Решение

Частота вращения скамьи Жуковского изменяется в результате действий, производимых человеком при сближении гирь. В системе тел скамья – человек – гири взаимодействия этих тел являются внутренними. Все тела системы совершают только вращательное движение вокруг одной и той же оси; они не изменяют момент импульса системы. Внешние силы – сила тяжести, сила нормальной реакции – параллельны оси вращения. (Сила трения в оси не учитывается). Моменты всех внешних сил относительно вертикальной оси вращения скамьи равны нулю. Следовательно, момент импульса системы тел остаётся постоянным. По закону сохранения момента импульса

, (1)

где и – моменты импульса системы до и после сближения гирь.

Перепишем векторное уравнение (1) в скалярном виде

= J₂ , (2)

где J₁ – момент инерции всей системы до сближения гирь,

Момент инерции гири рассчитываем как для материальной точки, m – масса гири.

J₂ – момент инерции всей системы после сближения гирь,

Выразим угловую скорость через частоту вращения по формуле и подставим в уравнение (2):  = 2

откуда

.

Внешние силы не создают вращающего момента относительно оси и, следовательно, не совершают работы.

Поэтому изменение кинетической энергии системы равно работе, совершённой человеком:

А = W_к = W₂ – W₁.

Кинетическая энергия начального положения тела

Кинетическая энергия конечного положения

После преобразований получим выражение

После подстановки числовых значений получим:

A = 870 Дж.

Ответ: = 4,2 ; A = 870 Дж.

Задача 5. Платформа в виде диска радиусом R = 1,5 м и массой = 180 кг вращается по инерции около вертикальной оси, делая 0,17 . В центре платформы стоит человек массой = 60 кг (рис. 3.7). Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдёт на край платформы? С какой частотой будет вращаться платформа?

Дано:

R = 1,5 м

= 180 кг

= 0,17

= 60 кг

- ? - ? Рис. 3.7

Решение

По закону сохранения момента импульса

= J₂ ,

где J₁ – момент инерции платформы J₀ и человека J_ч в центре платформы; J₂ – момент инерции платформы J₀ и человека J_ч, стоящего на краю; и – угловые скорости платформы с человеком в первом и втором положениях.

Момент инерции платформы (диска) ; момент инерции человека рассчитывают как для материальной точки. Поэтому

Выражая угловую скорость через частоту вращения по формуле  = 2 и подставляя все в уравнение (1), получим

Тогда

.

Линейная скорость человека, стоящего на краю платформы, связана с угловой скоростью соотношением

= R = 2  R.

Подставив числовые значения, получим

= 2 ^. 3,14 ^. 0,1 ^. 1,5 = 0,94  1 .

Ответ: = 0,1 ; = 1 .

Задача 6. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на легком жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от точки подвеса стержня до центра шара 1 м. Найти скорость пули, если стержень с шаром отклонился от удара пули на угол 10⁰ (рис. 3.8).

Дано:

m₂ = 1000 m₁

l = 1 м

α = 10⁰

g = 9,8 м/с²

 - ?