11.5.2. Короткое замыкание цепи r, l

О пределим начальные условия для схемы рис.11.5. До коммутации по катушке протекал постоянный ток . Непосредственно после коммутации в соот-

ветствии с первым законом коммутации

Рис. 11.5 , т. е. начальное значе-

ние тока в индуктивности .

Составляем дифференциальное уравнение для схемы рис. 11.5 после коммутации:

,

т.е. переходный процесс при коротком замыкании цепи R, L описывается однородным уравнением, следовательно принужденный ток (или ток установившегося режима) равен нулю ( = 0). Тогда ток переходного процесса равен свободному току

,

который определен в п.11.5.1,

.

Постоянную интегрирования А найдем из начальных условий, подставив в выражение тока переходного процесса t = 0, :

.

Окончательно получаем:

, (11.14)

где   постоянная времени, .

Определим напряжения переходного процесса на R и L:

. (11.15)

. (11.16)

Таким образом, при t = 0_ , а при t = 0₊ , т.е. напряжение на индуктивности изменяется в момент комму-тации скачком (рис.11.6), а ток i

изменяется плавно от I₀ до нуля.

О пределим энергию, расходу-емую на нагрев сопротивления R

катушки за время переходного

Рис. 11.6 процесса от 0 до :

.

Таким образом, эта энергия равна запасенной энергии в магнитном поле катушки до короткого замыкания цепи.

Переходный процесс будет протекать аналогично и в случае к.з. цепи R, L переменного тока, но тогда начальное значение тока I₀ будет равно мгновенному значению тока цепи в момент короткого замыкания.

11.5.3. Включение цепи r, l на постоянное напряжение

Н ачальные условия для цепи рис.11.7: до коммутации цепь была отключена от источника питания, поэтому ток . По первому закону коммутации . Следовательно, нача-

Рис. 11.7 льное значение тока в цепи .

Дифференциальное уравнение для тока

переходного процесса после коммутации:

. (11.17)

Его решение находим в виде суммы принужденного и свободного токов:

.

В установившемся режиме при постоянном на входе напряжении , тогда из уравнения (11.17) имеем:

, откуда .

Для определения свободного тока запишем однородное дифференциальное уравнение, приравняв правую часть уравнения (11.17) к нулю:

.

Для этого уравнения свободный ток определен в п. 11.5.1 (11.13):

.

Определим ток переходного процесса:

. (11.18)

В этом уравнении не известна постоянная интегрирования А, которую найдем из начального условия, подставив в уравнение (11.18) , :

, откуда .

Подставив в уравнение (11.18) значение А, получим окончательное выражение для тока переходного процесса цепи (рис.11.7):

. (11.19)

Из выражения (11.19) и графика (рис.11.8) видно, что ток переходного процесса постоянно нарастает по экспоненте до своего установившегося значения I₀ и тем медленней, чем больше постоянная времени .

Определим напряжения переходного процесса:

Рис. 11.8 ; (11.20)

. (11.21)

Из выражений (11.20), (11.21) и графика (рис.11.8) видно, что в первый момент после коммутации напряжение цепи целиком сосредотачивается на индуктивности и затем с увеличением t постепенно переходит на сопротивление R.