книги / Теория функций комплексного переменного

На отрезке AB x = 0 , значит, dx = 0 , y [0,1] . Поэтому

∫ z dz = ∫ y dy =

y2

1

=

1 .

AB

AB

2

0

2

На отрезке BC y =1, dy = 0,

0 ≤ x ≤1. Поэтому

x2

1

1

1

∫ z dz = ∫ x dx +i ∫ (−1) dx =

−i x

0 =

−i .

2

2

BC

BC

BC

0

1

1

Искомый интеграл

∫

dz равен

+

−i =1−i .

z

ABC

2

2

Пример 4.21. Вычислить интеграл от функции комплекс-

ного переменного

∫ z2 dz , где L

–

дуга

окружности

z

=1 ,

L

0 ≤ arg z ≤ π.

Положим

z = eiϕ,

тогда dz =ieiϕdϕ,

0 ≤ ϕ≤ π. Следова-

тельно,

π

i

π

1

∫ z2 dz = ∫ e2iϕieiϕdϕ =

e3iϕ

=

e3iπ

=

3i

0

3

L

0

=

1 eiπ

= 1 (cos π+i sin π) = −1 .

3

3

3

Пример 4.22. Вычислить интеграл от функции комплекс-

ного переменного

∫ ez dz , где L – отрезок прямой y = −x , со-

L

единяющий точки A и B, zA = 0 и zB = π−iπ.

Зададим линию L

параметрическими уравнениями:

x =t ,

y = −t , z =t −it , 0 ≤t ≤ π. В этом случае для неё справедлива формула

51

∫ e

z

dz

π

t+it

(1

−i)dt =

1−i

e

(1+i)t

π

=

= ∫ e

1+i

0

L

0

= −i(eπ(cos π+i sin π)) =(eπ +1)i.

Основная теорема Коши

Если w = f ( z) аналитическая в области D, то для любого контура L, принадлежащего этой области, справедливо равенство

∫ f (z)dz = 0 .	(4.35)
L

Интегральная формула Коши

Если функция w = f ( z) является аналитической в односвязной области D, ограниченной кусочно-гладким замкну-

тым контуром L, и на самом контуре,

то справедлива инте-

гральная формула Коши:

f ( z)

f (z0 ) =

1

∫

dz,

(4.36)

2πi

L z − z0

где

z D – произвольная точка области D, а интегрирование

по

контуру

L производится в

положительном направлении

(т.е. против часовой стрелки).

Интегральная формула Коши (4.36) справедлива и для

производных аналитической функции:

f (n) (z0 ) =

n!

∫

f

(

z

)

dz,

(4.37)

n+1

2πi L (z − z0 )

Будем

рассматривать

интегралы

вида

∫ ϕ(z)dz, где

L ψ(z)

функция ϕ(z) – аналитическая в D,

а ψ(z)

– многочлен,

52

не имеющий нулей на контуре L, где L – граница области D.

При вычислении интегралов вида

∫

f (z)dz в зависимости от

L

кратности корней многочлена ϕ(z)

и их расположения относи-

тельно контура L можно выделить четыре случая:

1. В области D нет нулей многочлена ψ(z). Тогда функ-

ция

ϕ(z)

аналитическая

и

по

основной

теореме

Коши

ψ(z)

∫ f (z)dz = 0 .

L

2. В области

D расположен один простой корень

z = z0

многочлена

ψ(z).

Тогда дробь

ϕ(z)

запишем в виде

f (z)

,

ψ(z)

z − z0

где

f (z) – функция, аналитическая в D.

Применяя интеграль-

ную формулу Коши (4.36), получим

∫

ϕ(z)

dz = ∫

f (z)

dz = 2πi

f (z0 ).

(4.38)

L

ψ(z)

L

z − z0

3. В области

D расположен один кратный корень

z = z0

многочлена

ψ( z)

(кратности

n ). Тогда дробь

ϕ(z)

запишем

ψ(z)

в виде

f (z)

, где

f (z)

– функция, аналитическая в D. Приме-

z − z0

няя интегральную формулу Коши (4.37), получим

∫

f

(

z

)

dz =

2πi

f (n−1) (z0 ).

(4.39)

n

(n −1)!

L (z − z0 )

4. В области D расположены два корня многочлена ψ(z): z = z1 и z = z2. Тогда искомый интеграл можно найти по формуле

53

∫	f (z)dz = ∫	f ( z)dz + ∫ f (z)dz ,	(4.40)
L	L1	L2

где L1 и L2 – границы непересекающихся окрестностей точек z1 и z2 . Для каждого из полученных интегралов формулы

(4.40) дальнейшие вычисления следует проводить по формулам

(4.38) или (4.39).

Пример 4.23. Вычислить ∫						sin z	dz по контуру		z		= 2 .
						3
				L z		+16z
Находим нули знаменателя – особые точки подынтеграль-
ной функции. Это точки z1 = 0, z2 = 4i							и z3 = −4i. Внутри кон-
тура		z		= 2 расположена только одна особая точка							z1 = 0.

Поэтому в соответствии со вторым ранее рассмотренным случаем представим подынтегральную функцию в виде дроби

	sin z
				sin z
	z2 +16	, где числитель	f (z) =		– функция аналитиче-
	z			z2 +16

ская в рассматриваемой области. Применяя формулу (4.38), получим

sin z

sin z

sin z

∫

dz =

∫

z

2

+16

dz

= 2πi

= 0.

3

+16z

2

+16

L z

L

z

z

z0 =0

Пример 4.24. Вычислить ∫

ez

dz

по контуру

(z −i)

2

(z +2)

L

z +2 −i

=3 .

Находим нули знаменателя – особые точки подынтеграль-

ной функции. Это точки

z1 =i и

z2 = −2.

В круг

z +2 −i

<3

входят обе точки z1 =i ,

z2 = −2.

Поэтому для нахождения ис-

комого интеграла применим формулу (4.40).

∫

ez

dz =

∫

ez

dz

+ ∫

ez

dz ,

2

(z +

2)

2

(z +2)

−i)

2

(z +2)

L (z −i)

L1 (z −i)

L2 (z

54

где каждый из контуров L1 и L2 охватывает только одну из точек.

Пусть контур L1 охватывает только точку z1 =i , контур

L2 – только точку z2 = −2.

Так как корень z1 =i

– кратный (кратности n = 2 ), то для

вычисления

интеграла

по

контуру

L1 представим подынте-

ez

гральную

функцию в

виде дроби

z +2

, где числитель

(z −i)2

f (z) =

ez

– функция аналитическая в рассматриваемой

( z −i)2

области, и применим формулу (4.39). Так как корень z2 = −2 –

простой, то интеграл по контуру L2

будем считать по аналогии

с примером 4.23.

ez

ez

ez

( z −i)2

∫

dz

= ∫

z +2

dz + ∫

dz =

2

(z +

2)

(z −i)

2

z +

2

L (z −i)

L1

L2

=

2πi

e

z

′

+ 2πi

e

z

=

1!

(z −i)

2

z +2

z1=i

z2 =2

=

2πi

1+i

ei

+ 2πi

e−2

=

2πi

(e−2 +ei (1+i)).

2

(2 +i)

2

(2 +i)

2

(2 +i)

55

5. РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ

Функциональные ряды в комплексной области

Ряд вида

∞

f1 (z) + f2 (z) +…+ fn (z) +…= ∑ fn ( z), (5.1)

n=1

где fn ( z), n =1, 2, … – функции комплексного переменного z,

называется функциональным рядом в комплексной плоскости.

При фиксированном значении z = z0 ряд (5.1) превращается в числовой ряд вида

∞

f1 (z0 ) + f2 (z0 ) +…+ fn (z0 ) +…= ∑ fn (z0 ) . (5.2)

n=1

Функциональный ряд (5.1) называется сходящимся в точке z0 , если сходится соответствующий ему числовой ряд (5.2). Точка z0 назевается точкой сходимости. В противном случае ряд (5.1) называется расходящимся.

Степенные ряды

Степенным рядом по степеням разности (z − z0 ) назы-

вается функциональный ряд вида

∞		(z − z0 ) +
∑Сn (z − z0 )n =С0	+С1
n=1
+ С2 (z − z0 )2 + +Сn (z − z0 )n +…,			(5.3)
где коэффициенты ряда С1, С2 , С3 ,		– постоянные комплекс-
ные числа.

Степенным рядом по степеням z называется функцио-

нальный ряд вида

56

∞
∑ Сn zn =С0	+С1z +С2 z2 + +Сn zn +…	(5.4)
n=1

Для определения области сходимости степенного ряда важную роль играет теорема Абеля: если степенной ряд (5.4) сходится в точке z0 ≠ 0 , то он сходится, и притом абсолютно

для любого z, удовлетворяющего неравенству z < z0 .

Из теоремы Абеля следует существование положительного числа R, такого, что ряд (5.4) при z < R сходится, а при

z > R расходится, т.е. окружность z = R разделяет плоскость

на две части: внутри окружности ряд сходится, вне – расходится. Радиус этой окружности – число R – называется радиусом сходимости, круг – кругом сходимости.

Замечание. Для ряда (5.3) имеет место аналогичное ут-

верждение: он сходится в круге

z − z0

< R .

Радиус сходимости определяется по формулам

R = lim

Сn

,

(5.5)

Сn+1

n→∞

R =

1

.

(5.6)

lim n

Сn

n→∞

Разложение функции в ряд Тейлора

Всякая аналитическая в

круге

z − z0

< R

функция

w = f ( z) может быть единственным

образом

разложена

в этом круге в степенной ряд, называемый рядом Тейлора:

+∞

f (z) = ∑ Cn (z − z0 )n ,

(5.7)

n=0

коэффициенты которого определяются по формуле

57

Cn =	1	∫	f	(	z	)		dz , n = 0, 1, 2, ... ,	(5.8)
						n
	2πi L (z − z0 )						+1
где L – произвольная окружность с центром в точке									z0 , ле-
жащая внутри круга.

При разложении функции в ряд Тейлора используются основные разложения и действия над рядами. Радиус сходимости может быть получен по виду раскладываемой функции без использования формулы общего члена ряда и формул для нахождения радиуса. Радиус сходимости ряда, полученного при разложении данной функции в окрестности точки z0 , равен

расстоянию от центра разложения z0 до ближайшей особой

точки функции. Если функция является аналитической всюду, то R = ∞.

Алгоритм разложения рациональных дробей

вряд Тейлора

1.Если дробь неправильная (m ≥ n) , следует выделить

целую часть дроби-многочлена.

2.Правильную рациональную дробь разложить на элементарные дроби.

3.Разложить элементарные дроби в степенные ряды, используя формулы

1 = ∑ zn ,

z <1,

∞

1− z

n=0

z < 1

= R ,

1 = ∑ an zn ,

∞

1−az

n=0

zn

a

1

∞

= n∑=0

,

z

<

a

= R .

a − z

an+1

(5.9)

(5.10)

(5.11)

58

	Пример 5.1. Разложить функцию f (z) =	z +2		в ряд
		z2 −2z −3
	Тейлора в окрестности точки z0 = 0 .
	Дробь правильная.
	Функция имеет две особые точки z = −1 ,	z =3 . Разложим

её на элементарные дроби. Для этого представим в виде

z +2

=

A

+

B

,

z2 −2z −3

z +

1

z −

3

где A и B – неопределенные коэффициенты, которые находим

из тождества.

Полагая последовательно z = −1 и z =3, получаем A = −

1

4

и

B = 5 .

4

Записываем

дробь в

виде

суммы

дробей:

z +2

=

z2 −2z −3

−14

=

+

5 4

.

z +1

z −

3

Раскладываем каждую из элементарных дробей по степе-

ням z,

используя формулы (5.9) и (5.11):

1 =

1

= ∑ (−z)n = ∑ (−1)n zn , z <1 ,

∞

∞

z +1

1−(−z)

n=0

n=0

1

1 1

1 ∞

z n

∞

zn

= −

= −

∑

= −∑

,

z

< 3.

z −

z

n+1

3

3 1−

3 n=0

3

n=0 3

3

В общей области сходимости – круге

z

<1 – записываем

сумму рядов – разложение исходной дроби:

z +2

∞

5

∞

n

= −

1 ∑ (−1)n zn −

∑

z

=

(z +1)(z −3)

n+1

4 n=0

4 n=0 3

59

∞	1		n 1		5		n
= ∑		(−1)	+ −			z		,	z	<1.
	4			3	n+1
n=0
Нули аналитической функции
Пусть функция	f (z) является аналитической в точке z0 .
Точка z0 называется нулем функции f (z) , если ее значе-
ние в этой точке равно нулю, т.е.					f (z0 ) = 0 .

Алгоритм нахождения нулей аналитической функции

иопределения их порядков

1.Найти нули аналитической функции f (z) , решая уравнение f (z) = 0.

2.Определить порядок каждого полученного нуля z0 . Для этого выполнить одно из следующих действий:

а) разложить f (z) в ряд Тейлора по степеням (z − z0 ) . Младшая степень разности (z − z0 ) , присутствующая в разложении, определяет порядок нуля z0 ;

б) найти производные f (k ) (z) и их значения в нуле функ-

ции, т.е. f (k ) (z0 ) . Порядок нуля z0 функции f (z) определяется порядком первой, не равной нулю в точке производной;

в) записать	функцию в виде произведения f (z) =
=(z − z0 )k ϕ( z),	ϕ(z0 ) ≠ 0; число k – степень разности (z − z0 ) –

в этом произведении определяет порядок нуля z0 ;

г) записать функцию в виде произведения более простых функций и для каждой из них определить порядок нуля z0 по

60