книги / Теория функций комплексного переменного

одному из изложенных в предыдущих пунктах правилу. Порядок нуля z0 произведения равен сумме порядков нуля сомножителей.

3. Для функции f (z) , не определенной в точке z0 , но удовлетворяющей в этой точке условию lim f (z) = 0 , порядок

z→z0

нуля z0

определить по правилам,

изложенным в п.

2 или по

следующему правилу:

если

z0 нуль порядка m для функции

f1 (z) и нуль порядка

k

(m > k )

для функции

f2 (z) , то для

функции f (z) =

f1

( z)

z0

– нуль порядка n = m −k.

f2

(z)

Пример 5.2. Определить порядок нуля

z0 = 0 для функ-

ций

а) f (z) = ez2 −1− z2 ;

б)

f (z) =sin3 z −1+cos z ;

в)

f (z) =(ez2 −1− z2 )(sin3 z −1+cos z).

Разложим функцию по степеням z . Получаем

2

z4

z6

z4

z6

ez

−1− z2 = 1+ z2

+

+

+... −1− z2 =

+

+... ,

2!

3!

2!

3!

C0 =C1 =C2 =C3 = 0 , C4 = 2!1 ≠ 0.

Следовательно, z0 = 0 является нулем порядка n = 4 . Пример 5.3. Определить порядок нуля z0 = 0 для функ-

ции f (z) =sin3 z −1+cos z .

Найдем значение производных данной функции в точке z0 = 0 :

61

f ′(z) =3sin2 z cos z −sin z ,	f ′(0) = 0 ;
f ′′(z) = 6sin z cos2 z −3sin3 −cos z,	f ′′(0) = −1 ≠ 0 .

Следовательно, z0 = 0 является нулем порядка n = 2. Пример 5.4. Определить порядок нуля z0 = 0 для функ-

ции f (z) = (ez2 −1− z2 )(sin3 z −1+cos z) .

Функция записана в виде произведения двух функций. Для первого множителя f1 (z) = ez2 −1− z2 порядок нуля

в точке z0 = 0 нами определен, m = 4 .

Для функции f2 (z) =sin3 z −1+cos z порядок нуля в точ-

ке z0 = 0 равен 2.
Поскольку f (z) = f1 (z)	f2 ( z) , то точка z0 = 0					является
нулем n = m +k = 4 +2 = 6 порядка.
Разложение функции в ряд Лорана
Всякая аналитическая в	кольце r <		z − z0		< R	функция

f (z) может быть разложена в этом кольце в ряд, называемый рядом Лорана:

+∞

f (z) = ∑ Cn (z − z0 )n ,

n=−∞

коэффициенты которого определяются по формуле

Cn =	1	∫	f	(	z	)	dz,	n = 0, ±1, ±2, ... ,
						n+1
	2πi L (z − z0 )

(5.12)

(5.13)

где L – произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку z0 .

62

+∞

−1

− z0 )n

+∞

f (z) = ∑ Cn (z − z0 )n =

∑ Cn (z

+ ∑ Cn (z − z0 )n =

n=−∞

n=−∞

n=0

(5.14)

= ∑

C−n

+ ∑ C

(z − z

)n.

+∞

+∞

n=1

n=0

n

0

(z − z0 )n

+∞

C−n

Первая часть ряда Лорана, т.е. ряд f

(z) = ∑

–

(z − z0 )n

1

n=1

называется главной частью ряда Лорана; он сходится к функции f1 (z) вне круга z − z0 < R.

+∞

Вторая часть ряда Лорана, т.е. ряд f2 (z) = ∑ Cn (z − z0 )n –

n=0

называется правильной частью ряда Лорана; он							сходится
к функции f2 (z) внутри круга				z − z0		> r.
						+∞
Внутри кольца r <	z − z0	< R ряд ∑ Cn (z − z0 )n					сходится
						n=−∞
к аналитической функции f (z) = f1 (z) + f2 ( z) .
Замечания.

1.Разложение в ряд Лорана сводится к разложению в ряд Тейлора, с использованием основных разложений и действий над рядами.

2.При разложении рациональных дробей, как и в случае рядов Тейлора, выделяется целая часть неправильной дроби,

аправильная записывается в виде суммы элементарных дробей, для разложения которых используется формула суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. При этом элементарные дроби преобразуются следующим образом:

– для получения главной части, т.е. ряда, сходящегося вне

круга z − z0 > r, разложение элементарной дроби записывается в виде

63

−

1

1

z − z

0

+∞

−an

+∞

C

−n

=

= ∑

= ∑

, (5.15)

a −(z − z0 )

a

(z − z0 )n+1

(z − z0 )n

n=0

n=1

1

− z − z0

где

a

<1,

z − z0

>

a

;

z − z0

–для получения правильной части, т.е. ряда, сходящегося

вкруге z − z0 < R , разложение элементарной дроби записыва-

ется в виде

1

+∞ (z − z0 )n

1

a

+∞

n

=

= ∑

= ∑ Cn (z − z0 )

,

(5.16)

a −(z − z0 )

z − z0

an+1

1−

n=0

n=0

a

где

z − z0

<1,

z − z0

<

a

,

a ≠ 0.

a

z − z0

> r есть внешняя часть кру-

3. При R = ∞ область

га. В частном случае при z0 = 0 – внешняя часть

круга

z

> r .

Разложение в этом случае называется разложением в окрест-

ности бесконечно удаленной точки.

		Пример 5.5. Разложить в ряд Лорана функцию f (z) =
	=	z +2	по степеням z −2.
		z2 −2z −3

Функция имеет две особые точки z = −1 , z =3 . Строим окружности с центром в точке z = 2 и проходящие через особые точки z = −1 , z =3 . Эти окружности разбивают комплексную плоскость на три области:

1)круг z −2 <1 ,

2)кольцо 1 < z −2 <3 ,

64

3)внешность круга z −2 >3 ,

вкаждой из которых функция имеет свое разложение.

	Представим функцию в виде f (z) =	z +2	=
		(z +1)(z −3)

=54 z 1−3 − 14 z 1+1.

1)в круге z −2 <1 функция раскладывается в ряд Тейлора;

2) в кольце

1 <

z −2

<3 :

1 =

1

= 1

1

= ∑

1

= ∑

1 ,

∞

∞

z −3

(z −2) −1

z

−2

1

n=0

( z −2)n+1

n=1

(z −2)n

1

−

z −2

z −2

>1 ;

n z −2 n

1

1

1

1

1

∞

=

=

=

∑ (−1)

=

z +1

(z

−2) +3

z −2

3 1+

3 n=0

3

3

= ∑ (−1)n ( z −

2)

n

, z −2 <3.

∞

n=0

3n+1

Следовательно,

f (z) = z +2 = 5 ∑

1

−

1 ∑ (−1)n (z −2)

n

,

∞

∞

4 n=1

3n+1

z2 −2z −3

(z −2)n

4 n=0

1 <

z −2

<3.

3) в области

z −2

>3

– окрестность бесконечно удален-

ной точки:

1

∞

1

= ∑

,

z −2

>1 ;

z −

3

n=1 (z −2)n

65

1

1

1

1

∞

n

∞

=

=

= ∑

(−1)n

3

= ∑

(−1)n−1 ×

z +1

(z −2) +3

z −2

3

(z −2)n+1

n=0

n=1

1

+

z −2

3n−1

×(z −2)n , z −2 >3 – разложение в окрестности бесконечно

удаленной точки. Следовательно,

f (z) =

z +2

∞

(−1)n 3n−1

5

1

= ∑

+

,

z −2

>3 .

2

n

z −2z −3

4

4

( z −2)

n=1

z

Пример 5.6. Разложить в ряд Лорана функцию f (z) = ez−1

в окрестности особой точки z =1. Воспользуемся известным разложением

				f ( z)				z
					= e				=
								z−1
		1		1
= e 1	+		+				+... +
		z −1		2!(z −1)		2

1				1
e1+		= e e				=
	z−1				z−1
1							+∞	1
				+...			= e∑			.
n!(z −1)			n					n!(z −1)	n
							n=0

66

6. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Изолированные особые точки функции

Особая точка z0 функции	w = f (z)	называется изолиро-
ванной, если в некоторой ее	окрестности функция f (z)
не имеет других особых точек.
Бесконечно удаленная особая точка		z0 = 0 является изо-

лированной особой точкой функции f (z) , если существует

число	R > 0 , такое, что в области		z		> R	эта точка – единст-
венная	особая точка f (z) , а в	кольце				R <		z		< ∞ функция

f (z) – аналитическая.

	Способы определения вида особой точки
Вид особой			функции f (z)
точки z0	по виду главной			по поведению функции
	части				в особой точке
	ряда Лорана
Устранимая	Главная часть ряда		lim f (z) существует и конечен
(правильная)	Лорана отсутству-			z→z0
	ет
			lim f (z) = ∞. При этом z0					полюс
				z→z0
			кратности n, если выполняется
	Главная часть ряда		одно из условий:
Полюс	Лорана	содержит	– функцию			f (z) можно предста-
кратности n	конечное	число	вить в виде			f (z) =	ϕ(z)		, где
(при n =1 –	слагаемых, где n –
							(z − z0 )	n
простой по-	порядок	высшей		ϕ(z0 ) ≠ 0;
люс)	отрицательной сте-
	пени		– z0 нуль порядка n для функции
			1		;
				f (z)
								67

	Способы определения вида особой точки
Вид особой		функции		f (z)
точки z0	по виду главной	по поведению функции
	части			в особой точке
	ряда Лорана
		– если z0		нуль порядка m для
		функции		f1 (z) и нуль порядка k
		(m < k ) для функции					f2 (z), то
		для функции			f (z) =		f1	(z)	z0 –
							f2
								(z)
		полюс порядка n = m −k
Cущественно	Главная часть ряда	lim f (z) не существует
	Лорана содержит
особая	бесконечное число	z→z0
	слагаемых
Пример 6.1. Для функции		f (z) =	ez −1		+ 2 найти изоли-
				z3	z

рованные особые точки и определить их вид.

Особой точкой функции является точка z0 = 0 . Чтобы оп-

ределить вид особой точки, разложим функцию в ряд Лорана по степеням z:

f (z) = ez −3 1 + 2

=

1

(ez −1)+

2

=

3

z

z

z

z

1

z

z2

zn

2

=

1+

+

+... +

+

... −

1

+

=

z

3

1!

2!

n!

z

=

1

+

1

+

1

+

z

+... +

zn−3

+... +

2

=

z2

2 z

6

24

n!

z

1

2,5

1

z

zn−3

=

+

+

+

+... +

+... =

z2

z

6

24

n!

68

=	1		+	2,5	+	1	+	z	+... +	zn−3	+...
		z2		z		6		24		n!
	главная часть					правильная часть

Главная часть ряда Лорана содержит конечное число слагаемых, значит, z0 = 0 – полюс. Порядок высшей отрицательной степени определяет порядок полюса. Следовательно,

	z0 = 0 – полюс кратности 2.
	Пример 6.2. Для функции f (z) =	1−cos3z	найти изо-
		ch z + z −ez

лированные особые точки и определить их вид.

Особой точкой функции является точка z0 = 0 . Чтобы оп-

ределить вид особой точки, используем признак поведения функции в особой точке.

lim 1−cos3z z = −1, значит z0 = 0 устранимая точка. z→0 ch z + z −e

	Пример 6.3. Для функции f (z) =( z −i)3 sin			1	найти
		2	(z −i)
	изолированные особые точки и определить их вид.
	Особой точкой функции является точка z0 =i.			Чтобы оп-

ределить вид особой точки, используем разложение функции в ряд Лорана по степеням z −i:

f (z) =( z −i)3 sin						1	=
						2(z −i)
		1		1		1
(z −i)3			−					+
		(z −i)				(2(z −i))3
2				3!

		1		1	−…+(−1)n	1		1
	+									=
		5! (2(z −i))5				(2n +1)! (2( z −i))2n+1

69

( z −i)2

1

1

=

−

+

2

3! 23

+

1

1

−…+(−1)

n

1

1

1

+…

5!

25 (z −i)2

(2n +1)!

22n+1

( z −i)2n+1

главная часть

Главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число слагаемых, значит, z0 =i – существенно особая точка.

Пример 6.4.

Определить

тип особой точки

z = ∞

для

функции

f (z) = z

5 sin

1 .

z

Рассмотрим

1

lim f (z) = lim z5 sin

1

=

t = z

= lim sin t = lim sin t

lim

1

= ∞,

z

z→∞

z→∞

t →0

t→0

t5

t→0

t

t

→0

t4

поэтому z = ∞ является полюсом функции.

Пример 6.5. Определить

тип особой точки

z = ∞

для

функции

f (z) = ez .

lim f (z) = lim ez =

1

1

Рассмотрим

t = z

= lim et

–

предела

z→∞

z→∞

t →0

t→0

не существует – z = ∞ существенно особая точка функции.

70