книги / Теория линейных электрических цепей. Ч. 2
.pdfСпособ 1. Использование А-параметров четырехполюсника.
По формулам (2.47) – (2.48) и (2.51) – (2.52) получим:
k |
Z 2 |
Н |
0,6281 j0,1977 0,6585e j17,469 ; |
|
|
||
U1U2 |
A11 Z 2Н |
A12 |
|
|
|
kI1I2 |
|
1 |
|
|
0,4572 j0.0834 0,4647e j10,3379 ; |
|
|
A21 Z 2Н A22 |
|||||
|
|
|
|
|
||
kI1U 2 |
|
|
Z 2Н |
|
23,6632 j9,1303 25,3635e j 21,0987 ; |
|
|
A21 Z 2Н A22 |
|
||||
|
|
|
|
|
||
k |
|
1 |
|
|
0,012 j0,0014 0,0121e j6,7103 . |
|
|
|
|
|
|||
U1I2 |
|
|
A11 Z 2Н |
A12 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Аналогично |
рассчитываются передаточные функции для |
Z 2Н 2Z 2С .
Способ 2. Передаточные параметры также можно определить через вторичные (характеристические) параметры:
k |
|
|
|
|
|
Z |
2C |
e |
|
|
|
54,5732e j10,7588 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38,5158e j3,634 |
|
|
1,8075e j13,9063 |
|
|
|||||||||||
U1U2 |
|
|
Z1C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0,6586e j17,4687 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
k |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
U1I |
2 |
|
|
Z1C Z 2C |
|
|
54,5732e j10,7588 |
38,5158e j3,634 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0,0121e j6,7099 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1,8075e j13,9063 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
kI I |
|
|
Z |
1C |
e |
|
|
38,5158e j3,634 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
Z 2C |
|
|
|
|
|
|
1,8075e j13,9063 |
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54,5732e j10,7588 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
0,4648e j10,3439 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
kI U |
|
|
Z1C Z 2C e |
|
38,5158e j3,634 |
54,5732e j10,7588 |
|
|||||||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
25,3645e j 21,1027 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1,8075e j13,9063 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
111
6. Определение действующих значений входных и выходных токов и напряжений I1, I2, U2.
Определяем значения входного тока и выходных тока и напряжения при условии, что четырехполюсник нагружен на сопротивле-
ние Z 2Н Z 2С 53,6139 j10,1874 54,5732e j10,7588 Ом и на вход четырехполюсникаподано напряжение u1 (t) 350sin(100t 6) .
Перейдем от мгновенного значения входного напряжения к соответствующему комплексному действующему значению:
U1 3502 e j 6 247,487e j30 B.
Тогда вычислить действующие значения входных и выходных токов и напряжений I1, I2, U2 можно следующими способами.
Способ 1. При помощи характеристических параметров, используя формулы (2.39) – (2.40), можно определить:
– выходное напряжение:
|
Z 2C |
|
|
|
|
j30 |
53,6139 j10,1874 |
|
|
U2 |
U1 Z1C |
e |
|
247,487e |
|
38,4384 j2,4412 |
|
||
|
|
|
|
|
1 |
162,9786e j12,5322 B, |
|
||
|
1,8075e j13,9063 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
тогда мгновенное значение выходного напряжения: u2 (t) 162,9786 2 sin(100t 12,5322 )
230,4744sin(100t 0,2187), B.
Действующеезначениевыходногонапряжения U2 162,9786 B можнобылотакжевычислитьпоформуле:
U |
|
U |
|
Z 2C |
e ; |
|
|
|
|||
|
2 |
|
1 Z1C |
– входной ток:
I1 |
U1 |
|
247,487e j30 |
|
6,4256e j33,634 A, |
Z1C |
38,5158e j3,634 |
|
|||
|
|
|
|
112
мгновенное значение входного тока:
i1 (t) 6,425 2 sin(100t 33,634 )9,0872sin(100t 0,587), A,
действующее значение входного тока I1 6,425 A.
– выходной ток:
|
|
|
Z1C |
|
|
|
j33,634 |
38,5158e j3,634 |
|
|||
I |
|
I |
|
Z 2C |
e |
6,4256e |
|
54,573e j10,76 |
|
|||
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2,9862e j 23,2907 A |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1,8075e j13,9063 |
|
|
|
|
или по формуле
I2 |
|
U2 |
|
162,9786e j12,5322 |
2,9864e |
j 23,2922 |
A, |
Z 2C |
54,573e j10,76 |
|
мгновенное значение выходного тока:
i2 (t) 2,9862 2 sin(100t 23,2907 )4,2231sin(100t 0,4063), A,
действующее значение I2 2,9862 A.
Способ 2. При помощи передаточных коэффициентов:
U |
2 |
U |
k |
247,487e j30 0,6585e j17,469 |
162,97e j12,521 |
B. |
||||
|
|
1 |
|
U1U2 |
|
|
|
|
||
I |
|
U k |
247,487e j30 |
0,0121e j 6,7099 |
2,9946e j 23,2901 |
A. |
||||
2 |
|
|
1 U1I2 |
|
|
|
|
|
||
I1 |
|
I2 |
|
|
2,994e j 23,2901 |
6,4415e j33,634 |
|
A. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
kI1I2 |
0,4648e j10,3439 |
|
|
|
|
7. Исследование каскадного соединения двух заданных одинаковых четырехполюсников.
А-параметры определим по формуле (2.55) с учетом того, что каскадно соединены два одинаковых четырехполюсника:
113
A |
|
|
A2 |
A A |
A A |
|
A A |
|
||||||||
|
|
11 |
|
|
12 |
21 |
11 12 |
|
12 |
|
22 |
|||||
Э |
|
A A |
|
A A |
A A |
A2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
21 |
11 |
|
22 |
21 |
21 |
12 |
22 |
|
|
|
|
||
|
|
1,368e j31,0434 |
72,1224e j 24,6687 |
|
|
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0,0343e j38,9725 |
2,2475e j15,5945 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1,1635 j0,7003 |
65,5402 j30,1018 |
|
. |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
0,0267 j0,0216 |
2,1648 j0,6042 |
|
|
||||||||||||
Проверим правильность расчетов: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A |
AЭ AЭ AЭ AЭ |
0,9959 j0,0004 1. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
11 22 |
12 |
21 |
|
|
|
|
|
|
8. Определение выходных тока, напряжения, активной и полноймощности.
Определяем указанные величины при условии, что в качестве нагрузки используются разные сопротивления Z Э2C и Z 2Н 0,5Z Э2C ,
а входной ток I1 10 j10 10 2e j 45 14,142e j 45 A . Для решения
поставленной задачи можно воспользоваться передаточными коэффициентами, которые необходимо определить заново, поскольку изменилась нагрузка, илипо следующим формулам:
|
|
U |
AЭU |
2 |
AЭI , |
|
|||||
|
|
1 |
|
11 |
|
12 |
2 |
|
|
||
|
|
I1 |
A21U2 |
|
A22 I2 . |
|
|
||||
|
|
|
|
Э |
|
Э |
|
|
|
|
|
Поскольку U2 I2 Z 2Н |
A22 I2 |
|
|
A21 |
|
, |
|||||
I1 |
A21 |
I2 Z 2Н |
|
I2 |
Z 2Н A22 |
||||||
|
Э |
|
Э |
|
|
|
Э |
Э |
|||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I2 |
|
|
I1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
Э |
|
|
|
Э |
|
|
|||
|
|
|
|
A21 Z |
2Н A22 |
|
|
114
По условию четырехполюсник находится в согласованном режиме, т.е. в качестве нагрузки используется характеристическое сопротивление, которое необходимоопределитьпо формуле(2.26):
Z Э2C |
|
|
|
(2,1648 j0,6042) (65,5402 j30,1018) |
|
|
|||
|
(0,0267 j0,0216) (1,1635 j0,7003) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
58,9548e j14,8763 |
56,9788 j15,1357 Ом. |
|
|
||||||
Аналогично можно определить: |
|
|
|||||||
Z1ЭC |
|
(1,1635 j0,7003) (65,5402 j30,1018) |
|
|
|
||||
|
(0,0267 j0,0216) (2,1648 j0,6042) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
35,6214e j 0,5726 |
35,6196 j0,356 Ом. |
|
|
||||||
Тогда выходной ток: |
|
|
|||||||
I2 |
|
|
|
|
|
14,142e j 45 |
|
|
|
|
(0,0267 j0,0216) (56,9788 j15,1357) 2,1678 j0,6042 |
||||||||
|
|
|
2,999 j1,4226 3,3193e j 25,3777 A.
Мгновенное значение выходного тока при согласованной нагрузке
i2 (t) 3,3193 2 sin( t 25,3777 ), А.
Выходное напряжение:
U2 I2 Z Э2С (2,999 j1,4226) (56,9788 j15,1357)192,412 j35,6661 195,6897e j10,5013 B.
Мгновенное значение выходного напряжения при согласованной нагрузке:
u2 (t) 195,6897 2 sin( t 10,5013 ), B.
115
Аналогичным образом определяются выходные ток и напряжение при нагрузке Z 2Н 0,5Z Э2C . Комплексное значение выходного тока
I2 |
|
|
|
10 j10 |
|
|
|
|
(0,0267 |
j0,0216) |
0,5 (56,9788 j15,1357) |
2,1678 j0,6042 |
|||||
|
|
|
3,8786 j1,9579 4,3448e j26,7844 A,
мгновенное значение i2 (t) 4,3448 2 sin( t 26,7844 ), A.
Комплексное значение выходного напряжения:
U2 I2 0,5Z Э2C (3,8786 j1,9579) 0,5 (56,9788 j15,1357)125,316 j26,4267 128,0721e j11,9081 B,
Мгновенноезначение u2 (t) 128,0721 2 sin( t 11,9081 ), B.
Можно выходные ток и напряжение при согласованной нагрузке рассчитать с помощью передаточных коэффициентов, что и будет продемонстрировано ниже. Для чего определим меру передачи и коэффициент передачи по току,
e Э AЭ |
AЭ |
|
AЭ |
AЭ |
|
(1,1635 j0,7003) (2,1648 j0,6042) |
11 |
22 |
|
12 |
21 |
|
|
(65,5402 j30,1018) (0,0267 j0,0216)
2,9416 j1,5214 3,3117e j 27,3481 ;
Э |
|
|
ZЭ |
|
|
|
|
35,621e j0,5726 |
|
|
1 |
|
j19,6237 |
|
kI I |
|
|
1C |
e |
|
Э |
|
|
|
|
|
|
0,2347e |
. |
|
|
|
|
58,9548e j14,8763 |
3,3117e j27,3481 |
|||||||||
1 |
2 |
|
Z2ЭC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Тогда комплексное значение выходного тока: |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I2 0,2347e j19,6237 10 |
2e j 45 |
|
|
3,3192e j 25,3763 2,999 j1,4225,
мгновенное значение i2 (t) 3,3192 2 sin( t 25,3763 ) .
116
Для определения выходного напряжения можно воспользоваться передаточным сопротивлением:
Э |
|
Э Э |
|
|
|
35,621e j0,5726 |
58,9548e j14,8763 |
|
kI U |
|
Z1C Z 2C e |
|
Э |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
3,317e j 27,3481 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13,8155e j34,5 .
Тогда комплексное значение выходного напряжения:
|
Э |
|
13,8155e |
j34,5 |
10 2e |
j 45 |
195,3807e |
j10,5 |
|
U2 |
kI U |
I1 |
|
|
|
||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
192,412 j35,661B,
мгновенное значение u2 (t) 195,3807 2 sin( t 10,5 ) .
Определим полную, активную и реактивную мощности при согласованной нагрузке для каскадного соединения двух одинаковых четырехполюсников.
Полная комплексная мощность определяется как
|
S2 U2 |
I*2 |
(192,102 j35,6053)(2,999 j1,4225) |
||
|
|
626,7624 j166,4848 648,497e j14,8758 ВА. |
|||
|
Таким образом, активная мощность P2 |
626,7624Вт, реактив- |
|||
наямощностьQ2 |
166,4848ВАр, полнаямощность S2 648,497ВA . |
||||
|
Зная |
разность начальных фаз |
напряжения и тока |
||
2 |
u2 i2 10,5 25,3763 14,8763 , |
можно определить |
|||
мощности следующим образом: |
|
||||
P2 |
U2 I2 |
cos 2 |
195,3807 3,3192 cos( 14,8763 ) 626,7711 Вт, |
||
Q2 |
U2 I2 sin 2 |
195,3807 3,3192 sin( 14,8763 ) 166,4933 ВАр, |
|||
S2 |
P2 |
Q2 |
(626,7711)2 ( 166,4933)2 648,5075 ВА, |
||
S2 |
U2 I2 |
3,3192 195,3807 648,5076 ВА. |
|
117
|
Согласованная |
|
нагрузка |
Z Э2C 56,9788 j15,1357 Ом, тогда |
||||
R |
Re(Z Э |
) 56,9788 Ом; X |
2C |
Im(Z Э ) 15,1357 Ом, а мощ- |
||||
2C |
2C |
|
|
|
|
|
2C |
|
ностиможно определитьтретьимспособом: |
||||||||
|
P I 2 R |
|
3,31922 |
56,9788 627,7405 Вт, |
||||
|
|
2 |
2 |
2C |
|
|
|
|
|
Q I 2 X |
2C |
3,31922 ( 15,1357) 166,7514 ВАр. |
|||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
Мгновенную мощность определим по следующей формуле:
p (t) u |
2 |
(t)i (t) 195,3807 |
2 sin( t 10,5 ) |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
3,3192 |
2 sin( t 25,3763 ) |
195,3807 3,3192 2 |
|
||
|
|
|
|
2 |
|
cos(10,5 25,3763 ) cos(2 t 10,5 25,3763 )
648,5076cos( 14,8763 ) 648,5076cos(2 t 35,8763 ),
где 648,5076cos( 14,8763 ) 626,7712 P2 , |
S2 648,5076. |
Аналогично рассчитываются мощности на входе каскадного соединения.
Такимжеобразомрассчитываютсямощностипри Z Э2Н 0,5Z Э2C .
S2 U2 I*2 (125,316 j26,4267)(3,8786 j1,9579)537,7915 j142,8576 556,4423e j14,8764 ВА.
Используя формулы определения мощности, изложенные выше, можно определить активную, реактивную, полную и мгновенную мощности несколькими способами, что и предлагается проделать студентам самостоятельно. По результатам расчета следует проверить выполнение баланса мощности.
118
3. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ
При изучении свойств резонансных цепей было дано понятие полосы пропускания колебательного контура. Установлено, что чем выше добротность контура, тем уже его полоса пропускания и соответственно острее резонансная кривая. Острота резонансной кривой характеризует частотную избирательность колебательного контура, т.е. его способность пропускать или задерживать электрические колебания определенной частоты – резонансной или близкой к ней.
На практике возникает необходимость выделения полосы частот. В частности, передача радиосигнала (например, звукового) требует выделения определенной полосы частот, в пределах которой ведется данная передача. Такое разделение частот осуществляется с помощью электрических фильтров, получивших широкое применение как в радиотехнике и технике связи, где используются сигналы высоких частот, так и в силовых электрических цепях.
Электрический фильтр представляет собой пассивный четырехполюсник, пропускающий определенную полосу частот с малым затуханием, причем вне этой полосы частот затухание велико. Таким образом, фильтр пропускает сигналы одних частот без затухания ипреграждает прохождение сигналовдругих частот.
Диапазон частот, на котором фильтр пропускает сигналы без затухания (на практике – с малым затуханием), называют
полосой пропускания (прозрачности). Диапазон частот, про-
пускаемых с большим затуханием, составляет полосу затухания (задержания) фильтра. Граничную (предельную) частоту называют частотой среза ωc .
Фильтр следует считать идеальным, если в полосе пропускания отсутствует ослабление сигнала и не искажается форма сигнала, а вне полосы пропускания сигналы на выходе фильтра отсутствуют.
119
3.1. Классификация фильтров
Фильтры классифицируются по множеству признаков:
по типу пропускаемых частот:
–фильтры низких частот (ФНЧ), диапазон пропускаемых частот 0 c1 ;
–фильтры высоких частот (ФВЧ), диапазон пропускаемых
частот c2 ;
–полосовые (полосно-пропускающий), c1 c2 ;
–режекторные (заградительные или полосно-задержива-
ющие), 0 c1 и c2 , где c1 c2 ;
по типам используемых элементов:
–активные (содержащие некомпенсированные источники энергии и потребители);
–пассивные (либо не содержат источников энергии, либо, если они есть, то суммарное их действие взаимно компенсируется внутри фильтра таким образом, что напряжение на входных и выходных зажимах равно нулю);
–реактивные или без потерь (состоящие из индуктивностей
иемкостей);
–безындукционные(состоящиеизрезисторовиконденсаторов);
–пьезоэлектрические (состоящие преимущественно из кварцевых пластин);
по схемам соединения элементов:
– Т-образные;
– П-образные;
– Г-образные;
– мостовые и др;
по числу отдельных звеньев:
–однозвенные;
–многозвенные;
по характеристикам:
–k-типа;
–m-типа и др.
120