книги / Теория функций комплексного переменного
..pdf
|
|
|
|
|
= 26 (cos 4π−i sin 4π) = 26 (1+i 0) = 26. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Деление комплексных чисел |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Частным двух комплексных чисел z1 |
и z2 ( z2 ≠ 0) |
назы- |
|||||||||||||||||||||||||||
вается комплексное число z, |
которое, будучи умноженным на |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
2 |
, дает число z , |
т.е. |
|
z1 |
|
= z, |
если z |
2 |
z = z . |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
На практике, чтобы разделить число z1 |
на z2 ( z2 ≠ 0), сле- |
||||||||||||||||||||||||||||
дует числитель и знаменатель дроби |
|
z1 |
умножить на число |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
, сопряженное знаменателю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z = |
z1 |
= |
|
(x1 +iy1 ) |
|
= |
(x1 +iy1 )( x2 −iy2 ) |
= |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x2 +iy2 ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
(x2 +iy2 )( x2 |
−iy2 ) |
(2.8) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1x2 + y1 y2 |
|
|
|
y1x2 − x1 y2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
+i |
. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ y |
2 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
+ y2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
Для тригонометрической и показательной форм ком- |
|||||||||||||||||||||||||||||
плексного числа формула деления имеет вид |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
r1 |
(cos φ1 +i sin φ1 ) |
= |
r1 |
(cos(φ1 −φ2 ) +i sin (φ1 −φ2 )). |
(2.9) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(cos ϕ2 +isin φ2 ) |
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
reiφ1 |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= |
1 |
ei(φ1−φ2 ). |
|
|
(2.10) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r eiφ2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
То есть при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
Пример 2.6. Выполнить деление −21+−3i i .
−1−3i |
= |
(−1−3i)(2 −i) |
= |
−2 −6i +i −3 |
= |
−5 −5i |
= −1−i. |
2 +i |
(2 +i)(2 −i) |
4 +1 |
5 |
11
|
Пример |
|
2.7. |
|
Найти |
частное |
|
|
|
от |
деления |
z1 = |
||||||||||||||||||||||||||
=3 |
|
|
|
π |
−isin |
π |
на z2 = |
|
|
|
|
π |
+i sin |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
cos |
|
|
|
2 |
cos |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3 |
|
6 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
π |
−i sin |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
z1 |
|
|
3 |
cos |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
||||||||||
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
cos − |
|
− |
|
|
|
+isin |
− |
|
|
− |
|
|
= |
|||||||||
|
z2 |
|
|
|
π |
|
|
|
|
π |
|
|
2 |
3 |
6 |
3 |
6 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+isin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
6 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
=1,5 cos − |
π |
+isin − |
π |
|
|
=1,5 cos π |
−isin |
π |
|
= |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1,5(0 −i 1) = −1,5i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Извлечение корней из комплексных чисел |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Корнем п-й степени из комплексного числа z |
|
называется |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
комплексное число w, |
|
удовлетворяющее равенству wn = z. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Если положить z = r (cos φ+i sin φ), |
|
а |
w =ρ(cosθ+isin θ), |
то по определению корня и в силу формулы Муавра (2.6) полу-
чаем z = wn =ρn (cos nθ+i sin nθ) = r (cos φ+isin φ).
Отсюда имеем ρn = r, nθ = φ+2πk, |
k = 0, ±1 ,±2, … |
|
|||
Поэтому равенство n z = w принимает вид |
|
|
|
||
n r (cos φ+i sin φ) = n r cos |
φ+2πk |
+i sin φ+2πk |
|
, |
(2.11) |
|
n |
n |
|
|
k = 0, 1, …, n −1.
Получим n различных значений корня. При других значениях k, в силу периодичности косинуса и синуса, получатся значения корня, совпадающие с уже найденными.
Итак, для любого z ≠ 0 корень n -й степени из числа z имеет ровно n различных значений.
12
|
Пример 2.8. Найти значение |
(−1− |
|
3i). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Запишем подкоренное выражение в тригонометрической |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1− |
|
|
|
|
|
− |
2π |
+isin |
|
|
2π |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3i = 2 cos |
3 |
|
− |
|
|
3 |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Полагая в формуле (2.11) n = 2, |
r = 2, |
φ = − |
|
2π |
|
, имеем |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
2π |
+2πk |
|
|
|
|
− |
2π |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
(−1− |
3i) = |
|
|
3 |
+isin |
|
3 |
|
2πk |
|
k = 0,1. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
||||||||
|
При |
|
k = 0 получаем |
w0 = |
2 |
cos |
− |
|
|
|
|
+isin − |
|
|
= |
||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||
= |
|
1 |
−i |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
при |
|
|
k =1 |
получаем |
|
|
|
w1 |
= |
|
2 |
|
|
|
|
|
2π |
+isin |
2π |
= |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
||||
= |
|
− |
1 |
+i |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пример 2.9. Решить уравнение z3 −8i = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Задача сводится к нахождению корня из комплексного |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
числа, т.е. необходимо найти z = 3 8i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Запишем подкоренное выражение в тригонометрической |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8i |
=8 cos |
|
+isin |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Полагая в формуле (2.11) n =3, |
r =8, |
φ = |
|
|
π |
|
имеем |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
π |
+2πk |
|
π |
|
|
|
3 |
8i = 3 |
|
|
2 |
+i sin |
2 |
+2πk |
, k = 0,1, 2 |
||
8 |
cos |
|
|
|
||||||
|
|
3 |
|
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
||||
|
При k = 0 получаем |
|
z1 |
= 2 |
cos |
|
+isin |
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
+i |
|
|
= |
||||
|
|
6 |
6 |
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
3 +i ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5π |
|
|
5π |
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
||||
|
при k = 1 получаем z2 = 2 |
cos |
|
+i sin |
|
|
= 2 |
− |
|
|
+i |
|
|
= |
|||||||||
|
6 |
6 |
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= − |
3 +i; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при k =2 получаем z |
3 |
= |
2 |
cos 3π +i sin 3π |
|
= 2(0 +i(−1)) = |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −2i.
14
3. МНОЖЕСТВА НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ
Последовательности комплексных чисел
ε- окрестностью точки z0 называют множество точек z, удовлетворяющих условию z − z0 < ε – открытый круг с цен-
тром в точке z0, радиусом ε.
Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие комплексное число zn , то говорят, что задана после-
довательность комплексных чисел {zn}. |
|
|
||||||||
Последовательность {zn} |
называется ограниченной, если |
|||||||||
существует число M > 0, такое, что для любого n |
|
выпол- |
||||||||
няется неравенство |
|
|
zn |
|
< M . В противном случае последова- |
|||||
|
|
|
||||||||
тельность называют неограниченной. |
|
|
||||||||
Последовательность {zn} |
называют бесконечно |
малой, |
||||||||
если для любого числа ε > 0 найдется номер N (ε), |
такой, что |
|||||||||
для всех n, удовлетворяющих неравенству n > N (ε), |
выполня- |
|||||||||
ется неравенство |
|
zn |
|
< ε. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
Последовательность {zn} |
называют бесконечно большой, |
|||||||||
если для любого числа А > 0 |
найдется номер N (А), |
такой, |
что для всех n, удовлетворяющих неравенству n > N (А), выполняется неравенство zn > А.
Число z0 называют пределом последовательности {zn},
если для любого числа ε > 0 найдется номер N (ε), такой, что для всех n, удовлетворяющих неравенству n > N (ε), выполняется неравенство zn − z0 < ε:
z0 = lim zn ( ε > 0) ( N (ε)) ( n > N (ε)): zn − z0 < ε. (3.1)
n→∞
15
Последовательность, имеющая предел, называется сходя-
щейся, не имеющая предела – расходящейся.
Расходящейся последовательностью является любая неограниченная последовательность, в частности бесконечно большая. Для бесконечно большой последовательности принято
обозначение lim zn = ∞.
n→∞
Уравнения кривых на комплексной плоскости
На множестве действительных чисел можно обычным образом определить функцию, которая примет на этом множестве комплексные значения: если любому t T , T соответству-
ет z , то z (t ) – комплексная функция действительной
переменной. Графиком такой функции является кривая на комплексной плоскости.
Одним из способов задания кривой на комплексной плоскости является параметрическое задание:
|
|
|
x = x(t ), |
|
||
z (t ) = x(t ) +iy (t ), где |
|
|
t T. |
(3.2) |
||
|
y = y |
|||||
|
|
|
|
(t ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3.1. Записать в параметрической форме уравне- |
||||||
ние окружности с центром в точке O(x0 , |
y0 ) радиусом R. |
|
||||
|
x = x0 |
+ R cost, |
t [0,2π]. |
|
||
|
|
+ Rsin t, |
|
|||
|
y = y0 |
|
|
|
|
|
Отсюда |
z (t ) = x(t ) +iy (t ) = x0 + R cost +i( y0 + Rsin t) = |
|||||
=(x0 +iy0 ) + R(cost +i sin t ). |
|
|
|
|
||
Обозначив |
z0 = x0 +iy0 и применив формулу Эйлера, по- |
|||||
лучим z (t ) = z0 +Reit . |
|
|
|
|
|
|
Пример 3.2. Определить вид кривой z =5tg t −3isect. |
|
|||||
|
z (t ) = x(t ) +iy (t ) =5tg t −3i sect. |
|
||||
16 |
|
|
|
|
|
|
PNRPU
|
Отсюда |
|
|
x =5tgt, |
|
Выразим t из каждого уравнения |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = −3sect. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = arctg |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
Исключим t |
из уравнений arccos − |
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
t = arccos − |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= arctg |
x |
. Воспользуемся формулами тригонометрии: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||
|
cos |
arccos |
|
− |
|
= cos |
arctg |
|
|
, |
cos π |
−arccos |
|
|
|
= |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||
= |
5 |
|
|
|
, |
− |
3 |
|
= |
|
|
5 |
|
, |
|
25y2 |
|
= x2 +25 , |
y2 |
− |
x2 |
=1 – урав- |
|||||||||||
|
x2 +52 |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
x2 +52 |
|
|
|
9 |
|
|
|
9 25 |
|
|
|
|
|
|||||||||
нение гиперболы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Области, определенные заданными |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неравенствами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1. Неравенство |
Re z ≥ a |
определяет |
точки |
комплексной |
||||||||||||||||||||||||||||
плоскости |
|
|
|
, лежащие на прямой x = a и правее нее (рис. 2, а). |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Неравенство |
Im z <b |
|
определяет |
точки |
комплексной |
|||||||||||||||||||||||||||
плоскости |
|
, лежащие ниже прямой y =b (рис. 2, б). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а б
Рис. 2
17
2. Неравенство |
|
|
z −a |
|
≤ r |
определяет точки комплексной |
|||||||
|
|
||||||||||||
плоскости , |
лежащие внутри круга радиусом |
r с центром |
|||||||||||
в точке z0 = a, |
и точки на окружности (рис. 3, а). |
|
|||||||||||
Неравенство |
|
|
z −a |
|
> r |
определяет |
точки |
комплексной |
|||||
|
|
||||||||||||
плоскости , лежащие вне этого круга (рис. 3, б). |
|
||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
a |
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
0 a |
x |
а |
|
Рис. 3 |
|
|
б |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. Неравенство r < |
|
z −a |
|
≤ R |
определяет точки комплекс- |
||||||||
|
|
||||||||||||
ной плоскости , лежащие внутри кольца, |
полученного в ре- |
||||||||||||
зультате пересечения внешней части круга |
|
z −a |
|
> r |
и внут- |
||||||||
|
|
||||||||||||
ренней части и точек, лежащих на границе круга |
|
z −a |
|
≤ R |
|||||||||
|
|
||||||||||||
(рис. 4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
a |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4
18
4. Неравенство |
α < arg ( z −a) <β определяет |
точки ком- |
плексной плоскости |
, лежащие внутри угла |
с вершиной |
в точке z0 = a, , стороны которого образуют с положительной вещественной полуосью соответственно углы α и β (рис. 5).
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
||
0 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
x |
||
|
|
|
|
|
Рис. 5 |
|
|
|
|
||
5. Неравенство |
|
z −C1 |
|
+ |
|
z −C2 |
|
≤ 2a определяет точки |
|||
|
|
|
|
||||||||
комплексной плоскости |
, |
|
лежащие внутри и на границе эл- |
||||||||
липса c фокусами в точках |
|
z =C1 |
и z =C2 и большой полу- |
||||||||
осью a (рис. 6). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
||
–a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
||
|
|
|
C1 |
0 |
C2 |
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6 |
||||
6. Неравенство |
|
z −C1 |
|
− |
|
z −C2 |
|
> 2a определяет точки |
|
|
|
|
|||||
комплексной плоскости , |
|
лежащие внутри той ветви гипер- |
||||||
|
|
|
19 |
болы (с фокусами в точках z =C1 и z =C2 и большой вещественной полуосью a ), которая содержит фокус z =C2 (рис. 7).
y
–a |
a |
0 |
C2 x |
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7 |
|
|
|
|
|||||
|
|
Пример 3.3. Построить область плоскости z, определяе- |
|||||||||||||
мую неравенствами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
< |
|
z −2 |
|
≤1,5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ arg (z −2) < |
π |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Искомым |
множеством |
является |
пересечение кольца |
||||||||||
1 < |
|
z −2 |
|
≤1,5 |
и внутренней |
части угла 0 ≤ arg( z −2) < |
π |
||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
||||||||||||
(рис. 8). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y
0 |
2 |
x |
Рис. 8
20