Главы 1-4

1.Горизонтали h – прямые, лежащие в данной плоскости и парал-

лельные горизонтальной плоскости проекций (h α (m, n) h h ОХ,h ОY)

(рис.4.3, а). Построение горизонтали начинается с фронтальной проекции h2. Все горизонтали одной плоскости между собой параллельны. Горизонталь есть геометрическое место точек плоскости, удаленных от плоскости П1 на одно и то же расстояние.

Рис. 4.1. Принадлежность прямой	Рис. 4.2. Принадлежность прямой плоско-
плоскости по двум точкам	сти по точке и признаку
пересечения	параллельности

2.Фронтали f – прямые, расположенные в плоскости и параллельные фронтальной плоскости проекций (f α(m, n) f f ОХ, f ОZ) (рис.4.3, б). Построение фронтали начинается с горизонтальной проек-

ции f1 . Все фронтали одной плоскости параллельны между собой. Фронталь плоскости – это геометрическое место точек, удаленных от плоскости П2 на одно и то же расстояние.

3.Профильные прямые q – прямые, которые находятся в данной

плоскости и параллельны профильной плоскости проекций (р α (m, n) q q 1 ОХ q ОХ) (рис.4.3, в). Построение профильной прямой начинается с фронтальной проекции q2 . Все профильные прямые одной плоскости параллельны между собой. Профильная прямая плоскости – это геометрическое место точек, удаленных от плоскости П3 на одно и то же расстояние.

Следует заметить, что следы плоскости можно отнести тоже к главным линиям. Горизонтальный след – это горизонталь плоскости, фронтальный – фронталь и профильный – профильная линия плоскости.

51

а)

б)

в)

Рис. 4.3. Особые прямые плоскости: а) горизонталь; б) фронталь; в) профильная прямая

Линия наибольшего наклона и еѐ проекция образуют линейный угол, которым измеряется двугранный угол между данной плоскостью и плоскостью проекций.

Линия наибольшего наклона к П1 – прямая перпендикулярная к горизонтали плоскости, определяет угол наклона плоскости к плоскости проекций П1 (α (h, A) p h) (рис.4.4, а).

Линия наибольшего наклона к П2 – прямая перпендикулярная к фронтали плоскости, определяет угол наклона плоскости к плоскости проекций П2 (α (f, A) p f ) (рис.4.4, б).

а)

б)

в)

Рис. 4.4. Линии наибольшего наклона плоскости: а) к плоскости П1; б) к плоскости П2; в) к плоскости П3

52

Линия наибольшего наклона к П3 – прямая перпендикулярная к профильной прямой плоскости, определяет угол наклона плоскости к плоскости проекций П3 (α (q, A) p q ) (рис.4.4, в).

4.2. КЛАССИФИКАЦИЯ ПЛОСКОСТЕЙ

Рассмотрим различные положения плоскости относительно плоскостей проекций П1, П2 и П3 (рис. 4.5).

ПЛОСКОСТИ

Плоскости	Плоскости
общего положения	частного положения

Плоскости	Плоскости
уровня	проецирующие

Горизонтальная

Фронтальная

Профильная

Горизонтальнопроецирующая

Фронтальнопроецирующая

Профильнопроецирующая

Рис. 4.5. Классификация плоскостей по положению относительно плоскостей проекций

Плоскости в пространстве могут занимать общее (табл. 4.2) и частное положение (табл. 4.3, 4.4).

53

Таблица 4.2. Плоскости общего положения

Определение

Модель

и

комплексный чертеж

Плоскость общего положения –

плоскость, не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций

Таблица 4.3. Плоскости уровня

Определение			Модель	и	комплексный чертеж
Фронтальная
плоскость	–	это
плоскость,	парал-
лельная плоскости
проекций П2:
•плоскость	пересе-
кает плоскость		П1
параллельно		оси
ОХ, а плоскость П3
– по линии, парал-
лельной оси OZ;
плоскость П3 – па-
раллельно оси ОY;
• на плоскость П2
проецируется в н.в.
Горизонтальная
плоскость	–	это
плоскость,	парал-
лельная плоскости
проекции П1:
•плоскость	пересе-
кает плоскость		П2
параллельно		оси
ОХ, плоскость П3 –
параллельно		оси
ОY;
• на плоскость П1
проецируется в н.в.

54

			Окончание табл. 4.3
Определение	Модель	и	комплексный чертеж

Профильная плос-

кость – это плоскость, параллельная плоскости П3:

•плоскость пересекает плоскость проек-

ций П2 по линии, параллельно оси ОZ,

плоскость П1 – параллельно оси ОY;

•на плоскость П3 проецируется в н.в.

Плоскостью частного положения называют плоскость, которая либо перпендикулярна, либо параллельна одной из плоскостей проекций. Плоскости частного положения могут быть проецирующими (табл. 4.3) и плоскостями уровня (табл. 4.4).

Таблица 4.4. Проецирующие плоскости

Определение				Модель	и	комплексный чертеж
Горизонтально-
проецирующая		плос-
кость –	плоскость,
перпендикулярная			к
плоскости	проекций
П1. Любой элемент,
лежащий в этой плос-
кости, проецируется на
плоскость П1 в прямую
линию:
• горизонтальная			про-
екция	плоскости
A1B1C1 – прямая линия
(вырожденная		проек-
ция);
• – угол наклона плос-
кости к П2;
• – угол наклона плос-
кости к П3.

55

			Окончание табл. 4.4
Определение	Модель	и	комплексный чертеж

Фронтальнопроецирующая плоскость

– плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций П2. Любой элемент, лежащий в этой плоскости, проецируется на плоскость П2 в прямую линию:

•фронтальная проекция

плоскости A2B2C2 – прямая линия (вырожденная проекция);

•α – угол наклона плоскости к плоскости П1;

•– угол наклона плоскости к плоскости П3.

Профильно-проецирующая плоскость – плоскость перпендикулярная к плоскости проекций П3. Любой элемент, лежащий в этой плоскости, проецируется на профильную плоскость проекций в прямую линию:

•профильная проекция

плоскости A3B3C3 – прямая линия (вырожденная проекция);

•α – угол наклона плоскости к плоскости П1;

•– угол наклона плоскости к плоскости П2.

Данные сравнительного анализа изображений плоскостей на комплексном чертеже (табл. 4.2 – 4.4) приведены в табл. 4.5.

56

Таблица 4.5. Анализ изображений плоскостей на комплексном чертеже

		Расположение		Наличие	Наличие	Наличие н.в.
	Плоскости	в пространстве	Расположение	вырожденной		углов
		относительно	на чертеже	проекции	н.в.	наклона к
					фигуры
		П1 / П2 / П3		(прямой)		П1/ П2/ П3
	Общего		Все проекции
		Произвольно	фигуры с иска-	Нет	Нет	Нет
	положения
			жением
			Одна проекция –
	Уровня	Параллельно	н.в., две проек-	Есть	Есть	Есть
			ции–прямые па-
			раллельные оси
			Две проекции –
			с искажением,
	Проецирующие	Перпендикулярно	одна проекция –	Есть	Нет	Есть
			прямая под углом
			к осям

4.3.ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Возможны три случая относительного расположения прямой и плоскости:

прямая принадлежит плоскости;

прямая параллельна плоскости;

прямая пересекает плоскость, частный случай – прямая перпендикулярна плоскости.

Рассмотрим каждый случай.

1. Прямая принадлежит плоскости. Данный вариант описан в

п.4.1;

2. Прямая линия, параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости и не принадлежит этой плоскости (рис.4.6).

3.Прямая линия, пересекает плоскость, если они имеют одну об-

щую точку. Нахождение точки пересечения прямой линии и плоскости – одна из основных задач начертательной геометрии.

Алгоритм построения точки пересечения прямой и плоскости со-

стоит из следующих этапов (рис. 4.7, а, б):

1. Построение вспомогательной секущей плоскости (чаще всего – проецирующей плоскости), которую проводят через заданную прямую l; 2. Построение линии пересечения t вспомогательной плоскости

изаданной плоскости (АВС);

57

а) б)

Рис. 4.6. Прямая р, проходящая через точку F параллельна плоскости: а – общего положения ( АВС); б – проецирующей α

а)

б)	в)
Рис. 4.7. Прямая l пересекается с плоскостью: а – модель;
б – с плоскостью общего положения ( АВС); в – с	плоскостью частного положения α
58

3.Определение искомой точки F, как точки пересечения двух прямых – заданной l и полученной в результате пересечения плоскостей

–t;

4.Определение видимости прямой l относительно плоскости методом конкурирующих точек

Рассмотрим более подробно этапы этого алгоритма на примере построения точки пересечения прямой l и плоскости α (m, n), приведенном в табл. 4.6.

Точка пересечения прямой с плоскостью частного положения определяется точкой пересечения вырожденной проекции плоскости и проекции данной прямой (рис. 4.7, в).

Таблица 4.6. Алгоритм построения точки пересечения прямой и плоскости

Этап построения точки пересечения

Эпюр

1. Для построения точки пересечения прямой l с плоскостью α (m, n), необходимо заключить прямую l во вспомогательную фронтально-проецирую- щую плоскость ( 2):

l2= 2

2. Строим линию пересечения t заданной плоскости α и вспомогательной плоскости :

l2= 2=t2

t2 – фронтальная проекция линии пересечения t. Строим точки 1 и 2 в двух проекциях и проводим горизонтальную проекцию линии пересечения t1 через точки 11 и 21

59

	Окончание табл. 4.6
Этап построения точки пересечения	Эпюр

3. Отмечаем точку F (F1, F2) пересечения прямой l с линией пересечения плоскостей t:

t1∩l1 = F1; F2 l2

4. Определяем видимость прямой l относительно плоскости α (m, n) при помощи фронтально-конкурирующих точек 2, 3 и горизонтально-конкурирую- щих точек 4, 5.

Частный случай пересечения прямой и плоскости – перпендикулярность прямой и плоскости.

Прямая линия перпендикулярна плоскости, если она перпендику-

лярна двум пересекающимся прямым уровня этой плоскости:

р α, если р h, p f, p q, т. е. р1 h1, p2 f2, p3 q3.

Прямая линия, перпендикулярная к плоскости общего положения – прямая общего положения (рис. 4.8, а). Через точку А проведена прямая р, перпендикулярная к плоскости α (m, n) . Для этого в плоскости α (m, n) определены горизонталь h и фронталь f , и горизонтальная проекция перпендикуляра р1 проведена перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали h1, а фронтальная проекция p2 — перпендикулярно к фронтальной проекции фронтали f2 .

Прямая линия, перпендикулярная к плоскости частного положения

– прямая частного положения (рис. 4.8, б).

60