Министерство образования Российской федерации
ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет–УПИ»
Факультет экономики и управления
Кафедра моделирования управляемых систем
Теоретические вопросы для подготовки к экзамену по математике (1 курс, 1 семестр)
Предел функции в точке. Геометрическая интерпретация.
Первый замечательный предел для функций.
Предел функции в бесконечности. Геометрическая интерпретация.
Второй замечательный предел для функций. Задачи.
Односторонние пределы. Теорема о существовании предела функции в точке.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции (примеры). Их свойства.
Свойства пределов функции в точке: теорема о единственности предела; теорема об ограниченности функции, имеющей предел; теорема о неравенстве пределов; теорема о промежуточной функции.
Арифметические свойства пределов функции.
Сравнение функций. Теоремы об эквивалентных функциях.
Непрерывность функции в точке и на отрезке. Свойства непрерывных функций.
Классификация точек разрыва (с примерами). Определение монотонной и ограниченной функций. Задачи.
Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности функции, непрерывной на отрезке). Формулировка.
Понятие односторонней непрерывности. Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении точных верхней и нижней граней непрерывной на отрезке функции). Формулировка.
Теорема Больцано-Коши о нуле непрерывной функции. Ее следствия.
Производная функции в точке. Геометрический смысл. Связь с существованием касательной. Уравнения касательной (и нормали).
Понятие дифференцируемости функции в точке. Связь с существованием производной и со свойством непрерывности функции в точке.
Правила вычисления производных суммы; произведения и частного.
Дифференцирование сложной функции.
Дифференцирование обратной функции. Вывести формулы для производных обратных тригонометрических функций.
Понятие первого дифференциала. Геометрический смысл. Дифференциал и приближенные вычисления.
Производные высших порядков. Формула Лейбница. Задачи.
Монотонность функции в точке и на множестве. Достаточное условие монотонности функции в точке.
Определение точки локального экстремума. Теорема Ферма (необходимое условие локального экстремума).
Теорема Ролля о среднем. Геометрический смысл.
Теорема Лагранжа о среднем. Геометрический смысл.
Необходимое и достаточное условие монотонности функции на промежутке.
Правило Бернулли-Лопиталя. Задачи.
Формула Тейлора для многочленов.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Формула Тейлора для элементарных функций.
Различные формулировки достаточных условий локального экстремума функции в точке.
Понятие точки перегиба. Теорема о необходимом и достаточном условиях существования точки перегиба.
Асимптоты. Правило нахождения наклонных асимптот.
Первообразная и ее связь с неопределенным интегралом. Свойства неопределенного интеграла. Теорема о существовании неопределенного интеграла. Таблица интегралов.
Методы вычисления неопределенного интеграла: интегрирование по частям, замена переменной, интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен.
Интегрирование тригонометрических функций. Рационализирующие подстановки.