2 семестр / Лекции по физике. Лубенченко

50

3. Внешние силы не скомпенсированы

	dP
		dt

F	e

0

, но проекция главного век-

тора внешних сил на какое-либо направление равна нулю:

F	e	0
x

dPx dt

0

Px const

— проекция импульса механической системы на это направление (ось x) остаётся неизменной с течением времени.

ПРИМЕР

Пружинная пушка

Пушка массы M стоит на горизонтальных рельсах и стреляет в горизонтальном направлении снарядом массы m, вылетающим со скоростью v (РИС. 5.3). Найти скорость пушки после выстрела.

m				Рассмотрим механическую систему пушка-
				снаряд. Будем работать в лабораторной си-
M
			x	стеме отсчёта.
				Считаем, что в момент выстрела сохраня-
Рис. 5.3				ется проекция импульса системы на гори-
				зонтальное направление (Px = const); изме-

нением импульса системы под действием трения пушки о рельсы пренебрежём. Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось x:

0

получим

	mv Mu
	u	mv	.
		M

;

Чем массивнее снаряд, тем больше начальная скорость пушки и расстояние, на которое она откатится после выстрела. Проверим это экспериментально.

Демонстрация: Пружинная пушка

1.7. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса

1.7.1. Момент импульса

Момент импульса — векторная величина (псевдовектор), характеризующая инертность тела в движении.

1. Момент импульса материальной точки относительно точки

Момент импульса материальной точки относительно точки (полюса) равен векторному произведению радиуса-вектора этой точки на её импульс (РИС. 5.4):

L rp .

2. Момент импульса материальной точки относительно оси

Момент импульса материальной точки относительно оси:

L rp z k .

51

Вектор момента импульса относительно оси всегда направлен вдоль этой оси;

направление определяется по правилу правого винта. (На РИС. 5.5		p	лежит не в
плоскости чертежа.)
	z
m
	O	m
O
Рис. 5.4	Рис. 5.5

3. Момент импульса механической системы

Момент импульса механической системы равен сумме моментов импульсов тел

(материальных точек), составляющих эту систему:

L	i
	L

.

(5.5)

4. Момент импульса твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

z

Пусть твёрдое тело вращается вокруг оси z с угловой скоро-

стью ω (РИС. 5.6). Разобьём тело на малые фрагменты массами

,

mi, отстоящие от оси z соответственно на расстояния ri и

имеющие скорости vi

и импульсы

pi

Момент импульса i-го

фрагмента

.

Oi

Li ri ,Δpi

mi

Момент импульса тела по определению (5.5)

L

Li ri

,Δpi

ri ,Δmi vi

ri ,Δmi

ωri

mi

Рис. 5.6

ωri2

ri ωri ω miri2 Iω.

0

I

Здесь учтено, что vi

. Мы получили результат, совпада-

ωri

ющий с определением (5.4).

5. Момент импульса твёрдого тела, совершающего плоское движение

r

P

L

L

,

C

C

где rC — радиус-вектор центра масс тела, P – импульс тела; LC IC ω — момент им-

пульса, соответствующий вращению тела вокруг оси, проходящей через центр масс тела перпендикулярно плоскости его движения, IC — момент инерции тела относительно этой оси.

52

Доказательство

Разобьём тело на малые фрагменты массами mi. По определению (5.5)

L

Li

		r ,Δp
		i	i

			r ,Δm v
			i	i i



,

	где ri	— радиус-вектор i-го фрагмента, vi — его скорость, pi — его импульс. Пред-
	ставим (ср. РИС. 3.4)
		ri rC ρi vi vC ui ,
	где rC	— радиус-вектор центра масс тела, ρi — радиус-вектор, проведённый из
			dρ
	центра масс к i-му фрагменту, vC — скорость центра масс, ui		i			ωρi		— ско-
			dt

рость i-го фрагмента относительно центра масс, ω — угловая скорость тела. Таким образом,

L rC ρi , mi vC

ui mi rC

vC

rC ui

ρi vC

ρi ui

ρi ,vC

rC vC

mi rC , mi ui

mi

ρi ,Δmi ui

dρ

0, т. к. точка C – центр масс

rC , mi

i

rC ,MvC

mi

ρi , ωρi

dt

d

2

2

rC P

rC ,

mi ρi

mi ωρi

rC P

ω mi ρi

dt

0

IC

r P I

ω, ч. т. д.

C

C

Здесь M — масса тела.

1.7.2. Закон сохранения момента импульса

Основное уравнение динамики вращательного движения

dL

M

e

,

dt

где Me — главный вектор моментов внешних сил. Если механическая система замкнута, то

Me 0 dLdt 0 L const .

Момент импульса замкнутой системы относительно любой неподвижной оси (либо точки) не изменяется с течением времени.

Если система не является замкнутой, но M	e	0	относительно некоторой оси — мо-

менты внешних сил равны нулю либо скомпенсированы, то момент импульса системы относительно этой оси не изменяется с течением времени.

53

ПРИМЕР

Скамья Жуковского

Скамья Жуковского представляет собой диск, который может вращаться вокруг вертикальной оси — оси симметрии — почти без трения. На скамье может стоять (или сидеть) человек и выполнять различные действия. Рассмотрим два опыта.

Демонстрация: Скамья Жуковского

Опыт 1

Экспериментатор стоит на скамье Жуковского, вращающейся с угловой скоростью

ω1

(РИС. 5.7А). В разведённых в стороны руках экспериментатор держит гантели.

Затем экспериментатор сводит руки так, что расстояние от гантелей до оси уменьшается (РИС. 5.7Б). Как изменится угловая скорость системы?

z	z

а

б

Рис. 5.7

На систему человек-скамья-гантели воздействуют следующие внешние объекты:

Земля с силой тяжести Fт

и опорная поверхность с силой реакции N

имеют нулевые моменты относительно вертикальной оси z:	M	e

тельно, момент импульса рассматриваемой механической системы этой оси сохраняется: L const .

. Обе эти силы

0 . Следоваотносительно

Момент импульса системы в начальном состоянии

L1

I	ω
1	1

,

где I1 — момент инерции системы относительно оси z в начальном состоянии (с разведёнными руками и гантелями).

Момент импульса системы в конечном состоянии

L2 I2ω2 ,

где I2 — момент инерции системы относительно оси z в конечном состоянии (со сведёнными руками и гантелями), ω2 — конечная угловая скорость.

54

Так как L1 L2 L ,

I	ω	I	ω
1	1	2	2

В проекции на ось z

.

I ω I ω
1	1	2	2

ω2	I ω
		1
	1
	I
	2

.

Так как I2 < I1 (в конечном положении гантели находятся ближе к оси), угловая скорость системы увеличивается.

Опыт 2

Экспериментатор стоит на неподвижной скамье Жуковского. Ему в руки дают ось колеса, вращающегося с угловой скоростью ω, направленную вертикально вверх (РИС. 5.8А). Затем экспериментатор поворачивает ось колеса вниз (РИС. 5.8Б).С какой угловой скоростью начнёт вращаться скамья?

z

z

а

б

Рис. 5.8

Момент импульса системы человек-скамья-колесо относительно вертикальной оси сохраняется по той же причине, что и В ПРЕДЫДУЩЕМ ОПЫТЕ.

Момент импульса системы в начальном состоянии

L1 I1ω1

,

где I1 — момент инерции колеса относительно его оси; ловой скорости колеса, ω1 = ω.

Момент импульса системы в конечном состоянии

L2 I1ω2 I2ω ,

ω1

— вектор начальной уг-

где I2 — момент инерции человека и скамьи относительно оси z, ω2 —вектор конечной угловой скорости колеса, ω2 = ω, ω — конечная угловая скорость скамьи.

Так как L1 L2

,

I	ω
1	1

В проекции на ось z

55

I	ω
1	2

I	ω
2

.

I ω I ω I ω
1	1	2

		2I ω
ω		I
		2

.

Скамья будет вращаться в направлении, совпадающем с начальным направлением вращения колеса.

56

Лекция 6

1.8. Работа и энергия

1.8.1. Кинетическая энергия

Кинетическая энергия — энергетическая характеристика движения; [Wк] = Дж (джоуль).

1. Кинетическая энергия материальной точки

Кинетическая энергия материальной точки равна произведению массы мате-

риальной точки на квадрат её скорости, делённый пополам:

mv2

Wк 2 .

2. Кинетическая энергия механической системы

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энер-

гий тел (материальных точек), составляющих эту систему:

					W	W	;		(6.1)
					к	кi
		Mv	2
	Wк			(M — масса системы, vC — скорость центра масс)!
		C
		2
								mv	2
	Кинетическая энергия поступательного движения тела: Wк								, где m — масса
								2

тела, v — модуль его скорости.

3. Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна произведению момента инерции тела на квадрат его угловой скорости, делённый пополам:

		Iω	2
W
к		2

.

Доказательство

Пусть твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью ω

(РИС. 5.6). Разобьём тело на малые фрагменты массой

mi. Вычислим кинетическую

энергию по определению (6.1) (с учётом того, что v ωr

):

i

i

W W

mi vi2

1

2 2

ω2

mr

2

Iω2

, ч. т. д.

2

2

m ω r

2

2

к

кi

i i

i i

4. Кинетическая энергия твёрдого тела, совершающего плоское26 движение

Теорема Кёнига: кинетическая энергия твёрдого тела, совершающего плоское движение, равна сумме кинетической энергии поступательного движения этого

26 Можно сформулировать эту теорему для общего случая сложного движения, если рассматривать второе слагаемое как кинетическую энергию вращения вокруг центра масс.

57

тела со скоростью, равной скорости центра масс тела, и вращения тела вокруг оси, проходящей через центр масс тела перпендикулярно плоскости движения:

		mv	2		I	2
W						ω
		C			C
к		2				2

Доказательство

.

Пусть твёрдое тело массы m совершает плоское движение. Разобьём тело на малые фрагменты массой mi. Вычислим кинетическую энергию тела по определению

(6.1):

						2		1
к		кi			m v
					i	i
W		W						2
					2

mi vC

i
u	2

,

где скорость i-го фрагмента

vi

vC

ui

,

ui

— скорость этого фрагмента относи-

тельно центра масс тела (см. ВЫВОД ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА ТВЁРДОГО ТЕЛА, СОВЕРШАЮЩЕГО ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ). Продолжим преобразования:

W	1
к	2

v

2

dρ

1

i C

i C i

i i

i C

i

C

i

2

2

m v u

2

m v

m

m v

m u

2

dt

2

2	2
m ω ρ
i	i

,

здесь ρi — радиус-вектор i-го фрагмента,

ω — угловая скорость тела. Очевидно,

проведённый из центра масс, и

mi m — массе тела. Далее:

	u	dρ
		i
	i	dt

;

2

d

2

2

к

mv

C

i i

ω

i

i

mv

C

C

W

v

m ρ

m ρ

2

2

dt

2

2

0, т. к. точка C — центр масс

IC

1.8.2. Работа и мощность

I	2
	ω
C
2

, ч. т. д.

Работа — скалярная физическая величина — энергетическая характеристика взаимодействия27;

[A] = Дж.

1. Элементарная работа

Элементарная работа равна скалярному произведению силы на элементарное (бесконечно малое) перемещение точки приложения этой силы (РИС. 6.1):

dA Fdl Fdlcos				l
		F ,dl		Fdl

.

Вектор элементарного перемещения всегда направлен по касательной к траектории; Fl — проекция вектора силы на это направление.

2. Работа

Работа равна сумме (интегралу) элементарных работ по траектории точки приложения силы:

27 Так как работа —– это характеристика взаимодействия, допустимо говорить «работа такого-то объекта», т. е. источника этого взаимодействия, и «работа силы», т. е. характеристики этого взаимодействия (первый вариант предпочтительнее); например, «работа гравитационного поля Земли» или «работа силы тяжести».

58

A		dA		Fdl		l	.
						F dl
	l		l		l

Здесь l — траектория точки B приложения силы (кривая 1-2 на РИС. 6.1); Графический смысл работы: площадь под кривой Fl(l) равна модулю работы силы

F

по траектории l (РИС. 6.2).

Fl

					A
B	α	l
1		2	0	1	2 l
	Рис. 6.1				Рис. 6.2

3. Работа при вращательном движении твёрдого тела

Пусть сила F приложена к точке B твёрдого тела, находящейся на расстоянии r от оси вращения z (РИС. 6.3А). Элементарная работа, которую совершает эта сила, ко-

гда тело совершает элементарное угловое перемещение dφ ,

dA Fdl Fdlcosα (см. РИС. 6.3Б).

z

O					z
	r	B
					r
					α
					B
		а			б
		Рис. 6.3
Модуль линейного перемещения точки B — длина малой дуги
		dl r dφ	;
		π			dφ Mzdφ ;
		dA Fr cosα dφ Fr sin		α
		2

dA Mdφ .

59

4. Мощность

Мощность — энергетическая характеристика взаимодействия (или тела, совершающего работу), равная скорости совершения работы;

[N] = Вт (ватт).

Средняя мощность равна отношению работы к промежутку времени, за который эта работа совершена:

N

A t

.

Мгновенная мощность равна мгновенной скорости совершения работы — производной работы по времени

	N	dA
		dt

.

Преобразуем это выражение с учётом определения элементарной работы:

где

v

	N	dA			Fdl
		dt			dt
			N F v

— скорость точки приложения силы.

,

F v

;

1.8.3. Теорема об изменении кинетической энергии

Изменение кинетической энергии механической системы равно сумме работ внешних и внутренних сил:

W	e	A	i
	A			.
к

Доказательство

Рассмотрим материальную точку массы m, которая

испытывает воздействие, описываемое силой

F .

Точка движется по кривой 1-2 (РИС. 6.4). Элементарная работа на перемещении dl

dA Fdl .

С учётом того, что dl vdt , где v — скорость материальной точки, работа по перемещению точки по траектории 1-2

2	t2
A Fdl F vdt ,
1	t1

m

t1

1			t2
	2
	Рис. 6.4

где t1 и t2 — моменты времени, в которые материальная точка проходит соответственно положения 1 и 2.

По II закону Ньютона F ma , а ускорение a ddtv , поэтому

t2

t2

dv

v2

mv2

v2

mv2

mv2

Wк2 Wк1 Wк

A mavdt m v

dt m vdv

2

1

t

1

t

1

dt

v

2

v

2

2

1

1