668

1.2.3. Поверхность текучести

Графически условие

	пластичности		удобно		гидростатическая ось σ1 = σ2 = σ3
	представить в простран-				σ3
	стве	главных напряже-
					1
	ний (σ1, σ2, σ3) в виде			arccos
					3
	некоторой поверхности,
	уравнение которой да-
	ется	равенством (1.7).			1
	Примерный ее вид по-			arccos
	казан на рис. 1.5. Такая				3	1
					arccos
	поверхность называется					3
	поверхностью пластич-					σ2
	ности, или текучести −			σ
	для идеального пласти-			1	поверхность текучести
	ческого тела эти по-				(пластичности)
	верхности совпадают.			Рис. 1.5. Примерный вид поверхности
	Поверхность		теку-
					текучести (пластичности)
	чести	обладает	рядом

свойств, вытекающих из принятых ранее предположений о характере пластического деформирования и данных выше определений.

Во-первых, учитывая (1.5) – (1.8), очевидно, что точки внутри поверхности текучести будут отвечать допредельному (упругому) состоянию (ƒ < 0), а точки на поверхности − предельному состоянию материала (ƒ = 0).

Во-вторых, поверхность замкнута, но в некоторых направлениях может уходить в бесконечность (см. рис. 1.5). В самом деле, увеличивая одно главное напряжение, оставляя остальные два постоянными, мы неизбежно получим разрушение материала. С другой стороны, при всестороннем (гидростатическом) сжатии, когда σ1 = σ2 = σ3, разрушение среды в точке может и не быть достигнуто.

В-третьих, поверхность текучести может задаваться не одной функцией, а несколькими:

fp (σij ) = 0, p = 1, 2, …, n,

23

и в этом случае представлять собой кусочно-гладкую поверхность, имеющую особенности в виде ребер или угловых точек [10]. Допредельному состоянию отвечает система строгих неравенств:

fp (σij ) < 0, p = 1, 2, …, n.

Для наступления предельного состояния достаточно, чтобы хотя бы одна из n функций достигала нулевого значения, а остальные были неположительными.

В-четвертых, поверхность текучести не проходит через начало координат. В противном случае это означало бы, что разрушение наступает при нулевых напряжениях.

					В-пятых, она должна
					быть выпуклой. Вогнутая
	σ3		A		поверхность			текучести
					(рис.	1.6)	означала бы,
	ветвь		я		что,	при	разгрузке		вер-
					нувшись из			предельного
разгрузки			а
			н
			ь
			л		состояния		(точка		A) в
			е
			д
			е
		B	р
			п		упругое		(допредельное),
ось ветви			о
			д		материал смог бы в про-
разгрузки			ь
			т
			с
			а		цессе	разгрузки			вновь
			л
			б
			о	σ2	проявить			пластические
	O
					свойства, так как напря-
σ1					жения опять окажутся на
	поверхность текучести				поверхности			текучести
	(предельное состояние)				(точка B).
					В-шестых, для иде-
	Рис. 1.6. Невыпуклая поверхность				ально-пластического тела
	текучести и ветвь разгрузки				поверхность			текучести
					фиксирована и не зависит

от истории нагружения. Следовательно, идеально пластическое тело может быть изначально анизотропным, но при этом исключается приобретенная анизотропия, т.е. такая анизотропия, которая бы проявилась только в процессе деформирования. В противном случае поверхность текучести меняла бы свой вид в зависимости от уровня нагружения.

24

В-седьмых, поверхность текучести изотропного материала симметрична относительно осей главных напряжений, что следует из независимости свойств материала от направлений, в том числе и σ1, σ2, σ3.

1.2.4.Понятие о шаровом

идевиаторном тензоре напряжений

Прочность материала зависит не только от величины напряжений, но и от вида напряженного состояния [2]. Выше уже шла речь о том, что всестороннее равномерное сжатие может и не привести к разрушению даже при очень больших давлениях. При этом сравнительно небольшие по величине напряжения, но направленные преимущественно на изменение формы, а не объема тела, могут приводить к пластическому деформированию и разрушению довольно быстро, например, при сдвиге или при действии нормальных напряжений различного знака.

В соответствии со сказанным разделим напряженное состояние в точке на две составляющих: напряжения, направленные только на уменьшение объема тела, и напряжения, направленные на изменения его формы.

Напряженное состояние в точке, как известно, характеризуется тензором напряжений:

σx

τxy

τxz

σ1

0

0

T

=

τ

yx

σ

y

τ

или T

=

0

σ

2

0

.

σ

yz

σ

τ

zx

τ

zy

σ

z

0

0

σ

3

Тензор − это величина, определяемая в каждой системе координат набором чисел (компонент), которые при изменении системы координат меняются по определенному закону так, что в новой системе определяют ту же самую величину [4]. Примером тензора может служить вектор (тензор 1-го ранга), который в пространстве определяется тремя координатами. В новой системе координат изменятся его компоненты, но определять они будут по-прежнему тот же вектор. Тензор напряжений − тензор 2-го ранга, определяемый в пространстве девятью компонентами, которые также меняются по определенному закону при смене системы координат, при этом всегда определяя то же самое напря-

25

женное состояние в точке. Поэтому обе приведенные записи для Tσ равносильны, так как определяют одну и ту же величину: в первом случае − по площадкам, сориентированным по координатным осям, во втором − по главным площадкам, т.е. площадкам, сориентированным по направлениям главных напряжений − главным осям тензора. Вообще говоря, тензор n-го ранга в m-мерном пространстве имеет mn компонент. Так, в трехмерном пространстве вектор имеет 31 = 3 компоненты, тензор напряжений − 32 = 9 компонент.

Итак, представим тензор напряжений в виде суммы двух тензоров:

Tσ = T0 + Dσ ,

(1.9)

где T0 − шаровый тензор напряжений, Dσ − девиаторный тензор

напряжений:

σ0

0

0

σx − σ0

τxy

τxz

T =

0 σ

0

0

,

D =

τ

yx

σ

y

− σ

0

τ

yz

.

0

σ

0 0

σ

0

τ

zx

τ

zy

σ

z

− σ

0

Здесь σ

=

σx + σy + σz

=

σ + σ

2

+ σ

3

− среднее напряжение.

1

0

3

3

Распишем выражение (1.9) подробней:

в обычных компонентах напряжений −

σx

τxy

τxz

σ0

0

0

T =

τ

yx

σ

y

τ

yz

=

0

σ

0

0

+

σ

τ

zx

τ

zy

σ

z

0

0

σ

0

(1.10)

σx − σ0

τxy

τxz

τyx

σy − σ0

τyz

+

,

τ

zx

τ

zy

σ

z

− σ

0

26

в главных напряжениях −

	σ1		0			0			σ0			0				0
T =		0	σ			0			=	0		σ				0			+
σ				2										0
		0	0			σ				0		0				σ	0
						3													(1.11)
σ1 − σ0						0						0
+		0		σ		− σ						0			.
					2			0
		0				0			σ		3	− σ	0

В выражениях (1.9) – (1.11) шаровой тензор напряжений определяет гидростатическое напряженное состояние в точке, т.е. равномерное всестороннее сжатие, направленное на уменьшение объема. Девиаторный тензор обладает тем свойством, что его среднее напряжение равно нулю:

(σx − σ0 + σy − σ0 + σz − σ0 ) / 3 = (σx + σy + σz ) / 3 − σ0 = 0, (σ1 − σ0 + σ2 − σ0 + σ3 − σ0 ) / 3 = (σ1 + σ2 + σ3 ) / 3 − σ0 = 0,

т.е. девиатор напряжений способствует прежде всего изменению формы, а не объема.

Важно иметь в виду, что изменениям объема и формы тела отвечают, строго говоря, шаровый и девиаторный тензоры деформаций, а не напряжений. Однако если совпадают направления главных осей тензоров напряжений и деформаций, т.е. попарно совпадают направления σ1 и ε1, σ2 и ε2, σ3 и ε3 (это, например, следует из закона Гука), то все приведенные выше рассуждения справедливы. В допредельном напряженном состоянии деформирование изотропного грунта описывается законом Гука, следовательно, сам процесс достижения предельного состояния будет зависеть от гидростатической и девиаторной составляющих тензора напряжений в виде (1.10), (1.11).

1.2.5.Гидростатическая ось и девиаторная плоскость

впространстве главных напряжений

Вернемся к поверхности текучести. Каждой точке в пространстве главных напряжений отвечает, как было сказано выше, некоторое напряженное состояние. Рассмотрим точку A на поверхности текучести и ее радиус-вектор OA, который может быть

27

представлен в виде суммы двух векторов (рис. 1.7): вектора OB, направленного по оси OC, равнонаклоненной к координатным осям, и вектора AB, лежащего в плоскости, перпендикулярной оси OC.

Ясно, что вдоль оси OC выполняются равенства:

σ1 = σ2 = σ3 ,

а уравнение плоскости, перпендикулярной к оси OC, имеет вид:

σ1 + σ2 + σ3 = 3σ0 ,

откуда следует, что вектор OB имеет координаты (σ0, σ0, σ0), где σ0 − среднее напряжение, а вектор AB имеет координаты (σ1 − σ0,

σ2 − σ0, σ3 − σ0).

гидростатическая ось σ3

σ 1 = σ 2 = σ3

проекция оси σ3 на девиаторную плоскость

C

поверхность текучести (пластичности)

девиаторная плоскость

σ1 + σ2 + σ3 = 3σ0

кривая текучести (пластичности)

σ1

A
B
σ0
O
σ0	σ2
σ0
проекции осей σ 1 и σ2
на девиаторную плоскость

Рис. 1.7. Пересечение поверхности текучести с девиаторной плоскостью

Таким образом, компонента OB определяет среднее напряжение, а компонента AB − девиаторную часть напряжений в точке. Ось OC называется гидростатической осью, а перпендикулярная ей плоскость − девиаторной плоскостью.

28

1.2.6. Понятие кривой текучести

Пересечение

поверхно-

σ 3

сти текучести с девиаторной

плоскостью образует кривую

E

текучести (см. рис. 1.7).

A

Примерный вид кривой те-

6

0

кучести показан на рис. 1.8.

°

D

Проекции

осей

главных

0

°

B

1

2

2

напряжений на девиаторную

1

0

°

плоскость расположены под

120°

углом 120°. Гидростатиче-

ская

составляющая

напря-

σ

1

σ

2

жений (вектор OB) проеци-

руется здесь в точку, а более

важная с позиции прочности

Рис. 1.8. Кривая текучести

девиаторная

составляющая

(вектора AB) лежит именно в этой плоскости.

Прочность некоторых материалов не зависит от среднего

напряжения, следовательно, условие пластичности не зависит от

гидростатического давления, и поверхность текучести будет

иметь образующие, параллельные гидростатической оси. Тогда

для установления пластических свойств достаточно рассмотреть

только кривую текучести, которая в этом случае не меняет свой

вид при любом положении девиаторной плоскости.

Прочность грунтов зависит от гидростатического давления,

однако кривая текучести также имеет большое значение при изу-

чении пластического деформирования оснований.

Свойства кривой текучести во многом определены свой-

ствами поверхности текучести. Например, для изотропных мате-

риалов в силу симметрии поверхности текучести эта кривая

также симметрична относительно осей σ1, σ2, σ3 − она будет со-

стоять из шести одинаковых дуг, заключенных в пределах сег-

ментов с углом 60°, например, сегмента BED. Далее, это замкну-

тая кривая, которая может задаваться несколькими уравнениями,

следовательно, как и поверхность текучести, быть кусочно-

гладкой и т.д.

29

1.2.7.Прочность грунта

иформы его разрушения

Конкретизируем, наконец, общие положения теории пластичности для грунтовой среды. Исследование прочности грунтов вполне укладывается в рассмотренную выше концепцию и вместе с тем имеет ряд особенностей. В частности, прочностные свойства грунтов не могут быть установлены непосредственно в испытаниях по схеме одноосного растяжения-сжатия, как у большинства строительных материалов, − необходимо определить иные схемы нагружения грунта для выяснения его прочностных параметров. Обратимся к наблюдаемым в натуре формам разрушения грунтовых оснований.

На рис. 1.9 показаны три основные формы потери устойчивости грунтовых массивов:

–разрушение горизонтального основания под действием на него штампа (абсолютно жесткого тела, моделирующего фундамент): разрушение происходит в виде выпирания грунта из-под подошвы фундамента на поверхность (см. рис. 1.9, а);

–оползневый процесс: тело оползня под действием собственного веса сползает вниз по некоторой поверхности скольжения (см. рис. 1.9, б);

–предельное давление грунта на подпорное сооружение: при обрушении грунта за стенкой (призма обрушения) возникает активное давление грунта на стенку, при выпирании грунта (призма выпирания) перед стенкой возникает пассивное давление

(см. рис. 1.9, в).

Во всех трех случаях разрушение грунтового основания происходит в виде сдвига (смещения) части грунтового массива по некоторой поверхности скольжения относительно неподвижной части основания (несмещающиеся породы).

Таким образом, разрушение грунта происходит в виде сдвига одной его части относительно другой, и оценивать прочность грунта следует через его сопротивление сдвигу.

30

Рис. 1.9. Формы потери устойчивости грунтовых массивов:

а − разрушение грунта в основании штампа; б − потеря устойчивости склона; в − обрушение и выпирание грунта возле подпорной стенки (Ea и Ep − силы предельного давления грунта на стенку);

1 − несмещающиеся породы; 2 − выпираемый или обрушаемый грунт; 3 − поверхность сдвига (скольжения)

31

1.2.8. Закон Кулона

Поставим задачу определить предельное сопротивление грунта сдвигу по аналогии с условием (1.3). Принципиальная схема сдвиговых испытаний показана на рис. 1.10, а. Опыт проводят следующим образом. Сверху через пористый штамп 4 сдвигового прибора прикладывают вертикальную силу N, которая создает равномерное вертикальное давление внутри образца грунта 1:

σn = N ,

A

где n − нормаль к площадке сдвига; A − поперечная площадь образца, равная площади сдвига (см. рис. 1.10, а).

а)	4	N		N	б)	τ n
1			σn =
				A		B
2						A
плоскость				T
сдвига
3			τn = T
				A

O

Рис. 1.10. Принципиальная схема сдвиговых испытаний грунта (а) и упрощенная зависимость между горизонтальными смещениями при сдвиге и касательными напряжениями (б):

1 − образец грунта; 2 − подвижная часть сдвигового прибора; 3 − неподвижная часть сдвигового прибора; 4 − пористый штамп

Далее к подвижной части прибора 2 в плоскости будущего сдвига прикладывают сдвигающую нагрузку T, которая по площадке сдвига создает касательные усилия:

τn = T .

A

Под действием сдвигающего усилия T подвижная часть прибора 2 начинает смещаться относительно неподвижной части 3. Эти перемещения фиксируются − обозначим их величиной . Зависимость между касательными напряжениями τn и горизонтальными перемещениями показана на рис. 1.10, б. Сдвигающая

32