Главы 7-8
.pdfа) |
б) |
в) |
г) |
д) |
е) |
Рис.8.10. Сечения цилиндрической поверхности: |
а, б, д – модели; |
б, г, е – натуральная величина |
|
149 |
|
8.2.3. СЕЧЕНИЯ КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Виды сечений конической поверхности плоскостями показаны на рис. 8.11. В зависимости от положения секущей плоскости линиями сечения конической поверхности могут быть: эллипс, парабола, гипербола, а в частных случаях: окружность, прямая, две пересекающиеся прямые и точка.
а)
б) |
в) |
Рис.8.11. Сечения конической поверхности (начало): а – схема расположения плоскостей; б – модель; в – натуральная величина
150
г) |
д) |
е) |
ж) |
з) |
и) |
Рис.8.11. Сечения конической поверхности (продолжение): г, е, з – модели; д, ж, и – натуральная величина
151
к) |
л) |
Рис.8.11. Сечения конической поверхности (окончание): к – модель; л – натуральная величина
Можно выделить следующие положения секущей плоскости:
–плоскость Ф пересекает все образующие поверхности конуса, т.
е. если φ>α, то линией сечения является эллипс (рис. 8.11, б, в). В частном случае (φ=900) такая плоскость пересекает поверхность конуса по окружности (рис. 8. 11, г, д) и сечение вырождается в точку, если плоскость проходит через вершину конуса;
–плоскость Ф параллельна одной образующей поверхности конуса, т.е. φ=α, то линией пересечения является парабола (рис. 8.11, е, ж). В частном случае (плоскость является касательной к поверхности конуса) сечение вырождается в прямую;
–плоскость Ф параллельна двум образующим поверхности конуса (в частном случае параллельна оси конуса), т.е. φ<α, то линией сечения является гипербола (рис. 8.11, з, и). В случае прохождения плоскости через вершину конической поверхности фигурой сечения могут быть сами образующие, т.е. гипербола вырождается в две пересекающие прямые
(рис. 8.11, к, л).
8.2.4. СЕЧЕНИЯ ТОРА
В общем случае плоскость пересекает тор по плоской кривой четвертого порядка.
При сечении тора плоскостью, параллельной оси тора получаются линии, которые в общем случае называются кривыми Персея (рис. 8.12).
152
а)
б)
в)
Рис.8.12. Сечения тора при расположении секущей плоскости параллельно оси тора (начало): а – модель; б – натуральная величина сечения в 1 зоне (от экватора до окружности радиусом R); в – натуральная величина сечения во 2 зоне (от окружности радиусом R до горла)
153
г)
Рис.8.12. Сечения тора при расположении секущей плоскости параллельно оси тора (окончание): г – натуральная величина сечения в 3 зоне (отверстие)
При данном расположении плоскости можно выделить 3 зоны:
–1 зона (от экватора до окружности радиусом R);
–2 зона (от окружности радиусом R до горла);
–3 зона (отверстие).
При расположении секущей плоскости в 1 зоне в сечении получа-
ются овалы, похожие на эллипсы (рис. 8. 12, а), во 2 зоне – овалы с суже-
нием по середине (рис. 8. 12, б), в 3 зоне – сечение распадается на 2 линии (рис. 8. 12, в). При частном расположении секущей плоскости (сечение Е-Е) получаются два симметрично расположенных круга.
Сечения тора плоскостью, непараллельной оси тора показаны на рис. 8.13.
Если секущая плоскость перпендикулярна оси тора, то сечением является круг с отверстием (рис. 8. 13, а).
При сечении тора плоскостью, касательной в двух точках (сечение З-З) получается кривая четвѐртого порядка – объединение двух окружно-
стей –окружности Вилларсо (рис. 8. 13, б).
В общем случае, при секущей плоскости наклоненной к оси тора могут быть получены спиритические кривые (от греческого слова спирит
– витой), которые имеют одну ось симметрии.
154
а) |
б) |
в) г)
Рис.8.13. Сечения тора при расположении секущей плоскости не параллельно оси тора (начало): а, в – модель; б, г – натуральная величина сечения
155
д) е)
Рис.8.13. Сечения тора при расположении секущей плоскости не параллельно оси тора: д – модель; е – натуральная величина сечения при секущей плоскости, расположенной под углом к оси тора
Рассмотрим решение задач по изучаемой теме.
Задача.
Построить натуральную величину плоского сечения.
Решение
а) сферы; |
б) цилиндра; |
156
в) конуса; |
г) конуса; |
д) конуса; |
е) конуса; |
157
ж) тора.
158