Главы 1-4

Задача 1.

Определить взаимное положение прямых.

Решение:

Прямые c и d , m и n параллельны, так как c 1 || d1 , c2 || d2 и n1 || m1 ,

n2 || m2 .

Прямые k и l , t и u пересекаются, так как точки пересечения одноименных проекций принадлежат одной линии связи.

Прямые a и b , p и q скрещиваются, так как отсутствуют признаки параллельности и пересечения.

Задача 2.

Пересечь прямые:

а) m и n горизонталью с высотой 15 мм; б) k и l фронталью с глубиной 20 мм;

в) а и b фронтально проецирующей прямой.

а)

б)

в)

41

Решение:

а)

б)

в)

Задача 3.

Определить конкурирующие точки на прямых а и b:

а) фронтально и горизонтально	б) фронтально и профильно
конкурирующие точки	конкурирующих точки

Решение:

42

	Задача 4.
Обвести ребра SC и AB пирамиды SAВC с учетом их видимости:
а) на П1 и П2	б) на П2 и П3

Решение:

3.6. ТЕОРЕМА О ПРОЕЦИРОВАНИИ ПРЯМОГО УГЛА. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ

Угол - геометрическая фигура, состоящая из двух различных лучей, выходящих из одной точки. Углом между прямыми называется меньший из двух углов между лучами, параллельными этим прямым. Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между прямой и еѐ проекцией на данную плоскость.

43

Рассмотрим ряд свойств ортогональных проекций плоских углов: 1. Если хотя бы одна из сторон прямого угла параллельна плоско-

сти проекций, а другая не перпендикулярна ей, то на эту плоскость прямой угол проецируется без искажения (теорема о проецировании прямо-

го угла).

Рис. 3.9. Теорема о проецировании	Рис. 3.10. Обратная теорема
прямого угла	о проецировании прямого угла

Дано: АВС 90о; ВС // П1; АС П1. Доказательство теоремы:

– продлим отрезок АС до пересечения с плоскостью П1 (рис. 3.9);

–получим горизонтальный след прямой – точку М = М1, одновременно принадлежащую прямой и ее проекции. Из свойства ортогонального проецирования следует, что ВС // В1С1;

– через точку М проведем прямую МD параллельно С1В1, она будет параллельна и СВ, а следовательно СМD 90о.

Согласно теореме о трех перпендикулярах С1МD 90о. Таким об- разом, MD А1С1 и MD // В1С1, следовательно, А1С1В1= 90о, что и тре- бовалось доказать. В случае когда АС П1 проекцией угла, согласно свойствам ортогонального проецирования, будет прямая линия.

2.Если проекция угла представляет угол 900, то проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что одна из сторон этого угла параллельна плоскости проекций (рис. 3.10).

3.Если обе стороны любого угла параллельны плоскости проекций, то его проекция равна по величине проецируемому углу.

44

4.Если стороны угла параллельны плоскости проекций или одинаково наклонены к ней, то деление проекции угла на этой плоскости пополам соответствует делению пополам и самого угла в пространстве.

5.Если стороны угла не параллельны плоскости проекций, то угол на эту плоскость проецируется с искажением.

Рассмотрим решение задач по изучаемой теме.

Задача1.

Определить, на каких чертежах прямые k и l перпендикулярны.

Решение:

Задача 2.

Провести прямую р через точку A, перпендикулярную прямой f и пересекающуюся с ней в точке В. А f '.

Дано:

Решение:

45

Задача 3.

Через точку А провести две прямые перпендикулярные к горизонтали h: прямую p пересекающуюся с h в точке В и прямую p′ скрещивающуюся с h.

Дано:

Решение:

Задача 4.

Через точку А построить прямую р, перпендикулярную к горизонтали h и фронтали f.

Дано:

Решение:

46

Задача 5.

Через точку М построить прямую р, перпендикулярную к прямым а и h. Дано: Решение:

Задача 6.

Через точку К провести прямую р, перпендикулярную к прямым a и b.

Решение:

47

	Задача 7.
Через точку А построить две прямые уровня h и f, перпендикуляр-
ные к прямой l.
Дано:	Решение:

	Задача 8.
Через точку А построить две прямые уровня f и g, перпендикуляр-
ные к прямой l.
Дано:	Решение:

48

ГЛАВА 4. ПРОЕЦИРОВАНИЕ ПЛОСКОСТИ

Плоскость – это двумерный геометрический образ, имеющий длину и ширину. Плоскость считается бесконечной, не имеющей толщины и непрозрачной.

Плоскость является одним из наиболее часто встречающихся видов поверхности, которая содержит полностью каждую прямую, соединяющую любые две ее точки.

Плоскость на чертеже может быть задана следующими способами

(табл. 4.1).

Таблица 4.1. Задание плоскости на чертеже

Способ задания

Наглядное изображение и комплексный чертеж

Тремя точками, не лежащими на одной прямой

Прямой и точкой не принадлежащей данной прямой

Двумя

параллельными

прямыми

49

	Окончание табл. 4.1
Способ задания	Наглядное изображение и комплексный чертеж

Плоской фигурой

Двумя

пересекающимися

прямыми

Следом α П1

4.1. ТОЧКА И ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой лежащей в этой плоскости.

Условия принадлежности прямой плоскости:

– прямая пересекает две прямые, лежащей в этой плоскости (рис.

4.1) ;

– прямая проходит через точку, принадлежащую плоскости и параллельна прямой, лежащей в этой же плоскости (рис. 4.2).

Среди прямых линий, принадлежащих плоскости, особое место занимают прямые, занимающие частное положение в пространстве:

50