ПП 17. Комплексные числа.
Многочлены в комплексной области.
КОМПЛЕКСНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Основные определения и формулы
1.Комплексные числа
1.1. Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа
Мнимая единица
.
Алгебраической формой комплексного числа называется выражение вида:
.
Действительное число называется действительной частью комплексного числа , действительное число называется мнимой частью .
Комплексное число , если и .
.
1.2. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа
Комплексная плоскость:
Геометрическая интерпретация комплексного числа : точка
на комплексной плоскости или вектор .
Модуль комплексного числа:
Геометрический смысл модуля комплексного числа:
- расстояние от точки до начала координат;
- расстояние от точки до точки ;
- уравнение окружности с центром в точке и радиусом R;
- геометрическое место точек, равноудаленных от точек и .
Угол между радиус-вектором и положительным направлением оси OX называется аргументом комплексного числа z:
,
где – главное значение аргумента, .
Для числа аргумент не определён.
При этом аргумент комплексного числа определяется следующим образом:
Тригонометрическая форма записи комплексного числа:
,
т.к. , .
1.3. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа
Показательная форма комплексного числа:
,
.
Получается из формулы Эйлера:
(будет доказана позже, при изучении теории рядов).
Свойства :
10. - периодическая функция;
20. - значения функции лежат на окружности ;
30.
1.4. Действия над комплексными числами
, .
, если и .
, , , .
С геометрической точки зрения сложение (вычитание) комплексных чисел равносильно сложению (вычитанию) изображающих их векторов.
В алгебраической форме:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
В тригонометрической форме:
1) ;
2) .
Действия возведения в степень и извлечения корня удобнее производить над комплексными числами, записанными в тригонометрической или показательной форме:
(формула Муавра)
,
где .
Корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных значений:
,
,
,
………………………
.
Числа имеют одинаковый модуль, значения корня будут изображаться точками на одной окружности.
В показательной форме:
-
; 3) ;
-
; 4), .
Формулы Эйлера
, ,
, ,так как .
Действия сложения и вычитания производятся только в алгебраической форме, действия умножения и деления удобнее выполнять в показательной форме, а тригонометрическая форма используется как переходная от алгебраической к показательной и наоборот.
1.5. Комплексное сопряжение
Комплексные числа и называются сопряженными.
В показательной форме: , .
Свойства операции сопряжения:
1°. ;
2°. тогда и только тогда, когда - действительное число;
3°. ,
4°. ,
5°. ,
6°. .
1.6. Свойства операций сложения и умножения:
1°. ,
2°. ,
3° ,
4°. ,
5°. .
2. Многочлены в комплексной области.
Корни многочлена
Многочлен: , При многочлен называется приведённым.
Рациональная дробь:
.
При дробь называется правильной,
при дробь называется неправильной.
Неправильную дробь всегда можно разложить на сумму многочлена и правильной дроби:
.
Корнем многочлена называют число , удовлетворяющее уравнению
Теорема Безу. Остаток, получаемый при делении на (z-a), равен
Следствие. Для того чтобы многочлен делился на выражение без остатка, необходимо и достаточно, чтобы число было корнем этого многочлена: .
Если , - корень кратности .
Основная теорема алгебры многочленов
Любой многочлен при имеет хотя бы один корень (действительный или комплексный).
Следствия:
1). Каждый многочлен имеет ровно корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.
2). Всякий многочлен n-й степени разлагается на n линейных множителей вида и множитель, равный коэффициенту при : . Для случая кратных (повторяющихся) корней формула принимает вид: , здесь – корни кратности , , .
Комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами появляются сопряженными парами:
если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень кратности к, то он имеет и комплексно-сопряженный корень той же кратности.
Многочлен с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами:
, где .
Линейные множители соответствуют действительным корням кратности ; квадратичные множители
с действительными коэффициентами p, q и отрицательным дискриминантом соответствуют паре комплексно-сопряженных корней кратности .