книги / Теория линейных электрических цепей. Ч. 2

3.6. Задачи и вопросы

Типовые задачи

Задача 1.

Дано: для фильтра низких частот (рис. 3.14) частота среза fc 25 кГц, волновое сопротивление 800 Ом.

Найти: параметры L, C фильтра; величину U1 U2 на частоте f 50 кГц при согласованной нагрузке и Z н .

Решение.

Параметры L, C можно опре-

L

делить из соотношений:

L

C/2

C/2

800,

C

2

2 f

c

c

.

Рис. 3.14

LC

Решая данную систему уравнений, получим

L 0,01 Гн, C 16 нФ.

Отношение U1 U2

при согласованной нагрузке можно опре-

делить при помощи коэффициента затухания:

U1 e .

U2

Коэффициент затухания определим двумя способами.

Первый

способ. A11 ch ,

откуда arcch( A11 ) , при

этом

A 1 2 2 , где

.

Произведя расчет,

получим

11

0

50

2

A11 1 2

25

7 .

141

Для функции arcch известно, что

		(x	2	1)	y 0,
	ln(x
y arcch x
x 0	ln(x	(x2		1)	y 0.

В нашем случае y 0 , поскольку коэффициент затухания положителен. Следовательно,

ln(		A			A2	1) ln(7	( 7)2 1
		11			11

ln13,9 2,63 Нп,

и, значит,

U1 13,9 .

U2

Второй способ. Вспомним, что коэффициент затухания – это действительная часть меры передачи:

			Re( ) Re(ln(						A11 A22 A12 A21 )).
Определим А-параметры:
A		1	(1 2 )		1			(1 2 ) j C(1 2 )
21		Z 2		j	1
						C

j0,0151 Ом 1,

A12 Z1 j L j3,1415 103 Ом,

A11 7 .

Тогда мера передачи

ln(7 j3,1415 103 ( j0,0151)) ln13,88 , Re( ) ln13,88 2,63 .

142

Определим отношение U1 U2 для режима нагрузки Z н 800 Ом при помощи коэффициента передачи по напряжению:

U1 1 .

U2 kuu

Следует напомнить, что приведенная выше формула справедлива как длясогласованного режима, так идля несогласованного.

Откуда

	U1		1
		mod			mod A11
	U2	kuu

mod 7 j3,1415 103

800

A12

Z н

8,026.

Задача 2.					L/2				L/2
Дано: для фильтра высоких
частот (рис. 3.15)		частота	среза					C
0 25 кГц,	характеристическое
сопротивление	Z CТ	j600	Ом
					Рис. 3.15
при 1 20 кГц.

Найти: параметры L, C фильтра коэффициент затухания и величину U1 U2 на частоте 1 .

Решение.

L, C определим при помощи следующих формул:

			1
0				,
			2 LC
		j			2	1,
Z CТ

где 0 , CL .

143

В результате получаем L 16 мГн, C 25 нФ. Коэффициент затухания

ln( A11 A112 1) ln 4 1,3863 , где A11 1 2 2 1 2 1,252 2,125 .

Тогда U1 4 .

U2

Вопросы и упражнения для самоконтроля

1.Какие значения принимают коэффициент затухания и модуль передаточнойфункциипонапряжениюидеальногофильтравполосе:

а) пропускания; б) затухания?

2.Почему при каскадном соединении звенья многозвенных фильтров должны быть характеристически согласованы?

3.Изобразите зависимость от частоты коэффициента затухания ( ) идеального фильтра:

а) нижних частот; б) верхних частот; в) полосового; г) заграждающего?

4. Обладают ли фильтрирующими свойствами электрические цепи, изображенные на рис. 3.16?

L1	L2	R1	L
	L3	R2	C
	а	б	в
		Рис. 3.16

144

5. Определить, какой полосе частот принадлежит рабочая частота фильтров (рис. 3.17), если:

а) X L1	X L2		Z1	1 Ом, X C Z 2 8 Ом;
			2
б) X C1	X C2		Z1	8 Ом,	X L Z 2 0,5 Ом;
			2
в) X C1	X C2	2Z 2 2 Ом, X L Z1 4 Ом.
X L1	X L2			X C1	XC2	XL
	XC				XL	X C1	XC2
а					б	в
					Рис. 3.17

6. Для фильтра низких частот (рис. 3.18) заданы коэффициент фильтра k 12,5 и частота среза c 2,5 105 с–1. Определить характеристическое сопротивление на частоте 10 с–1.

L 2	L 2	L
	С	C/2	C/2
Рис. 3.18		Рис. 3.19
7. Дан	фильтр высоких	частот, частота	среза которого
c 25 103	с-1 и характеристическое сопротивление		Z C j600 Ом

при 1 20 103 с-1. Определитькоэффициентзатухания.

145

8. Из двух конденсаторов емкостью 4 нФ и индуктивности 0,34 мГн собран низкочастотный фильтр. Какова полоса пропус-

кания такого фильтра?
9. Дан Т-фильтр высоких частот (рис. 3.19), у	которого
С1 = С2 = 0,16 мкФ, L = 0,02 Гн. Определить на частоте	f 3 кГц

мгновенное значение напряжения на выходе фильтра при согласованной нагрузке, если U1 50 2 В.

10. Из двух индуктивностей величиной 0,05 Гн и емкости 0,1 Ф собран фильтр высоких частот. Определить коэффициент фильтра и мгновенное значение выходного напряжения в согласован-

ном режиме на частоте 1 104 с-1, если U1 10 В.

11.Подобрать индуктивность L фильтра (см. рис. 3.11) так, чтобы частота среза fc 10 кГц, емкость С = 0,1 мкФ.

12.Определить полосу пропускания и характеристическое сопротивлениефильтра(см. рис. 3.19) при L = 10 мГн, С= 0,8 мкФ.

13.Т-образный фильтр верхних

Z1 2

Z 1 2

частот типа k состоит из двух кон-

денсаторовемкостью2С1 = 0,16 мкФ

каждый и катушки с индуктивно-

стью L2 = 0,02 Гн

(рис. 3.20).

Z

2

Построить

графики

зависимости

коэффициента затухания , ко-

Рис. 3.20

эффициента фазы и характери-

стического

сопротивления Z CТ

отчастоты. При входномнапряже-

нии U1 100 В и частоте

f 3 кГц вычислить комплексные зна-

чения всех токов и напряжений в схеме фильтра и построить векторную диаграмму токов и напряжений.

146

ОТВЕТЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ

К главе 1 «Линейные электрические цепи с источниками периодических негармонических воздействий»

3. Рекомендуется воспользоваться законом Ома для амплитудных значений напряжений и токов и учесть, что X L(3) 3X L(1) ,

X C (3) X3C (1) .

9.5 2 A .

10.104,4 В.

11.Необходимо учесть, что цепь не пропускает ток при условии резонанса тока, С1 = 17,78 мкФ, С2 = 2,22 мкФ.

12.S = 1530 ВА, 0,68 .

13.IA = 1 А, UV1 100 3 B , UV2 100 B .

14. L1 = 0,1 Гн, L2 = 0,05 Гн, IA = 1,5 А, UV 100 5 B ,

Т= 370,82 ВА.

15.UV 15 B , IA = 0,15 А.

16.i1 (t) 3sin t, i2 (t) 4sin t sin 2 t,

i3 (t) sin( t 180 ) sin(2 t 180 ), A;

uab (t) 12cos t 6cos 2 t, B.

17. P = 60 Вт, Q = –30 вар, S = 105 ВА, Т = 80,778 ВА.

К главе 2 «Четырехполюсники»

1 Z

1 0

1

Z

1

Z

Z

3. а)

; б)

; в)

Z

; г)

Z 0

;

0 1

1 Z 1

1

1

1

1

Z 0

Z 0

Z 0

Z1 Z 3

Z1 Z 3 Z 2 Z 4

(Z1 Z 3 )(Z 2 Z 4 )

1

Z 0

д)

Z 2 Z 4

Z 0

;

1

1

Z 0

Z 0

147

Z15

Z 25

е) рекомендуется преобразо-

1

2

вать

треугольник

Z1 Z 2 Z 5 в

Z12

эквивалентную звезду (рис. 1) и

определить А-параметры по фор-

мулам для Т-образной схемы,

Z 3

Z 0

Z 4

где

Z1 Z15 Z 3 ,

Z 2

Z 25 Z 4 ,

2

Y 0

1

;

1

Z12 Z 0

Рис. 1

ж) необходимо

воспользо-

ваться формулами определения А-параметров через параметры холостого хода и короткого замыкания, в которых

Z1x		Z 2 (Z1 Z 4 Z 3 )									,		Z 2x					Z 4 (Z1 Z 2 Z 3 )					,
		Z 2 Z1 Z 4 Z 3																Z 2 Z1 Z 4 Z 3
Z1к		Z 2 (Z1 Z 3 )						,	Z 2к						Z 4 (Z1 Z 3 )					.
		Z 2 Z1 Z 3												Z 4 Z1 Z 3
			1		Z A						A					A Z A A						Z A
8. а) A				0	1				11			12						11	21		12	22		,
								A			A							A				A
									21			22						21				22
		1			0		A			A								A				A
б) A								11				12						11				12		,
		1 Z			1 A21					A22						A11 Z A21					A12 Z A22
		A			A			1		Z					A			A Z	A
в) A			11		12				0	1						11		11	12		,
			A		A											A		A Z	A
			21		22											21		21	22
г) A A11					A12			1				0				A11 A12 Z					A12 .
		A21			A22 1 Z							1				A21 A22 Z					A22
9.
		A			A		A					A						A2 A A				A A		A A
б) A			11		12				11			12						11	12 21			11 12		12	2	22	,
			A A A A														A A A A					A A A
			21		22				21			22						21 11	22 21			21		12	22

148

в) A	A		A	A A						A A A A						2A A
		22	12			11	12					22	11	12	21		22	12		,
		A A			A A								2A A			A A A A
		21	11			21	22						21	11		21	12	11	22
г) A	A		A	A A						A A A A							2A A
		11	12			22	12					11	22	12	21		11	12		,
		A A			A A								2A A			A A A A
		21	22			21	11						21	22		21	12	22	11
д) A	A11		A12 A11						A12		.
	A		A			A			A
		21			22		21		22
10. A		2	j					j				1				2	j
				,		H							,	A род			1	,
		j	1					1					j			j

u1 (t) 4sin( t 45 ), B; схема замещения родственного четырехполюсника представлена нарис. 2.

		30
11. Z
		j10
	3 j2
Y		130
		3 j2
		130
A	(1 j3)
		j0,1
12. i2	(t)		5
		3

j10
,						1 Ом
j10			1								2
3 j2
130
		,								1 Ом
3 j11
130
				1'			Рис. 2				2'
( 30	j20)
1		.

2 sin( t 75 ), A.

13. Рекомендуется преобразовать реактивный треугольник в эквивалентную звезду и рассчитать параметры Т-схемы,

	0	j10		Г j		.
A		j	,		2
j0,1

14.Совпадают по фазе.

15.A 32 ln 2 Нп.

16.u1 50 .

149

17. Напоминаем, что P1 e2A , для цепной схемы из 5 звень-

P2

ев P		e	, следовательно, P2	48 Вт.
	P1	10A
2
	К главе 3 «Электрические фильтры»				1,
	1. а) полоса пропускания			1 , б) полоса затухания
в) граничная частота 1.

2.Z C j48,4 Ом.

3.A 1,39 Нп.

4.Полоса пропускания 0 193 кГц.

5.u2 (t) 100sin(6 103 t 83,6 ), B.

6.В j60 , u2 (t) 10 2 sin(104 t 60 ), B.

150