2 семестр / Лекции по физике. Лубенченко

210

здесь ΔΦ = Φ2 – Φ1 — разность магнитных потоков сквозь поверхности, натянутые на проводящий контур в начальном и конечном положении.

3.9. Электромагнитная индукция67

3.9.1. Закон Фарадея-Максвелла

Пусть в пространстве существует переменное магнитное поле. I уравнение Максвелла

Edl B dS .
L	S	t

Левая часть этого уравнения равна ЭДС в произвольном замкнутом контуре L:

Edl E

L

,

а правая (с точностью до знака) — скорости изменения магнитного потока сквозь произвольную поверхность S, натянутую на контур L:

		B	dS
		t
	S
	Поэтому
				E

			BdS
		t
			S
	E				dΦ
		i			dt

Φt

.

(26.2)

— закон Фарадея-Максвелла (закон электромагнитной индукции); Ei — ЭДС индукции.

Явление электромагнитной индукции — возникновение электрического поля в замкнутом контуре при изменении магнитного потока сквозь поверхность, натянутую на этот контур. ЭДС индукции — энергетическая характеристика этого поля.

В замкнутом проводнике, магнитный поток сквозь который (поверхность, ограниченную которым) изменяется, возникает индукционный ток.

Правило Ленца: направление индукционного тока таково, чтобы компенсировать вызвавшее индукционный ток изменение магнитного потока. Правило Ленца выражается знаком «–» в выражении закона Фарадея-Максвелла.

Явление электромагнитной индукции можно трактовать как возникновение вихревого электрического поля при переменном магнитном поле.

Получим закон Фарадея-Максвелла из других опытных законов.

1) Вывод закона Фарадея-Максвелла из закона сохранения энергии

Проводник с током I (ток создаётся источником с ЭДС E) движется в однородном магнитном поле с индук-

цией B , перпендикулярной плоскости движения проводника (РИС. 26.3). Энергия источника расходуется на совершение механической работы и увеличение внутренней энергии проводника — в тепло:

Aист Aмех Q .

R

E					I

Рис. 26.3

(26.3)

67 Материал II семестра в разделах 3.9–3.14 имеется также в виде лекционных презентаций.

211

По определению ЭДС, работа источника при прохождении через источник малого заряда dq

δAист

Edq

;

(26.4)

механическая работа — работа силы Ампера

δA	IdΦ
мех

,

(26.5)

Φ — магнитный поток сквозь поверхность, натянутую на замкнутую цепь, содержащую источник и движущийся проводник; количество теплоты, выделяющееся в цепи за время dt прохождения через источник заряда dq,

δQ I2Rdt ,

(26.6)

R — сопротивление всей цепи.

Подставим в выражение закона сохранения энергии (26.3) слагаемые (26.4), (26.5), (26.6):

Так как

I

dq dt

2	Rdt
Edq IdΦ I

,

	2	Rdt
EIdt IdΦ I
IR E	dΦ		.
	dt

.

,

Это обобщённый закон Ома для замкнутой цепи: сумма падений напряжений равна сумме ЭДС. Обозначим ddtΦ Ei . Это и есть ЭДС индукции.

2) Вывод закона Фарадея-Максвелла из электронных представлений

Пусть металлический проводник длиной l движется в однородном магнитном поле B со скоростью v , перпендикулярной линиям индукции (РИС. 26.4). На свободные заряды (электроны) в проводнике магнитное поле действует с силой F2 . Из-за

этого электроны будут перемещаться по проводнику до тех пор, пока не установится равновесие, т. е. возникшее по этой причине электрическое поле не скомпен-

сирует воздействие магнитного поля силой

l

+

F1 .

–

0

x

Рис. 26.4

Рассмотрим один электрон в проводнике. Он движется с постоянной скоростью —

скоростью проводника v , значит, его ускорение равно нулю. Запишем II закон Ньютона:

0 F1 F2 ;

		212
	F1 eE , F2 e			vB		,
где –e — заряд электрона, E	— напряжённость электрического поля внутри про-
водника;
0 eE e vB E			vB			, E vB .

Поле E

внутри проводника однородно.

Разность потенциалов между концами проводника, по интегральной связи напряжённости и потенциала электростатического поля,

U φ	φ

El vBl

.

Применим к рассматриваемому проводнику обобщённый закон Ома:

φ φ		E 0
		i

(правая часть этого равенства равна нулю, так как тока в проводнике нет). Отсюда

Ei φ φ U vBl .

Но v

dx

68, поэтому

dt

Ei Bl

dx

B

dS

d BS

d BS

dΦ

, ч. т. д.

dt

dt

dt

dt

dt

(Здесь S = lx — площадь поверхности, ометаемой проводником при его движении;

S	направлен по нормали к этой поверхности.)

Мы получили разными способами одинаковый результат — закон Фарадея-Макс- велла. Это указывает на единство природы электромагнитного поля в разных его проявлениях.

Демонстрации: 1) Опыты Фарадея

2)Правило Ленца

3)Токи Фуко

Вихревые токи (токи Фуко) — токи, текущие в сплошном металлическом проводнике под действием переменного магнитного поля. Переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле, которое является причиной возникновения токов. Эти токи взаимодействуют с магнитным полем по закону Ампера и вызывают нагревание проводника по закону Джоуля-Ленца.

Явление электромагнитной индукции имеет огромное прикладное значение.

3.9.2. Самоиндукция

Рассмотрим замкнутый проводник (проводящий контур), по которому идёт ток, создающий магнитное поле — собственное магнитное поле проводника. Если этот ток — переменный, то магнитный поток сквозь поверхность, натянутую на контур с током (собственный магнитный поток), будет изменяться и возникнет индуцированное электрическое поле.

68 Строго говоря, здесь и выше в данном подразделе надо писать vx вместо v; мы этого не делаем, чтобы не усложнять запись, так как vx = v > 0.

213

Самоиндукция — частный случай явления электромагнитной индукции — возникновение электрического поля в замкнутой цепи в результате изменения силы тока в этой цепи.

Собственный магнитный поток

Φs

BsdS S

,

где

Bs

— индукция собственного магнитного поля проводника. Так как Bs ~ I (току

в проводнике), Φs ~ I.

Потокосцепление — суммарный собственный магнитный поток проводника, имеющего более одного витка:

Ψ Φsi .

Закон Фарадея-Максвелла в случае самоиндукции запишется как

E	dΨ
s	dt

Es — ЭДС самоиндукции.

,

(26.7)

Индуктивность — характеристика проводника, равная отношению собственного магнитного потока (потокосцепления) к току в проводнике:

	L	Ψ	;
		I

[L] = Гн (генри).

(26.8)

Индуктивность зависит от формы и размеров проводника (а также магнитных свойств среды) и не зависит от силы тока, магнитной индукции и других характеристик поля и тока (в случае, если нет ферромагнитного сердечника; см. РАЗДЕЛ

3.11.9).

Из определения индуктивности (26.8) следует

Ψ LI .

Подставим это выражение в закон Фарадея-Максвелла (26.7):

E

d LI

I

dL

L

dI

I

dL dI

L

dI

dI

I

dL

L

s

dt

dt

dI dt

dt

dI

dt

dt

При L = const (проводник не деформируется и нет ферромагнетиков)

.

E L	dI
s	dt

.

При расчёте индуктивности нужно мысленно пустить по проводнику ток и найти собственный магнитный поток (потокосцепление) проводника.

ПРИМЕРЫ

1) Расчёт индуктивности длинного соленоида

Имеется соленоид длиной l с поперечным сечением S, имеющий плотность намотки n (РИС. 26.5). Длина соленоида много больше его поперечных размеров. Найти индуктивность соленоида.

214

Пустим по соленоиду ток I. Магнитное поле внутри соленоида однородно — так как соленоид длинный, краевыми эффектами пренебрегаем. Направление магнитной индукции показано на РИС. 26.5, её модуль

B μ nI	μ	N	I
0	0	l
(см. ПРИМЕР 2 В РАЗДЕЛЕ 3.7.2),			n	N	— плотность
				l

намотки соленоида.

Магнитный поток сквозь один виток соленоида

I

S

l

Рис. 26.5

	Φ BSn BS	μ
		0
	s

потокосцепление

				2		S
Ψ NΦ			μ N
			0
				l
Индуктивность соленоида
	Ψ		μ	2	S
L				N
			0
	I			l

NIS l

I .

.

;

Эта величина зависит только от размеров и числа витков соленоида, как и следовало ожидать.

2) Расчёт индуктивности тонкого тороида

Найти индуктивность тонкого тороида радиуса R, сечением S, имеющего N витков (РИС. 26.6).

Пустим по тороиду ток I. Задача о нахождении индукции магнитного поля тороида была рассмотрена в РАЗДЕЛЕ 3.7.2, ПРИМЕР 3. Модуль магнитной индукции

B μ20πRNI ,

направление B показано на РИС. 26.6. Магнитный поток сквозь один виток тороида

	Φs BSn BS	μ NIS	;
		0
		2πR

потокосцепление

Ψ NΦs μ0N2S I . 2πR

Индуктивность тонкого тороида

L Ψ μ0N2S μ0N2S , I 2πR l

где l = 2πR — длина тороида.

		I
	O
	R
	Рис. 26.6

215

Демонстрация: Экстра-ток размыкания

ПРИМЕР

Экстра-ток размыкания

Катушка индуктивностью L и сопротивлением R подключена к источнику постоянного тока параллельно с лампой накаливания, сопротивление которой равно R′ (схема на РИС. 26.7). В начальный момент времени ключ K размыкают и катушка вместе с лампой отключаются от источника. Найти зависимость тока в цепи от времени.

I	R′		После размыкания ключа изменяющийся ток в катушке приводит
			к возникновению электрического поля, энергетическая характе-
I0	R, L		ристика которого — ЭДС самоиндукции Es L dI			. Это единствен-
				dt
		K	ная ЭДС в цепи после размыкания ключа.
			Применим обобщённый закон Ома:
	E		I R R Es I R R L	dI	.
				dt
	Рис. 26.7
			Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении и
проинтегрируем:

dI

R R

dt

,

I

L

I

dI

R R

t

I

R R

dt ln

t

I

L

I

L

I

0

0

0

I t I0e

R R

t .

L

Здесь I0

E

— ток в катушке до размыкания

I

R

I0

ключа

(внутреннее сопротивление

источ-

ника считаем пренебрежимо малым по сравнению с сопротивлением катушки). График функции (26.9) представлен на РИС. 26.8.

,

(26.9)

В этом примере мы рассмотрели пример ре-

лаксационного процесса, т. е. процесса при- 0

ближения какой-либо физической величины к её равновесному значению — в данном случае при t → ∞ I → 0. Характерный параметр

этого процесса — время релаксации — время, за шится в e раз:

	τ	L	.
		R R

t

Рис. 26.8

которое сила тока в цепи умень-

Теперь разберёмся, почему лампа сразу после размыкания ключа ярко вспыхивает, как мы видели в демонстрационном эксперименте. Сравним ток в лампе до размыкания ключа

216

I

E

R

0

с током I после размыкания:

Ee

R R

t R

I

L

R

e

R R t

.

L

I

RE

R

0

			R R	t
	При малых t (сразу после размыкания ключа) e		L		1

ление лампы накаливания сравнительно велико), то резко увеличивается, а, значит, лампа ярко вспыхивает.

и, если R′ >> R (а сопротив-

I		и мощность лампы
	I0

3.9.3. Взаимная индукция
Пусть имеются два замкнутых проводящих контура 1 и
2, расположенные достаточно близко друг к другу	I1	I2
(РИС. 26.9). По контуру 1 идёт ток I1, так что контур 2
находится в магнитном поле контура 1. Поток индукции
магнитного поля контура 1 сквозь поверхность, натяну-
тую на контур 2, Φ12 ~ I1, так как B1 ~ I1. Если ток I1 пере-		1	2
менный, то в проводнике 2 возникает переменное элек-
трическое поле и ток I2. В свою очередь, контур 2 создаёт		Рис. 26.9
магнитное поле, пронизывающее контур 1; соответ-

ственно, магнитный поток Φ21 ~ I2. Таким образом два проводника влияют друг на друга.

Взаимная индукция — частный случай явления электромагнитной индукции — возникновение электрического поля в проводнике под действием переменного тока в другом проводнике, близко расположенным к данному проводнику.

Магнитный поток сквозь поверхность, натянутую на проводник 2, создаваемый проводником 1,

Φ12 M12I1 ;

	M		Φ
			12
	12		I
			1

— коэффициент взаимной индукции (взаимная индуктивность) — характери-

стика взаимного влияния проводников. Коэффициент взаимной индукции зависит от формы, размера проводников, их взаимного расположения, магнитных свойств среды. Возможно M12 < 0;

[M] = Гн.

ПОЗДНЕЕ мы докажем, что в отсутствие ферромагнетиков коэффициенты взаимной индукции равны:

M12 M21

— теорема взаимности.

Закон Фарадея-Максвелла для случая взаимной индукции:

E12 M12 dIdt1 , E21 M21 dIdt2 .

Демонстрация: Взаимная индукция

217

ПРИМЕР

Расчёт взаимной индуктивности двух длинных соленоидов, надетых друг на друга

На катушку длиной l и сечением S навито две обмотки с числом витков N1 и N2 (РИС. 26.10А), соединённые последовательно так, что ток по ним будет течь в одну сторону (схема на РИС. 26.10Б). Найти взаимную индуктивность обмоток и индуктивность системы.

I		2
					1
						S	I	L1
					,
				,
							I	L2
				l
				а				б

Рис. 26.10

Пустим по обмоткам ток I. Магнитные поля, создаваемые обеими обмотками, однородны, так как соленоид длинный, и направлены в одну сторону (РИС. 26.10А).

Модуль индукции магнитного поля обмотки 1 (см. ПРИМЕР 2 В РАЗДЕЛЕ 3.7.2)

B1		μ N		I	.
		0	1
			l

Поток магнитного поля, создаваемого обмоткой 1, сквозь поверхность, натянутую на виток обмотки 2,

	Φ12	B1Sn2	B1S	μ N SI		,
				0	1
					l

потокосцепление

	Ψ	N Φ			μ N N SI
					0	1	2
	12	2	12			l

.

Аналогично потокосцепление обмотки

Ψ
21

Коэффициенты взаимной индукции

M12 ΨI12

2, обусловленное током в обмотке 1,

	μ N N SI			.
	0	1	2
		l

μ0N1N2S M21 .

l

Получилось M12 = M21; таким образом мы доказали теорему взаимности для частного случая.

Потокосцепление всей системы

Ψ Ψ11 Ψ22 Ψ12 Ψ21 ,

где Ψ11, Ψ22 — собственные магнитные потоки обмоток 1 и 2 соответственно;

(см. ПРИМЕР 1 РАЗДЕЛА 3.9.2).

	μ	2	S
Ψ		N
	0	1
		l

Индуктивность системы

218

						2	S
Ψ11			μ N					I		,
				0		1
						l
Получим
			2	S					μ
I	μ N				I 2
	0		2							0
		l
	L			Ψ			μ0S
				I				l

					2	S
Ψ		μ N					I
			0		2
22				l
N N S			I		μ S			N
1	2					0
l						l		1
N1	N2 2 .

В случае, когда токи в обмотках текут в разные стороны,

N	2	I
2

.

	M	M		μ N		N S
				0	1	2
	12	21			l

, Ψ μ0lS N1 N2 2 I ,

L

μ S
0	N
l	1

N2

2

.

219

Лекция 27

3.10. Энергия магнитного поля

3.10.1. Энергия проводника с током

Пусть проводник индуктивностью L включён в электрическую цепь. Найдём энергию проводника при токе I, т. е. работу индуцированного электрического поля (ЭДС самоиндукции Es) при возрастании тока в проводнике от 0 до I с обратным знаком.

Приращение энергии при перемещении по проводнику малого заряда dq

здесь а Es

dW

δA* — работа внешних сил, δAs

	L	dI	,
		dt

dW

δA	*	δAs Esdq ,

— работа электрического поля. Так как dq = Idt,

	L	dI	Idt LIdI ;
		dt

		I		LI	2
	W		LIdI			.
				2
		0

Энергия магнитного поля проводника индуктивностью L при токе I

	LI	2		Φ I		2
W						Φ
				s		s	,	(27.1)
	2			2		2L

где Φs — собственный магнитный поток (потокосцепление) проводника.

3.10.2. Энергия взаимодействия проводников с токами

Пусть имеются два проводника с токами I1 и I2, расположенные близко друг к другу (РИС. 26.9). Энергия магнитного поля этой системы

W

где W12 — взаимная энергия.

W1

W2

W12

,

Энергия магнитного поля равна работе источников тока, которая необходима для того, чтобы это поле создать, т. е. увеличить токи в проводниках от 0 до I1 и I2 соответственно. Сначала доведём ток в контуре 1 от 0 до I1 (при разомкнутом контуре 2); работа источника в контуре 1 по (27.1)

A* 1

W L I2

11

1 2

,

где L1 — индуктивность проводника 1. Затем замкнём контур 2 и увеличим ток в нём от 0 до I2. Работа источника в контуре 2

A2* W2 L22I22 ,

здесь L2 — индуктивность проводника 2. Но при этом благодаря взаимной индукции в контуре 1 будет возникать электрическое поле (ЭДС взаимной индукции

E21 M21 dIdt2 ). Чтобы скомпенсировать его влияние, источник в контуре 1 должен совершать дополнительную работу по перемещению малого заряда dq1 = I1dt