Пп 10. Функции. Непрерывность основные определения и формулы Числовые множества
– множество натуральных чисел ;
– множество целых чисел ;
– множество рациональных чисел вида ;
– множество иррациональных чисел .
– Множество действительных (вещественных) чисел, .
носится к установлению соответствия между элементами двух множеств.
Если задано правило , по которому каждому элементу из множества поставлен в соответствие единственный элемент из множества , то говорят, что на множестве задана функция , , . Множество называется областью определения функции (ООФ) и обозначается . Множество изменения функции называется областью значений функции (ОЗФ) и обозначается .
При нахождении области определения следует помнить, что:
; ; ;
; .
При аналитическом задании функция может быть определена:
1) явно - уравнением вида ;
2) неявно - уравнением вида ; Уравнение может определять не одну, а несколько функций вида . Так, уравнение определяет две функции: и .
3) параметрически – .
Функция с симметричной относительно нуля областью определения называется четной, если для любого выполняется равенство .
Из определения четной функции следует, что ее график симметричен относительно оси ординат. Например, функции , являются четными, их графики имеют вид:
Функция с областью определения называется нечетной, если для любого выполняется равенство .
График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Например, функции и являются нечетными, их графики имеют вид:
Функция не является ни четной, ни нечетной, так как .
Функция называется периодической, если существует такое число , что для любого выполнены условия: 1) ; 2) .
Число называется периодом функции .
Если – период, то тоже является периодом:
,
а также
, , .
Наименьший положительный период называется основным периодом данной периодической функции.
Основной период функций , равен , а функций , равен . Период функций и равен . Функция основного периода не имеет, так как при любом , в том числе и при .
Функция называется ограниченной на множестве , если
.
Например, функция ограничена на всей числовой оси; ограничена на любом промежутке конечной длины, но не ограничена на всей области определения .
Функция называется ограниченной сверху (снизу) на множестве , если ; ( ).
Например, ограничена снизу на всей области определения .
Точная верхняя (нижняя) грань множества значений функции на называется точной верхней (нижней) гранью функции на и обозначается ( ).
Например, , .
Если число ( ) принадлежит множеству значений функции на , то оно называется наибольшим (наименьшим) значением на и обозначается ( ).
Например, , не существует.
Пусть определена на множестве и множество .
Если :
- возрастающая на ;
- неубывающая на ;
- убывающая на ;
- невозрастающая на .
Все четыре типа в совокупности называются монотонными на , а возрастающие и убывающие - строго монотонными на .
Обратная функция. Сложная функция
Функция , , обратима, если каждое свое значение она принимает один раз, то есть для каждого существует только одно значение такое, что .
Для нахождения обратной функции нужно:
выразить через ;
поменять местами и .
Множество значений обратной функции совпадает с областью определения функции , а область определения обратной функции совпадает с множеством значений функции .
Графики функций и симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, то есть прямой .
Если и - функции одного переменного, то функция , определенная соотношением на области , называется сложной функцией или суперпозицией (композицией) функций и и обозначается .
Основные элементарные функции