2 семестр / Лекции по физике. Лубенченко

160

— дифференциальная связь напряжённости и потенциала электростатиче-

ского поля (определение вектора градиента

	φ	dφ
		dl

см. в РАЗДЕЛЕ 1.8.5).

Эквипотенциальная поверхность – геометрическое место точек, потенциал которых одинаков.

Так как

E

gradφ

, вектор напряжённости электрического поля перпендикулярен

эквипотенциальным поверхностям.

ПРИМЕР

Потенциал поля точечного заряда

Напряжённость электрического поля точечного заряда q

E 4πεq 0 rr3 .

Эквипотенциальные поверхности — сферы (РИС. 20.3).

Положим начало отсчёта потенциала в бесконечно удалённой точке: φ(∞) = 0. Интегрирование в формуле интегральной связи напряжённости и потенциала проведём по радиальной прямой:

r	r	r	q	dr		q	1 r			q
φ Edr Erdr				r2							.
			4πε			4πε	r			4πε r
			0			0				0

q

r

Рис. 20.3

Принцип суперпозиции (в применении к потенциалу): потенциал электростатического поля системы заряженных тел равен сумме потенциалов полей, создаваемых каждым из этих тел по отдельности:

φ φ	, φ		dφ	.
i

Доказательство

Имеем систему N заряженных тел. По принципу суперпозиции напряжённость электрического поля

E Ei .

Интегральная связь напряжённости и потенциала для поля в точке A

A

A

i

A

i

i

φ

Edl

E

dl

E

dl

φ

φ 0

φ 0

φ 0

, ч. т. д.

Любую систему заряженных тел можно разбить на точечные заряды и найти потенциал по методу суперпозиций. Таким образом проще рассчитать потенциал, чем напряжённость электрического поля, так как потенциал — скалярная величина, а напряжённость—векторная.

161

ПРИМЕР

1) Поле равномерно заряженного тонкого кольца

По тонкому кольцу равномерно распределён заряд Q > 0 (РИС. 20.4). Найти зависимость потенциала от координаты в точке на оси z кольца: φ(z).

Положим потенциал равным нулю в бесконечно удалённой точке. Разобьём кольцо на малые участки с зарядами dq и воспользуемся методом суперпозиций:

	φ		dφ , dφ	dq	.
				4πε r
				0

	Расстояние r до точки A, где измеряется потенциал одина-	z
	ково для всех элементов dq;

r	R	2	z	2	.

Проинтегрируем выражение для потенциала по q:

	Q		dq					Q
φ											.
	0	4πε	R	2	z	2	4πε	R	2	z	2
		0					0

A

r z

Q

	Найдём напряжённость электрического поля как функцию z	R
	через дифференциальную связь напряжённости и потенци-	O
	ала:

	E gradφ	dφ	k
		dz

dq

Рис. 20.4

(k — орт оси z), так как в точках на оси z напряжённость элек-

трического поля направлена вдоль этой оси и может зависеть только от z;

			Q			1			2z
	dφ					2							Qz
	Ez dz																	.
			4πε0	R		2	z			2	3 2		4πε0 R	2	z	2	3 2

Этот же результат мы получили РАНЕЕ методом суперпозиции E .

2) Поле равномерно заряженной бесконечно длинной тонкой прямой нити

Бесконечно длинная прямая нить равномерно заряжена с ли-				τ
нейной плотностью τ (РИС. 20.5). Найти зависимость потен-
циала электрического поля от расстояния r от нити: φ(r).
Воспользуемся результатом решения ЗАДАЧИ о напряжённо-
сти электрического поля этой системы
E			τ		r
	r		2πε r
			0

A

r0 O

Рис. 20.5

162

и интегральной связью напряжённости и потенциала. Начало отсчёта потенциала возьмём в точке O на расстоянии r0 от нити54;

	r	r	τ	dr		τ		r
	φ Erdr						ln
			2πε	r		2πε		r
	r	r
			0			0		0
	0	0

График зависимости φ(r) показан на РИС. 20.6.

φ

.

	0	r0		r
		Рис. 20.6
	3) Поле равномерно заряженной сферы
	Q	Сфера радиуса R	равномерно	заряжена	зарядом Q
		(РИС. 20.7). Найти	зависимость	потенциала	электриче-
	II

	R	ского поля от расстояния r от центра сферы: φ(r).
O
		Воспользуемся интегральной связью напряжённости и
		потенциала, полагая φ(0) = 0:

I	r	A

Рис. 20.7

	r
φ		Erdr . (20.1)
	0

Разбиваем пространство на две области (см. ПРИМЕР 1 РАЗ-

ДЕЛА 3.2.3).

II. r < R

Напряжённость электрического поля в этой области EIIr = 0. Потенциал

r φ EIIrdr 0

0

.

I. r > R

Согласно ранее полученному результату, в этой области проекция напряжённости электрического поля на радиальное направление

EIr	Q
		.
	4πε r2
	0

54 В случае, если заряды располагаются в бесконечно удалённых точках, нельзя взять начало отсчёта потенциала в бесконечности.

163

При вычислении потенциала мы идём от центра сферы к точке A (РИС. 20.7), где измеряется потенциал, по радиальной прямой. На разных участках этого пути (отрезка OA) аналитическое выражение Er(r) различно, поэтому интеграл (20.1) приходится разбивать на две части:

	R	r	R	r	Q	dr
	φ EIIrdr EIrdr 0dr
					4πε	r	2
	0	R	0	R
					0

График зависимости φ(r) показан на РИС. 20.8.

		Q
		4πε
		0

	1	r
	r
		R

Q 4πε0

	1
r

1 R

 

.

φ

II I

0

R

r

Рис. 20.8

Можно построить этот график по графику проекции напряжённости электрического поля (РИС. 19.8). По дифференциальной связи напряжённости и потенциала

				Er	dφ	55.
					dr
	Там, где	dφ	0	(при r < R), φ = const. В точке r = R график Er(r) имеет разрыв, а гра-
		dr
	фик φ(r) — излом. При r > R Er(r) > 0 и убывает, соответственно,						dφ	0	и возрастает
							dr

— кривая φ(r) убывает и вогнутая. При r → ∞ Er → 0 и график φ(r) имеет горизонтальную асимптоту.

Потенциал — непрерывная функция координат! График потенциала никогда не имеет разрывов.

Методы расчёта напряжённости электрического поля

метод суперпозиций	теорема Остроградского-	дифференциальная
	Гаусса	связь и φ

55 На самом деле Er r12 drd r2φ (ср. ПОДРАЗДЕЛ 4 П. 3.3.3).

164

Методы расчёта потенциала электростатического поля

метод суперпозиций	интегральная связь
	и φ
3.3. Электростатическое поле в веществе

3.3.1. Проводники и диэлектрики. Свободные и связанные заряды

Проводники — вещества, имеющие свободные заряды — заряженные частицы, свободно перемещающиеся по образцу.

Диэлектрики — вещества, в которых заряженные частицы связаны в пределах молекул и могут перемещаться под действием внешнего поля только на расстояния не более межмолекулярных.56

Любой диэлектрик можно превратить в проводник, т. е. пробить.

Вещество

проводники

хорошо проводят электрический ток

металлы ← свободные электроны электролиты ← ионы плазма ← электроны, ионы

Заряды

диэлектрики

плохо проводят электрический ток

дерево, пластмасса, дистиллированная вода, кристаллы солей, газы

свободные

1)заряды, нарушающие электронейтральность вещества;

2)заряженные частицы, перемещающиеся по проводнику на расстояния много больше межмолекулярных

3.3.2. Электрический диполь

связанные

заряженные частицы, входящие в состав молекул, перемещающиеся на расстояния не более межмолекулярных

Электрический диполь — система двух точечных зарядов, одинаковых по модулю и противоположных по знаку (РИС. 20.9).

	1. Характеристики диполя
	q	l	–q	Заряд диполя q — модуль заряда каждой из частиц (по-
				люсов) диполя.
		,
		Рис. 20.9

56 Полупроводники — диэлектрики с относительно высокой удельной электропроводностью. Сведения о природе и свойствах полупроводников см. в ПАРАГРАФЕ 6.6.

165

Плечо диполя l — расстояние между полюсами.

Дипольный момент — векторная характеристика:

p	ql	, pe Кл м.
e

Вектор дипольного момента направлен от отрицательного полюса к положительному.

Будем рассматривать жёсткий диполь, т. е. для которого l = const.

2. Электрическое поле диполя (без вывода)

Рассмотрим точечный диполь, т. е. диполь на расстояниях r >> l.

Методом суперпозиций можно получить следующие результаты:

потенциал [при φ(∞) = 0]

			φ	p cosα			,
					e
				4πε r		2
					0
α — угол между pe	и r	— показан на РИС. 20.10;
модуль напряжённости электрического поля
			p				2
		E	e
			4πε r	3	3cos α 1 .
			0

A

	q	α	–q
		O
	Рис. 20.10

3. Диполь в электростатическом поле

а) Однородное поле

α

Пусть в пространстве имеется однородное элек-

трическое поле, напряжённость поля E . Диполь расположен под углом α к силовым линиям поля

(РИС. 20.11).

Сила, с которой поле действует на диполь

		F F F 0	,
так как F F		. Но момент пары сил		F	и F

Рис. 20.11

рисунка, например, оси z,

M M M 0

. Выразим этот момент относи-

тельно любой оси, перпендикулярной плоскости проходящей через отрицательный полюс диполя:

Mz

F lsinα qElsinα p E sinα
	e

M p E			.
	e

;

В однородном электрическом поле диполь разворачивается вдоль силовых линий.

166

б) Неоднородное поле

В этом случае F F

(РИС. 20.12)

, диполь не только разворачивается вдоль силовых линий, но

и втягивается в область более сильного поля. Равнодействующая

F qE

qE

q

E

E

qlcosα

E

e

E

i

e

i

x

p cosα

x

x

p E

F grad pe E

(плечо диполя много меньше размера неоднородности поля).

x

α

	e
grad	p E

,

(20.2)

Рис. 20.12

в) Энергия диполя в электрическом поле

Рассмотрим диполь в однородном электрическом поле энергия диполя

W W		W	qφ	qφ	q φ	φ	qEl
п	п	п

Wп pe E .

Так как F gradWп , из этого выражения получается,

мула (20.2).

(РИС. 20.11). Потенциальная

pe E peE cosα ,

что F grad pe E , т. е. фор-

График зависимости потенциальной энергии диполя от угла между дипольным мо-

ментом и напряжённостью электрического поля представлен на РИС. 20.13.

Диполь находится в положении равновесия при F 0, т. е. в точках экстремума по-

	тенциальной энергии:
	Wп	α = 0 — устойчивое равновесие;
		α = π — неустойчивое равновесие.

0	π	α

Рис. 20.13

167

Лекция 21

3.3.3. Электрическое поле в диэлектриках

1. Типы поляризации диэлектрика

	Молекулы диэлектрика
полярные	неполярные
H2O, HCl	H2, N2, полимеры и т. д.

В отсутствие внешнего электрического поля:

При наличии внешнего электрического поля:

	Диполи разворачиваются вдоль поля		Молекулы поляризуются —
	— ориентационная поляризация.		электронная поляризация.
	–	+	+	–	+
			–

Напряжённость электрического поля в веществе — это напряжённость усреднён-

ного поля, созданного как свободными (напряжённость поля							E0	), так и связан-
ными (E		) зарядами:
			E E	0	E	.

Напряжённость поля связанных зарядов направлена против поля свободных зарядов, поэтому E < E0.

2. Вектор поляризации (поляризованность)

Поляризованность — векторная характеристика поляризации вещества, равная сумме дипольных моментов молекул вещества, занимающего единичный объём:

P	pe	,	(21.1)
	V

P Клм2 .

Дипольный момент молекулы параллелен и пропорционален напряжённости электрического поля:

p ε βE		,	(21.2)
e	0

где β — поляризуемость молекулы. Подставим (21.2) в определение (21.1):

P pe N ε0βE ε0nβE ,

V V

168

здесь N — число молекул, n — их концентрация. Обозначим

æ nβ

— диэлектрическая восприимчивость вещества;

P ε æE	.
0

Связь поляризованности с поверхностными поляризационными (связанными) зарядами

Рассмотрим диэлектрик — образец цилиндрической формы, помещённый в однородное электрическое поле (напряжённость этого поля — поля свободных зарядов

— равна

E0

). Молекулы либо разворачиваются, либо «растягиваются» вдоль поля.

При этом внутри диэлектрик по-прежнему электронейтрален. На торцах образца появляются нескомпенсированные заряды. Такой образец эквивалентен большому диполю.

а) Торцы образца перпендикулярны

E0

(РИС. 21.1)

–	+	–	+	–	+
–	+	–	+	–	+	S
–σ′ –	+	–	+	–	+	σ′

H

Рис. 21.1

где V = SH — объём образца.

На рисунке H — ширина образца, S — площадь торцевых поверхностей, σ′ — поверхностная плотность связанных зарядов57. Заряды торцевых поверхностей

Q σ S , Q σ S ;

модуль дипольного момента образца pe QH σ SH

(Q = Q+);

модуль поляризованности

	p		σ SH
P	e			σ		,
	V		SH

57 Здесь и далее в этом разделе штрихом обозначаются связанные заряды, без штриха – свободные заряды. В «живой» лекции может быть целесообразно вместо этого писать верхние или нижние индексы, например, σсвяз и ρсвоб.

169

б) Торцы образца не перпендикулярны

S	–		+
	–		+
	–	+	·	α
–σ′ –		+	σ′

H

Рис. 21.2

E0		(РИС. 21.2)
		Пусть напряжённость электрического
		поля свободных зарядов направлена под
		углом α к нормали к торцам образца. Ди-
		польный момент образца выражается
		той же формулой, что и в предыдущем
		случае:
				pe
					QH σ SH .
		Объём образца — косоугольного цилин-
		дра
				V SH cosα .
		Поэтому
			P	σ	σ Pcosα P ,
				cosα	n
	σ P				(21.3)
		n

— нормальная проекция поляризованности у поверхности диэлектрика равна поверхностной плотности связанных зарядов.

Демонстрации: 1) Модели диэлектрика

2)Диэлектрик в электрическом поле

3.Теорема Остроградского-Гаусса для электрического поля в диэлектрике

а) Теорема Остроградского-Гаусса для вектора поляризации

– +

– +

0S

Проведём внутри нейтрального диэлектрика, находящегося в электрическом поле, замкнутую поверхность S (РИС. 21.3). Эта поверхность «разрежет» диполи молекул.

Разобьём диэлектрик на малые объёмы Vi, а поверхность S — на малые площадки Si и найдём связанный заряд, охваченный поверхностью S:

	q				i i			i	i	,
			S		ρ V	S		σ S	S

Рис. 21.3	здесь ρ′ — объёмная плотность связан-
	ных зарядов. Первое слагаемое в правой

части этого равенства равно нулю, так как диэлектрик в целом электронейтрален. Поверхностная плотность связанных зарядов во втором слагаемом отличается от σ′ в выражении (21.3) тем, что это плотность зарядов не на внешней границе диэлектрика, а на воображаемой внутренней границе. При напряжённости электрического поля, направленной так, как показано на рисунках 21.2 и 21.3, связанные заряды на внешней границе справа — положительные, а на внутренней — отрицательные. Поэтому направление вектора поляризации фрагмента образца, попадающего внутрь поверхности S, будет противоположным и Pn σi ,

q S Pni Si S Pi Si S .