- •Билет 3
- •Билет 4
- •Билет 9
- •Билет 10
- •Билет 11
- •Билет 12
- •Билет 13
- •14 Билет
- •Билет 15
- •Билет 17 Билет 19
- •Билет 20
- •Билет 21 Теоремы Вейерштрасса для непрерывных функций на отрезке
- •Билет 22
- •Билет 25
- •Билет 26
- •Билет 29
- •Билет 30
- •1. Производная в точке.
- •2. Дифференцируемость в точке.
- •Билет 31
- •Билет 35
- •Билет 36
- •Билет 37
- •Билет 38
- •Формулы асимптотики
Матанализ, 1 курс, 1 семестр, КБ-101, билеты
Билет 3
Единственность предела сходящейся последовательности.
Определение предела:
an сходится, если найдётся a, к которому стремится an
Теорема:
Если {an} – сходится, то её предел единственный.
Доказательство:
Пусть an→a, an→b>a
ε = (b-a)/3 >0
поε >0
по ε >0
n0>max{N1,N2}=N;N≥N1,N≥N2; (n>N1)^(n>N2)
n0>N1,n0>N2
Определение 1:
при {an} – ограничено ;an€ [m;M]
Определение 2:
{an} – ограничено, если
Определение 3:
{an}– сходится, если
{an} – ограничена, если
Опр2 =>Опр3
Опр3=> Опр2
M = max {M0, |a1|, |a2|,…,|an-1|}>0
Берём
n<N : |an| ≤ M
n≥N : |an| ≤ M0 ≤ M
Билет 4
Теорема об ограниченности
Если {an}- сходится, то {an} – ограничена. Обратное неверно
Доказательство:
ε=1;an→a
поε>0
| an| - |a| ≤ |an - a| < 1
| an| - |a| < 1
| an| < 1 + |a|
{an}ограничена по Опр3
Теорема:
Пусть {an} – монотонна, тогда {an} – ограничена <=> {an} сходится
Доказательство:
Необходимость – следует из теоремы об ограниченности
Достаточность – из теоремы о полноте R(изV)
Билет 5
Теорема о сохранении знака:
an→a>0, тогда
Доказательство:
ε = a/2>0 , тогда и an > a/2
Билет 6
Теорема о переходе к пределу в неравенстве для двух последовательностей:
{an}, {bn},
lim an = a, lim bn = b, тогда lim an ≤ lim bn
Доказательство:
От противного:
Пусть a>b
ε= (a-b)/2 > 0
по ε > 0
по ε > 0
n0 > N = max {N1, N2}; n0 > N1, n0 > N2
an0 > a – ε = a – (a-b)/2 = (a+b)/2 = (2b+a-b)/2 = b+(a-b)/2 = b+ε > bn0
то есть an0 >bn0. Противоречие!
Билет 7
Теорема о 3-х последовательностях:
{an}, {bn}, {cn}
: an ≤ cn ≤ bn
lim an = lim bn = a, тогда cn → a
Доказательство:
поε> 0
по ε> 0
N = max {N1, N2}
Берём любое n>N ; n>N1, n>N2
a - ε < an ≤ cn ≤ bn < a+ ε, то есть a – ε < cn < a + ε
Билет 8
Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.
Определение:
Последовательность {αn}называется бесконечно малой, если αn→0 при n→+∞. Развернутое определение:
Определение:
Последовательность{βn} называется бесконечно большой, если Этот факт будем записывать так: при или
Теорема.
Последовательность {αn}, (αn ≠ 0) является бесконечно малой последовательностью тогда и только тогда, когда последовательность является бесконечно большой.
Доказательствоследует из того факта, что неравенство |αn|<εравносильно неравенству , и определений бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей. (Берем)
Билет 9
Свойства бесконечно малых последовательностей:
Сумма и разность бесконечно малых последовательностей и есть бесконечно малая последовательность.Доказательство.Возьмем произвольное . Для него Тогда
Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.Доказательство.Из ограниченности следует существование числа такого, что для всех . Следовательно, при любом положительном для положительного существует номер такой, что для всех . Поэтому для этихn>N имеем. Следовательно, по определению Коши, при .
Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы существовали число и бесконечно малая последовательность такие, что для всех выполнялось равенство .Доказательство.Необходимость. Пусть при . Рассмотрим , тогда из определения сходимости следует, что при .Достаточность. Если , то из того, что - бесконечно малая последовательность и следует, что при .