Потенциальная энергия упруго деформированного тела

где - коэффициент упругости, определяемый отношением упругой силы к величине упругой деформации.

Закон сохранения энергии в механике: полная механическая энергия замкнутой системы, в которой действуют только консервативные силы, есть величина постоянная, т.е.

W = W_k + W_n = сonst.

Системы, в которых полная механическая энергия не сохраняется, называются диссипативными.

Мерой передачи движения, или мерой энергии, переданной от одного тела к другому, является работа.

На основании определения работы изменение полной механической энергии системы равно алгебраической сумме работ всех внешних и внутренних сил:

A = W₂ – W₁ Дж,

где W₂ и W₁ – полные энергии тел соответственно после и до взаимодействия.

Полная механическая энергия:

W = W_k + W_n ,

тогда

A = (W_k + W_n)₂ – (W_k + W_n)₁.

Опыт показывает, что во всех процессах взаимодействия количество переданного движения пропорционально произведению силы взаимодействия и величины перемещения точки приложения силы (рис. 3.2):

A = F S сos  = F_ S,

где F_ = F сos  – проекция силы на направление перемещения точки приложения силы (касательная составляющая силы);  – угол между направлением силы и направлением перемещения (касательной к траектории движения).

В случае переменной силы F на пути s

Графически работа А (рис. 3.3) численно равна площади фигуры, ограниченной графиком осью S и ординатами, соответствующими началу и концу рассматриваемого пути.

В случае вращательного движения относительно неподвижной оси работа постоянного момента силы, действующей на тело,

,

где  – угол поворота тела.

Для переменного момента силы:

Для характеристики быстроты совершения работы вводится понятие мощности.

Мощность – это физическая величина, измеряемая работой, совершаемой в единицу времени

Учитывая, что элементарная работа

dA = F_ ds,

мощность

или

N = F сos ,

где

Мощность, также как работа и энергия, - скалярная величина.

Для вращательного движения мощность постоянного момента сил равна

Сопоставление уравнений динамики вращательного движения с уравнениями поступательного движения приведено в табл. 3.2.

Т а б л и ц а 3.2

Поступательное движение	Вращательное движение вокруг неподвижной оси

Примеры решения задач

Задача 1. Мяч массой 100 г, летевший со скоростью 20 м/с, ударился о горизонтальную плоскость под углом 60⁰ к нормали. Удар абсолютно упругий. Найти импульс силы, полученный мячом при ударе (рис. 3.4).

Дано: СИ

т = 100 г 0,1 кг

 = 20 м/с

 = 60⁰

- ?

Решение

Запишем второй закон Ньютона:

,

где - изменение импульса мяча.

При абсолютно упругом ударе скорость по модулю не изменяется и угол падения равен углу отражения. Следовательно, численное значение импульса мяча не изменяется, а изменяется только его направление .

Из рис. 3.4 найдем p, воспользовавшись теоремой косинусов:

;

;

,

учитывая, что , найдем

;

;

.

Произведем вычисления:

.

Ответ: .

Задача 2. С судна, движущегося со скоростью 54 км/ч, произведен выстрел из пушки под углом 60⁰ к горизонту в направлении, противоположном движению судна. Снаряд вылетел со скоростью 1 км/с. Насколько изменилась скорость судна, если масса снаряда 50 кг, а масса судна 200 т (рис. 3.5)?

Дано: СИ Решение

= 54 км/ч 15 м/с ,

 = 60⁰ где - скорость судна после выстрела.

= 1 км/с 1000 м/с Для определения воспользуемся законом

= 200 т 200 ^. 10³ кг сохранения импульса:

= 50 кг ,

-? где - скорость снаряда до выстрела, она равна скорости судна до выстрела, т.е. :

;

.

До выстрела

Найдем проекции этих векторов на ось ox:

;

.

Изменение скорости судна равно

;

.

Произведем вычисления:

м/с.

Ответ:  = 0,13 м/с.

Задача 3. Деревянный шарик падает вертикально вниз с высоты 2 м без начальной скорости. Коэффициент восстановления при ударе шарика о пол считать равным 0,5. Найти: а) высоту, на которую поднимается шарик после удара о пол; б) количество тепла, которое выделиться при этом ударе. Масса шарика 100 г.

Дано: Решение

= 2 м Падая с высоты , шарик падает на пол со скоростью , а

= 0 отскакивает вверх со скоростью _.

k = 0,5 По определению коэффициент восстановления k =

m = 0,1 кг По закону сохранения энергии и

- ? откуда = . = м.

Q -?

Количество тепла, выделившегося при ударе шарика о пол, равно разности кинетических энергий тела до удара и после удара:

Дж.

Ответ: = 0,5 м; = 1,48 Дж.

Задача 4. На скамье Жуковского стоит человек и держит в вытянутых руках гири по 10 кг каждая. Расстояние между гирями 1,5 м. Скамья вращается с частотой = 1 . Как изменится частота вращения скамьи и какую работу произведёт человек, если он сблизит руки так, что расстояние между гирями уменьшится до 40 см? Суммарный момент инерции человека и скамьи относительно оси вращения J₀ = 2,5 кг^.м². Ось вращения проходит через центр масс человека и скамьи (рис. 3.6).

Д ано:

= = m = 10 кг

₁ = 1,5 м

₂ = 0,4 м

= 1

J₀ = 2,5 кг^.м²

- ? А - ?

Рис. 3.6