размеры выделенного из тела бесконечно малого элемента грунта составляют dx и dz вдоль соответствующих осей. Размер элемента в направлении, перпендикулярном рассматриваемой плоскости, согласно сказанному выше примем равным единице.

В силу малости размеров напряжения на противоположных гранях элемента будут отличаться на бесконечно малые величины. Если на ближних к координатным плоскостям гранях элемента действуют напряжения σx, σz, τxz = τzx (в силу парности касательных напряжений), то на противоположных гранях они изменятся на величину своих частных дифференциалов по соответствующим осям:

σ

+

∂σx dx, σ

+

∂σz

dz , τ

+

∂τxz dx ,

τ +

∂τxz dz ,

x

∂x

z

∂z

xz

∂x

xz

∂z

где

∂σx

dx , ∂σz dz ,

∂τxz dx ,

∂τxz dz

− бесконечно малые прира-

∂x

∂z

∂x

∂z

щения соответствующих функций, которые они получают вдоль координатных осей.

При составлении уравнений равновесия необходимо перейти от напряжений к силам, т.е. последовательно умножить напряжения, действующие по элементарным граням рассматриваемого элемента на величины площадей соответствующих граней, равных dx 1 и dz 1 (напомним, что в плоской задаче рассматривает-

14

ся участок основания длиной 1 м в направлении, перпендикулярном плоскости xOz – см. п 1.1.1).

Кроме усилий, приложенных к граням элемента, учтем еще и объемные силы, т.е. силы, распределенные по объему тела [7]. К ним относится, например, собственный вес. Если обозначить проекции объемной силы на координатные оси через X и Z соответственно (см. рис. 1.2), то проекции силы, приходящейся на данный объем, определятся как X dx dz 1 и Z dx dz 1.

Теперь запишем три уравнения равновесия плоской задачи − суммы проекций сил на координатные оси и уравнение моментов:

Σ X = 0, Σ Z = 0, Σ M = 0.

Уравнение Σ M = 0, как известно из курса «Сопротивления материалов», приводит к теореме о взаимности (парности) ка-

сательных напряжений [7]

τxz = τzx.

Распишем первые два уравнения:

Σ X = 0:

σx

+

∂σ

τxz

+

∂τ

;

σxdz −

x

dx dz + τxz dx −

xz dz dx + Xdxdz = 0

∂x

∂z

Σ Z = 0:

σz

+

∂σ

τxz

+

∂τ

σz dx −

z

dz dx + τxz dz −

xz dx dz + Zdxdz = 0.

∂z

∂x

После раскрытия скобок

σ dz − σ dz −

∂σx dxdz + τ

dx − τ

dx −

∂τxz

dzdx + Xdxdz = 0,

∂z

x

x

∂x

xz

xz

σ dx − σ dx −

∂σz dzdx + τ

dz − τ

dz −

∂τxz dxdz + Zdxdz = 0,

z

z

∂z

xz

xz

∂x

приведения подобных слагаемых и сокращения на общий множитель dxdz получим искомые уравнения равновесия:

∂σx +	∂τxz	= X ,	∂τxz	+	∂σz	= Z .	(1.1)
			∂x
∂x	∂z				∂z

15

В частном случае, когда из объемных сил действует только собственный вес γ, направленный вертикально вниз, т.е. X = 0 и Z = γ, уравнения равновесия примут вид:

∂σx +	∂τxz	= 0,	∂τxz	+	∂σz	= γ .	(1.2)
			∂x
∂x	∂z				∂z

Уравнения (1.1) и (1.2) называются дифференциальными уравнениями равновесия, или уравнениями Навье. Их физический смысл вполне определен их названием.

В два полученных уравнения равновесия входят три неизвестные функции σx, σz, τxz координат x и z. Поскольку число неизвестных больше числа уравнений, то, очевидно, одних только уравнений равновесия недостаточно, чтобы однозначно определять поле напряжений в грунтовой среде. Для этого к ним необходимо присоединить еще уравнения, чтобы получить замкнутую систему уравнений.

Заметим, что если уравнения (1.1) или (1.2) обеспечивают статическое равновесие, никак не обозначая механические свойства грунта, то замыкающее систему уравнение, как будет показано ниже, подразумевает определенную классификацию свойств среды, в частности, прочностных ее свойств. Такое уравнение и будет нами рассмотрено в следующем параграфе.

§ 1.2. Условие прочности грунтов

Прежде чем переходить непосредственно к исследованию прочности грунтов, необходимо сказать об общих методах изучения прочности и ввести ряд понятий, справедливых для различных материалов, в том числе и грунтов.

На сегодняшний день известно огромное количество экспериментальных и теоретических работ по проблемам прочности. Эти исследования составляют математическую теорию пластичности, которая в том числе включает вопросы предельного равновесия конструкций, и аппарат которой широко используется в современной постановке и решениях задач ТПРГ. Таким образом, если с точки зрения содержания решаемых вопросов, которые выдвигаются строительной практикой, и основной области применения результатов ТПРГ является неотъемлемой частью инженерной науки «Механика грунтов», то с математиче-

16

ской точки зрения ТПРГ можно считать одним из направлений теории пластичности или, говоря более общо, «Механики сплошной среды».

1.2.1. Основные понятия теории пластичности

Пластичность – свойство твердых тел приобретать остаточные деформации [10]. Понятие пластичности и прочности тесно связаны, потому как потере прочности обычно предшествует пластическое течение. С другой стороны, пластические деформации возникают после превышения напряжениями некоторой величины, характеризующей прочность материала в целом.

Наиболее простым и вместе с тем очень важным опытом, иллюстрирующим общие закономерности поведения твердых тел при пластическом течении, является простое одноосное (σ1 ≠ 0, σ2 = 0, σ3 = 0) растяжение-сжатие образца исследуемого материала. На рис. 1.3, а, б приведены схемы эксперимента, а на рис. 1.3, в показан типичный график получаемой в этом эксперименте зависимости между величинами главного напряжения σ1 и главной относительной деформации ε1.

а)	б)		в)
h '	σ1		σ1
		h '		B		C	D
h	h			A
		h ''
h ''
		σ1	O		E		F	ε 1
		ε 1 =		ε p		ε e
	h = h ' + h ''		h
			h

Рис. 1.3. Схема испытания материалов

вусловиях одноосного растяжения-сжатия:

а− растяжение; б − сжатие; в − диаграмма «напряжение-деформация»

при одноосном испытании

Рассмотрим, как ведет себя материал при таком нагружении. Начальный этап нагружения, которому на графике отвечает уча-

17

сток OA, характеризуется проявлением двух важных свойств: линейной зависимостью напряжения-деформации, описываемой, как известно, законом Гука, и полным восстановлением деформации при разгрузке, т.е. упругостью.

Максимальное напряжение, при котором сохраняется пропорциональная зависимость σ1 = Eε1 (E = const − модуль линейной упругости материала), называется пределом пропорциональности − точка A на графике (см. рис. 1.3, в). Максимальное напряжение, при котором материал еще не обнаруживает остаточные (пластические) деформации, иначе говоря, при разгрузке с которого деформации исчезают полностью, называется пределом упругости, или пределом пластичности, − точка B. Предел пластичности разделяет весь график деформирования образца на упругую и пластическую часть. Пределы пропорциональности и упругости (пластичности) обычно весьма близки, и различием между ними часто пренебрегают [10].

Отрезок BC называется площадкой текучести, а соответствующее ему напряжение − точка B на графике − пределом текучести. Отметим, что такие хорошо выраженные площадки текучести проявляются столь ярко в основном при растяжении некоторых сталей, тем не менее понятие предела текучести играет большую роль при математическом моделировании пластического поведения самых различных сред, в том числе и грунтов.

Площадка текучести характеризуется прежде всего тем, что процесс деформирования идет практически без увеличения внешней нагрузки. За площадкой текучести, начиная с точки C, следует участок упрочнения, на котором вновь наблюдается способность материала сопротивляться внешнему воздействию.

Предположим, что, достигнув некоторого уровня напряженного состояния, например, точки D (см. рис. 1.3, в), мы произвели полную разгрузку образца. Разгрузка при этом будет изображаться отрезком DE, практически параллельным «упругой» линии OA. Очевидно, что полная деформация складывается из двух составляющих − упругой и пластической:

ε1 = εe + εp.

При повторном нагружении будем наблюдать упругое деформирование образца, следуя вверх по траектории разгрузки

18

ED. Лишь выйдя в точку D, материал вновь начнет обнаруживать пластические свойства в полной мере.

Таким образом, после разгрузки при повторном нагружении повышается предел упругости (пластичности). Это явление называется упрочнением. Тела, при пластическом деформировании которых свойством упрочнения можно пренебречь, называются идеально-пластическими. Такое допущение справедливо, например, в случаях, когда большие пластические деформации запрещены граничными условиями или невозможны [21].

Для построения моделей пластических тел реальную зависимость «напряжения-деформации», показанную на рис. 1.3, в, упрощают. На рис. 1.4 показаны четыре наиболее часто используемые идеализированные диаграммы зависимости напряжений от деформаций.

Диаграмма, показанная на рис. 1.4, а, отвечает жесткоидеальнопластической модели материала. Эта модель и будет использована нами в дальнейшем при решении задач ТПРГ. Она подразумевает отсутствие упругой, допредельной стадии деформирования материала и пренебрегает его упрочнением. Вторая диаграмма (рис. 1.4, б) отражает свойства упруго-идеальноплас- тического материала. Графики, приведенные на рис. 1.4, в, г, иллюстрируют соответственно жестко- и упругопластическую мо-

дели с линейным упрочнением.

19

а)	σ1	б)	σ1
	A		A	D

R		R
O	ε 1	O	E	ε 1
в) σ1		г)	σ1	D
A			A

R		R
O	ε 1	O	E	ε 1

Рис. 1.4. Идеализированные диаграммы одноосного растяжения-сжатия пластического тела:

а− жестко-идеальнопластического; б − упруго-идеальнопластического;

в− жесткопластического с упрочнением;

г− упругопластического с упрочнением

Здесь следует сделать очень важное замечание. Дело в том, что грунт обладает упругостью в крайне незначительной степени, т.е. при снятии нагрузки восстанавливает форму лишь на очень небольшую часть. Кроме того, большинство грунтов не может быть испытано по схеме одноосного растяжения-сжатия. Вместе с тем процесс деформирования грунта при различных схемах нагружения удовлетворительно аппроксимируется диаграммами, качественный вид которых мы только что рассмотрели (см. рис. 1.4), а вводимые понятия необходимы для понимания общих закономерностей пластического деформирования твердых тел и могут быть адаптированы для грунтовых сред с учетом особенностей их работы. Это, в частности, означает, что на начальной стадии, имея, по существу, неупругий характер, деформирование грунта тем не менее подчиняется закону Гука, а затем наступает ярко выраженный этап пластического течения, который для грунтов знаменует

20

наступление предельного состояния в соответствии с какой-либо из перечисленных моделей пластического тела (см. рис. 1.4).

В дальнейшем термин упругий применительно к процессу деформирования грунтов будет заменен термином допредельный, что точнее отражает физику явлений, происходящих при нагружении грунтовых оснований.

1.2.2. Понятие об условии прочности

Появление пластических деформаций, как правило, сопровождается характерными изменениями в поведении кривой «напряжения-деформации» − например, переход от упругой части OAВ к пластической части BCD графика на рис. 1.3, в или точка A на рис. 1.4. Следовательно, о наступлении этапа пластического деформирования можно судить по достигнутому уровню напряженного состояния [10]. В рассмотренном выше простейшем случае одноосного растяжения-сжатия условием появления пластических деформаций является равенство

σ1 = R ,

(1.3)

где R − расчетное сопротивление материала одноосному растяжению или сжатию, по существу, прочностная характеристика.

Отсутствие пластических деформаций в большинстве случаев гарантируется выполнением неравенства

σ1 < R.

(1.4)

Для идеализированной зависимости, показанной на рис. 1.4, а и принятой нами в качестве основы для построения модели грунта, условие (1.3), фактически, означает наступление предельного состояния и является условием прочности материала, а неравенство (1.4) означает допредельную его работу − стадию деформирования, которая в рамках жесткопластической модели не рассматривается.

Однако с точки зрения моделирования работы грунтовых оснований одноосное напряженное состояние не имеет самостоятельного значения и служит основой для построения двух- и трехмерных теорий прочности.

21

В случае плоской задачи и пространственного напряженного состояния, когда все три главных напряжения отличны от нуля (σ1 ≠ 0, σ2 ≠ 0, σ3 ≠ 0), выражения (1.3) и (1.4) обобщают в виде некоторой комбинации напряжений, которая называется условием (критерием) пластичности. Условие пластичности записывают в виде функции напряжений так, что равенство

f (σij ) = 0

(1.5)

отвечает наступлению стадии пластического деформирования или предельному состоянию материала, а неравенство

f (σij ) < 0

(1.6)

означает упругое поведение материала и допредельное его состояние.

В формулах (1.5), (1.6) σij − сокращенное обозначение всех шести компонентов напряжений σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx.

Иногда в зависимости от формы записи выделяют отдельно понятия условия пластичности − f (σij ) = C , где C − постоянная

материала (прочностная характеристика), − и функции пластичности − f (σij ) = 0 [21]. В дальнейшем этими различиями будем

пренебрегать.

Для идеально-пластической среды, т.е. когда упрочнением пренебрегают, условие пластичности совпадает с условием текучести. Выражения (1.5), (1.6) также называют условиями прочно-

сти.

Условие пластичности (1.5) можно выразить и в виде функции главных напряжений:

f (σ1,σ2 ,σ3 ) = 0.

(1.7)

По аналогии с (1.6) случаю допредельного напряженного состояния отвечает неравенство

f (σ1,σ2 ,σ3 ) < 0.

(1.8)

В дальнейшем будем активно пользоваться как формой записи (1.5), так и формой записи (1.7).

22