- •Глава 3. Однофазные электрические цепи синусоидального тока
- •Периодические переменные эдс, напряжения и токи
- •3.2. Явление электромагнитной индукции
- •3.3. Явление самоиндукции и эдс самоиндукции. Индуктивность
- •3.4. Источник синусоидальной эдс
- •3.5. Волновые диаграммы токов и напряжений
- •3.6. Действующее и среднее значения синусоидального тока
- •3.7. Изображение синусоидальных эдс, напряжений и токов вращающимися векторами
- •3.8. Законы Кирхгофа для электрической цепи синусоидального тока
- •3.9. Особенности электрических цепей переменного тока
- •3.10. Электрическая цепь с активным сопротивлением
- •3.11. Электрическая цепь с индуктивностью
- •Электрическая цепь с ёмкостью
- •3.13. Электрическая цепь с последовательным соединением сопротивления, индуктивности и ёмкости
- •3.14. Резонанс напряжений
- •2. Расчёт цепи при резонансе напряжений.
- •3.15. Эквивалентные схемы пассивных двухполюсников переменного тока
- •3.16. Электрическая цепь с параллельным соединением приёмников
- •3.17. Резонанс токов
- •3.18. Компенсация сдвига фаз
- •3.18. Комплексный метод расчёта цепей синусоидального тока
- •3.18.1. Общие сведения о комплексных числах
- •3.18.2. Изображение синусоидальных напряжений и токов комплексными числами
- •3.18.3. Закон Ома в комплексной форме
- •3.18.4. Комплексное сопротивление и комплексная проводимость
- •3.18.5. Законы Кирхгофа в комплексной форме
- •3.18.6. Определение мощности по комплексным напряжению и току
- •3.18.7. Применение методов расчёта цепей постоянного тока к расчёту цепей синусоидального тока
- •1. Классический метод.
- •2. Символический (комплексный) метод.
- •Важнейших открытий XIX века, заложивших фундамент «Теоретических основ электротехники»
- •Важнейших изобретений XIX, начала XX века в области электротехники
- •3.2. Явление электромагнитной индукции __________________________ 75
- •Часть 1. Линейные и нелинейные электрические цепи постоянного тока. Однофазные цепи синусоидального тока.
3.14. Резонанс напряжений
Рассмотрим идеальный колебательный контур из последовательно соединённых конденсатора и катушки
индуктивности без потерь
(рис. 3.26). Если предварительно
Рис. 3.26 заряженный конденсатор вклю-
чить к катушке индуктивности, то
конденсатор будет разряжаться на катушку: энергия электрического поля конденсатора будет уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки будет увеличиваться до тех пор, пока конденсатор полностью не разрядится. После этого катушка начнёт разряжаться на конденсатор. В результате в контуре возникнут незатухающие синусоидальные колебания тока с частотой
, (3.85)
где 0 называется угловой частотой собственных незатухающих колебаний.
Если такой контур подключить к источнику синусоидального напряжения с частотой , которая называется частотой вынужденных колебаний, то при равенстве частот свободных и вынужденных колебаний = 0 в цепи возникнет электрический резонанс.
При последовательном соединении L, С и источника питания возникает резонанс напряжений, при параллельном соединении – резонанс токов.
Рассмотрим резонанс напряжений в реальной цепи (с учётом потерь), схема которой представлена на рис. 3.21. Установим соотношение между параметрами цепи при резонансе.
Из выражения (3.85) имеем:
,
откуда или XL =XC, (3.86)
т. е. резонанс напряжений возникает при равенстве индуктивного и ёмкостного сопротивлений. Из равенства (3.86) следует, что резонанс напряжений может быть достигнут при изменении одной из трёх величин , L, С при постоянстве двух других величин: ; ; , где L0 , С0 ,0 индуктивность, ёмкость и угловая частота при резонансе напряжений.
Определим ток, напряжение и другие величины при резонансе напряжений.
Полное сопротивление цепи
, так как XL = XC .
Следовательно, при резонансе напряжений полное сопротивление цепи имеет минимальное значение, равное активному сопротивлению R.
Ток в цепи при резонансе
имеет максимальное значение.
Угол сдвига фаз при резонансе
,
т. е. напряжение на входе цепи и ток при резонансе совпадают по фазе, так как цепь имеет активный характер.
Напряжение на участках цепи следующее:
активное напряжение
,
равно полному напряжению цепи;
индуктивное напряжение
;
ёмкостное напряжение
;
т. к. при резонансе XL = XC , то UL = UC .
Величина напряжений UL = UC в зависимости от соотношений может значительно превышать напряжение на входе цепи U, если XL = XC R.
Векторная диаграмма тока
Рис. 3.27 и напряжений при резонансе
изображена на рис. 3.27 при
UL = UC U. Из векторной диаграммы и приведённых выше соотношений следует, что при резонансе напряжений индуктивное и ёмкостное напряжения компенсируют друг друга. Поэтому реактивное напряжение UX = UL UC = 0; цепь при резонансе, несмотря на наличие в ней L и C, ведёт себя как цепь с активным сопротивлением.
Индуктивное и ёмкостное сопротивления при резонансе
, (3.87)
называется характеристическим (волновым) сопротивлением резонансного контура.
Отношение (3.88)
называется добротностью контура, а величина, обратная q – затуханием контура
. (3.89)
Энергетические соотношения при резонансе имеют ряд особенностей. Определим мгновенные значения энергии магнитного поля катушки WL и энергии электрического поля конденсатора WС при токе , тогда на основании (3.64) :
; (3.90)
. (3.91)
Суммарная энергия магнитного и электрического полей
,
так как амплитуды тока Im и напряжения UСm являются постоянными величинами.
Так как на основании (3.87)
,
то . (3.92)
Таким образом, сумма энергий магнитного и электрического полей с течением времени не изменяется. Уменьшение энергии электрического поля сопровождается увеличением энергии магнитного поля и наоборот. Происходит полный обмен энергиями между конденсатором и катушкой. Источник энергии только покрывает потери в активных сопротивлениях катушки и конденсатора. Поэтому для источника питания вся цепь эквивалентна активному сопротивлению.
Частотные характеристики. Рассмотрим важный для практики режим, когда синусоидальное напряжение на зажимах цепи постоянно, а угловая частота изменяется от 0 до .
Ток в цепи
п ри = 0 I = 0, так как ёмкостное сопротивление ; при максимальный; при I = 0, так как (рис. 3.28). Аналогично изменяется активное напряжение UR = IR. Напряжения UL и UC при равны между
собой по значению. Индук-
тивное напряжение UL = IL,
равно нулю при = 0; с увеличением частоты UL возрастает до тех пор, пока ток не начнёт уменьшаться быстрее, чем возрастает частота. После этого UL резко уменьшается, стремясь к напряжению источника U. Максимального значения UL достигает при частоте L.
Рис. 3.28 Ёмкостное напряжение
при = 0 равно
напряжению источника U; с увеличением частоты UC возрастает пока увеличивается ток, достигает максимума при частоте С, затем уменьшается, стремясь к нулю.
Из графика (рис. 3.28) видно, что максимумы напряжений UC и UL имеют место при частотах не равных резонансной частоте. Из уравнений и можно рассчитать частоты, при которых UL и UC будут максимальными.
Угол сдвига фаз при частоте = 0 , при и при .
Таким образом, при резонансе напряжений в электрической цепи напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе могут значительно превышать напряжения на входе цепи, что может привести к нежелательным последствиям, в частности, к перенапряжениям, опасным для изоляции элементов цепи.
Пример 3.1. Рассчитать электрическую цепь (рис. 3.29) с последовательным соединением катушки индуктивности с сопротивлением R = 28 Ом и индуктивностью L = 0,1 Гн и конденсатора ёмкостью С = 50 мкФ при синусоидальном входном напряжении u = 141Sin(314t+30) В. Определить ёмкость конденсатора, при которой в цепи наступит резонанс напряжений; произвести расчёт цепи при резонансе.
Р е ш е н и е. 1. Расчёт цепи до резонанса.
1.1. Определение сопротив-лений отдельных участков и всей цепи. Активное сопротивление катушки задано R = 28 Ом. Индуктивное сопротивление катушки
Рис. 3.29 ; угловая частота
известна = 314 с-1;
Ом. Полное сопротивление катушки
Ом.
Ёмкостное сопротивление конденсатора (ёмкость выражаем в фарадах С = 50 мкФ =50 10-6 Ф)
Ом.
Реактивное сопротивление цепи
X = XL XC = 31,4 – 63,69 = 32,29 Ом (знак минус показывает, что в цепи преобладает ёмкостное сопротивление).
Полное сопротивление цепи
Ом.
1.2. Расчёт действующих и максимальных значений тока и напряжений на отдельных участках цепи.
Действующее значение тока определяем по закону Ома:
,
где U действующее значение напряжения находим по заданному максимальному значению Um = 141 В,
В,
тогда ток
А.
Амплитуда тока А.
Активное напряжение
В;
В.
Индуктивное напряжение
В;
В.
Полное напряжение катушки
В;
В.
Ёмкостное напряжение конденсатора
В;
В.
Реактивное напряжение цепи
В;
В.
Проверка правильности расчёта тока и напряжений по напряжению:
В.
1.3. Расчёт мгновенных значений тока и напряжений.
Общее выражение мгновенного значения тока , где i, начальная фаза тока, определяется по углу сдвига фаз , т. е. .
Угол сдвига фаз находится из треугольника сопротивлений (рис. 3.23):
,
( 0, что показывает на ёмкостный характер цепи),
тогда .
Мгновенное значение тока
, А.
Мгновенное значение активного напряжения по фазе совпадает с током
, В.
Мгновенное значение индуктивного напряжения опережает ток на 90
В.
Мгновенное значение напряжения катушки
,
начальная фаза напряжения катушки, определяется по углу сдвига фаз катушки
, т. е. ;
;
; , В.
Мгновенное значение напряжения на ёмкости отстаёт от тока на 90
, В.
1.4. Расчёт активной, реактивной и полной мощности цепи.
Активная мощность
Вт.
Реактивная мощность
вар,
(знак «» у реактивной мощности показывает, что цепь имеет ёмкостный характер).
Полная мощность
В А.
Рис. 3.30
Проверка по мощности:
ВА.
По результатам расчёта мгновенных значений тока и напряжений строим волновую диаграмму (рис. 3.30).
Векторная диаграмма (рис. 3.31) построена по результатам расчёта действующих значений тока и напряжений. В качестве исходного вектора принят вектор тока, который является общим для всех элементов цепи (рис. 3.29). Вектор UR совпадает с вектором тока I, вектор UL опережает вектор I на 90; поэтому из конца вектора UR проводим под углом 90 в сторону опережения вектора I вектор UL. Так как напряжение на ёмкости
UС отстаёт от тока I на 90, из конца вектора UL проводим под углом 90 к вектору I в сторону отставания от него вектор UС.
При построении векторной диаграммы напряжений мы суммировали векторы UR, UL и UС, поэтому результирующий вектор, направленный из начала UR в конец UС, является вектором напряжения U, отстающим от вектора I на угол .
Вектор напряжения на катушке UК, равный сумме векторов UR и UL, опережает вектор тока на угол К.
На диаграмме векторы
напряжений UR, UL и UС
следуют в том же порядке, что
и соответствующие элементы цепи R, L и С, поэтому такая векторная диаграмма называ-ется топографической.