668

Ясно, что производная dx/dz определяет тангенсы углов наклона характеристик двух семейств к оси Oz. Тогда, если введем функцию µ такую, что τσ′ = cos 2µ, то уравнения характеристик примут вид:

dx	= tg(α ± µ).	(3.13)
dz

Отсюда ±µ − угол между направлением σ1 и характеристиками 1-го и 2-го семейства, и, следовательно, уравнения характеристик и линий скольжения, как и в случае линейного закона Кулона, совпадают.

Верхний знак в уравнениях (3.12) и (3.13) отвечает характеристикам (линиям скольжения) 1-го семейства, нижний знак отвечает характеристикам (линиям скольжения) 2-го семейства.

Установим связь искомых функций α и σ вдоль линий скольжения (3.12). Для этого приравняем нулю числитель первого из выражений (3.11):

b1a22 − b2a12 = 0.

Развернув это выражение с учетом (3.7) и (3.10) и проведя необходимые сокращения, получим

−2τ(Z cos2α − τ′z + X sin 2α)(dx)2 −

− 2τ(X cos 2α + τ′x − Z sin 2α)dxdz + +2τsin 2α dσdx + 4τ2dαdx + 2τ(cos2α − τ′σ )dσdz = 0.

Сократим это выражение на 2τ dx:

−(Z cos2α − τ′z + X sin 2α)dx − (X cos 2α + τ′x							− Z sin 2α)dz +
+ sin 2α dσ + 2τdα + (cos 2α − τ′σ )dσ								dz	= 0.
								dx
Подставим сюда уравнение характеристик, переписанное
следующим образом:
	dx	=	τ′σ − cos2α			.	(3.14)
	dz
			sin 2α m 1− τ′ 2
				σ

Нетрудно показать, что это выражение (3.14) тождественно равно уравнениям (3.12).

203

В результате имеем дифференциальную зависимость искомых функций α и σ по характеристикам:

2τdα ± 1− τ′σ2 dσ = (Z cos 2α − τ′z + X sin 2α)dx + + (X cos 2α + τ′x − Z sin 2α)dz

или

		2τ			(Z cos2α − τ′z		+ X sin 2α)dx
dσ ±				dα =					+
	1− τ′ 2				± 1− τ′ 2
		σ					σ

+(X cos 2α + τ′x − Z sin 2α)dz .

±1− τ′σ2

Полученные уравнения совместно с (3.12) или (3.14), по существу, образуют каноническую систему ТПРГ. Однако выполним еще несколько небольших преобразований этих зависимостей, приводя их к виду, более удобному для численного интегрирования. Для этого в первое и второе слагаемые правой части подставим полученные соответственно из (3.12) и (3.14) выражения для cos2α:

cos2α = dxdz (sin2α ± 1− τ′σ2 )− τ′σ , cos2α = τ′σ − (sin2α m 1− τ′σ2 )dxdz .

Выполнив элементарные преобразования, получим

2τ

τ′σ

τ′σ

dσ ±

dα = X dx ±

dz

+ Z dz m

dx

±

2

1− τ′σ

2

2

1− τ′σ

1− τ′σ

±

τ′x

dz m

τ′z

dx.

1− τ′ 2

1− τ′ 2

σ

σ

Итак, каноническая система уравнений статики контину-

ально неоднородной сыпучей среды с нелинейным графиком сдвига имеет вид:

204

dx

sin 2α ±

1− τ′

2

=

σ

= tg(α ± µ),

dz

τ′σ + cos 2α

2τ

τ′σ

dσ ±

dα = X

dx ±

dz

+

(3.15)

2

1

2

1− τ′σ

− τ′σ

τ′σ

τ′x

τ′z

+Z

m

dx

±

dz

m

dx.

dz

2

1− τ′σ

2

2

1− τ′σ

1− τ′σ

В несколько ином виде эти уравнения даны в [40] для условия прочности, записанного как

τ =Φ (σ + H,k1,k2 , ...,kn ),

где H − временное сопротивление всестороннему растяжению (см. рис. 3.1), k1, k2, …, kn − параметры прочности, причем (H, k1,

k2, …, kn) = ƒ(x, z).

Для однородной среды, когда из массовых сил действует только собственный вес грунта, направленный вертикально вниз, т.е. X = 0, Z = γ, каноническая система (3.15) существенно упрощается:

dx

sin 2α ± 1− τ′

2

=

σ

= tg(α ± µ),

dz

τ′σ

+ cos2α

(3.16)

2τ

τ′σ

dσ ±

dα = γ dz m

dx .

2

2

1− τ′σ

1− τ′σ

Нетрудно показать, что при условии прочности Кулона-Мора (3.3) каноническая система (3.16) приводится к виду (1.47).

3.1.4. Численное интегрирование уравнений статики континуально неоднородной сыпучей среды

Приступая к описанию численного метода интегрирования канонической системы уравнений (3.15), необходимо сделать одно важное замечание. Как указывалось в гл. 1 (§ 1.3), определяющие уравнения (1.46) – (1.47) ТПРГ принадлежат к гиперболическому типу. С точки зрения техники построения решений это означает наличие действительных характеристик двух семейств.

205

В случае произвольного условия прочности (3.2) определяющие уравнения ТПРГ, в частности, каноническая система (3.15) может менять свой тип в зависимости от знака подкоренного выражения. Итак, канонические уравнения (3.15) и (3.16) являются

гиперболическими	при		τ′σ		< 1,
параболическими	при		τ′σ		= 1,
эллиптическими	при		τ′σ		> 1.

Таким образом, тип уравнений зависит от вида условия прочности. Аппроксимации реальных графиков сдвига дисперсных (нескальных) грунтов, как правило, приводят к гиперболическим уравнениям.

Принадлежность канонических уравнений (3.15) и (3.16) к гиперболическому типу позволяет использовать методику численного интегрирования по краевым задачам, описанным в § 1.4, и, следовательно, использовать для ряда расчетных схем (несущая способность основания штампов, устойчивость склонов, предельное давление грунта на ограждения) последовательность краевых задач, определенных для линейного закона Кулона (см. гл. 2).

Для широкого круга практически важных задач отличие интегрирования уравнений (3.15) от интегрирования уравнений (1.52) будет состоять лишь в определении параметра σ на границах основания и в конечно-разностных формулах, аналогичных (1.55).

Первая проблема может быть решена итерационным методом. Пусть на границе OA (см. рис. 1.28), где действует внешнее давление интенсивностью ƒn, на основании анализа характера разрушения основания определено третье главное напряжение

σ3 = fn . Тогда на первой итерации принимаем

σ1 = σ3 .

Данное равенство означает гидростатическое напряженное состояние, и, следовательно, в данной точке границы с координатами x и z имеет место неравенство

206

τ − τ(σ, x, z) < 0 или f (σ1,σ3 ) < 0.

На последующих итерациях σ1 увеличивается до тех пор, пока при некотором его значении в данной точке границы с координатами x и z не будет достигнута поверхность текучести:

τ − τ(σ, x, z) = 0 или f (σ1,σ3 ) = 0.

После чего найдем среднее напряжение на границе σ = (σ1 +

+ σ3)/2.

Вторая проблема − это конечно-разностная аппроксимация, которая может быть получена совершенно аналогично тому, как это было сделано для системы (1.52). Приведем сразу окончательный вид уравнений для численного интегрирования по наиболее общей схеме, показанной на рис. 1.20.

Пусть, как и ранее, точка M находится на пересечении двух характеристик 1-го и 2-го семейств, и в ближайших к точке M узлах 1 и 2 конечно-разностной сетки, принадлежащих соответствующим характеристикам, известны все параметры канонической системы уравнений − соответственно x1, z1, α1, σ1 и x2, z2, α2, σ2 (здесь σ1 и σ2 − не главные напряжения!). Определим величины x, z, α, σ в точке M.

Кроме дифференциалов искомых функций в выражения (3.15) входят значения функций α, σ и аргументов x, z, причем величины x, z и σ представлены в неявном виде. Заменяем соответствующие дифференциалы вдоль характеристик 1-го и 2-го семейств конечными разностями, а для величин x, z, α, σ применяем осреднения. Вычисления ведутся с помощью итераций на каждом шаге интегрирования, по следующим рекуррентным ко- нечно-разностным формулам:

1.

%

+

2

%

−

2

t

=

sin 2α1

1− τ′σ1

,

t

=

sin 2α2

1− τ′σ2

,

2

1

τ′σ1 + cos2α% 1

τ′σ2 + cos 2α% 2

τ′

=

∂

τ(x% , z%

,σ%

),

τ′

=

∂

τ(x%

, z%

,σ%

);

2

σ1

∂σ

1

1

1

σ2

∂σ

2

2

2.

z =

x1 − x2 − z1t1 + z2t2

,

x = (z − z1)t1 + x1;

t2 − t1

207

3. a =

2τ1

,

a =

2τ2

,

11

1− τ′2

22

1− τ′2

τσ1

= τ(x1

σ1

τσ2 = τ(x2

σ2

, z1

,σ1),

, z2

,σ2 );

%

%

%

%

%

%

4. p = X[x − x +

τ′σ1

(z − z )]+ Z[z − z −

τ′σ1

(x − x )]+

1

1

1− τ′2

1

1

1− τ′2

1

σ1

σ1

+

τ′x1

(z − z1) −

τ′z1

(x

− x1) ,

1− τ′2

1− τ′2

σ1

σ1

p2

= X[x − x2 −

τ′σ2

(z

− z2 )] + Z[z − z2 +

τ′σ2

(x − x2 )] −

1− τ′2

1− τ′2

σ2

σ2

−

τ′x2

(z − z2 ) +

τ′z2

(x

− x2 ) ;

(3.17)

1− τ′2

1− τ′2

σ2

σ2

τ′

=

∂

τ(x%

, z%

,σ%

),

τ′

=

∂

τ(x%

, z%

,σ%

),

2

x1

∂x

1

1

1

x2

∂x

2

2

τ′

=

∂

τ(x%

, z%

,σ%

),

τ′

=

∂

τ(x%

, z%

,σ%

);

2

z1

∂z

1

1

1

z2

∂z

2

2

5. α = p1 − p2 + σ1 − σ2 + a11α1 + a22α2 ,

a11 + a22

σ= σ1 − a11(α − α1) + p1.

Ввыражениях (3.17) принято: x%1, x%2 , z%1, z%2 ,α%1,α% 2 ,σ%1,σ% 2 − осредненные значения величин x, z, α, σ на малых отрезках линий скольжения 1-го и 2-го семейств.

На первой итерации принимается:

x1	= x1,		x2 = x2 ,				z1 = z1,		z2 = z2 ,
%			%				%		%
α1	= α1		, α2 = α2				, σ1 = σ1		, σ2 = σ2 .
%				%			%			%
На следующих итерациях −
x1	=	x + x1			, x2	=	x + x2	, z1 =			z + z1	, z2	=	z + z2	,
%		2		%			2	%		2		%		2

208

α1 =	α + α1	, α2	=	α + α2	, σ1	=	σ + σ1	, σ2 =	σ + σ2	.
%	2	%		2	%		2	%	2

Конечно-разностные формулы, аналогичные (1.57), (1.59), (1.61), для схем, показанных на рис. 1.21 – 1.24, предлагается вывести самостоятельно.

Здесь же необходимо отметить, что в особой точке вместо замкнутого решения (1.62) приходится численно интегрировать одно из уравнений (3.15) для вырожденной характеристики соответствующего семейства.

3.1.5. Примеры расчета

На рис. 3.3 показана сетка линий скольжения в основании штампа при следующих граничных условиях: ширина штампа b = 1 м, боковая пригрузка q = 12 кПа, удельный вес грунта Z = = 20 кН/м3, X = 0. В качестве условия прочности континуально неоднородной среды была принята функция вида:

	τ = C1 ln(C2σ +1)		C8πx	+ C4		(C5 zC6	+ C7 ),
		C3 cos
			a1 + b + a2

где a1 и a2 − некоторые расстояния, принятые равными в данном примере 0,7 м и 1,4 м соответственно, C1…C8 − параметры проч-

ности грунта: C1 = 2950 кПа; C2 = 0,0002 кПа−1; C3 = −0,25; C4 =

= 0,75; C5 = 0,01 м− C6; C6 = 2; C7 = 0,5; C8 = 2.

Выбор функции такого вида был обусловлен возможностью описать нелинейную зависимость прочности от среднего напряжения, увеличение прочности с глубиной и неравномерное распределение ее по горизонтали.

Решение осуществлялось методом сопряжения областей предельного равновесия [16]. Равнодействующая вертикального давления составила 61,5 кН.

На рис. 3.4 показана правая половина сетки линий скольжения в основании двух штампов при неодинаковой пригрузке между штампами и с наружной стороны. В качестве условия прочности была оставлена та же функция, что и в предыдущем примере, при a1 = 0,25 м и a2 = 1 м.

209

210

Рис. 3.3. Сетка линий скольжения в основании штампа и эпюры предельных напряжений

211

Рис. 3.4. Сетка линий скольжения в основании двух штампов (правая половина симметричной расчетной схемы) и эпюры предельных напряжений

Исходные данные в этом примере: ширина штампа b = 1 м, боковая пригрузка между штампами q1 = 20 кПа, с наружной стороны q2 = 12 кПа, удельный вес грунта Z = 20 кН/м3, X = 0. Равнодействующая вертикального давления на один штамп составила 68,55 кН.

На рис. 3.5 дан пример решения задачи определения предельного давления насыпи на основание [15]. Условие прочности принято в виде:

τ = Ñ ln(C

σ +1)

C

cos

C8πx

+ C

+ C

(C zC6

+ C ) + C ,

4

1 2

3

+ l

9

5

7 10

a

где a и l − некоторые расстояния, принятые равными в данном примере по 1,0 м; C1…C10 − параметры прочности грунта: C1 = = 2950 кПа; C2 = 0,0002 кПа−1; C3 = −0,25; C4 = 0,75; C5 = 0,001 м− C6; C6 = 2; C7 = 0,5; C8 = 2; C9 = 0; C10 = 1 кПа.

Удельный вес грунта Z = 20 кН/м3, X = 0. Величина вертикального предельного давления на участке AA′ поверхности основания равна 20 кПа, на участке OA′ вертикальное давление линейно увеличивается с 0 до 20 кПа. Решение осуществлялось с границы OL до OA до тех пор, пока оно существует.

На рис. 3.6 и 3.7 показаны сетки линий скольжения в откосах равноустойчивого очертания. На рис. 3.6 рассмотрен случай, когда давление на бровке склона соответствовало бытовому давлению от вертикального откоса предельной высоты. На рис. 3.7 показана сетка линий скольжения при большем давлении, в частности, равном σz = 5 кПа.

Условие прочности принято таким же, как и в случае с насыпью, с C5 = 0,01 м− C6, a = 0,5 м и l = 0. Удельный вес грунта Z = = 20 кН/м3, X = 0.

212