книги / Математическое моделирование процессов механической обработки
..pdfТаким образом,
Mc – оригинал,
Rвр
I UR – аналог.
2. Основное уравнение динамики твердого тела
M J |
d |
, |
(5) |
|
dt |
||||
|
|
|
где J – момент инерции вращающегося элемента, кг∙м2; М – крутящий момент, Н м; J – аналог электрической емкости С.
Момент инерции представляет собой постоянную по времени величину, характеризующую пассивный элемент, обладающий инерцией, в котором накапливается кинематическая энергия вращательного движения.
Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси называется физическая величина J , равная сумме произведений массы каждой из n материальных точек системы на квадрат их расстояния до оси. Момент инерции механической системы относительно неподвижной оси α определяется по следующей формуле:
n |
|
|
2 dm V |
|
2 |
D dV , |
|
J mi i2 m |
|
|
(6) |
||||
i 1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
где dm D dV – масса малого элемента объема тела dV; ρ – расстояние от центра масс механической системы до оси α, м; D – плотность, кг/м3.
Таким образом,
M J ddt – оригинал;
I C dUdt – аналог.
11
3. Уравнение деформации при кручении бруса с круглым поперечным сечением
M G J , |
(7) |
где G – модуль сдвига, Н/м2; J – полярный момент инерции сечения бруса, м4; ddl – относительный угол закручивания бруса, рад/м.
Если рассматривать брус конечной длины, то
|
|
, |
(8) |
|
l |
|
|
где – угол закручивания – угол относительного поворота концевых сечений участка, рад; l – длина деформируемого участка, м.
Продифференцируем обе части уравнения деформации при кручении (7) по времени t:
|
|
|
|
|
dM |
|
|
GJ |
|
d |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
l |
|
dt |
|
|||||
При этом следует учесть, что |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
d |
– угловая скорость, рад/c; |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
dt |
|
||||||||||||||
|
l |
|
Lвр – крутильная податливость вала, рад/(Н м). |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
G |
|
|
|||||||||||||
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
L |
|
dM |
, |
(9) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вр |
dt |
|
|
|
|
||
где Lвр – аналог электрической индуктивности L. |
|
|||||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
L |
dM |
– оригинал, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
вр |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U L |
dI |
– аналог. |
|
|||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
Аналогичное уравнение можно получить для спиральной пружины:
М = Сφ, |
(10) |
где С – жесткость пружины, (Н м)/рад.
Продифференцируем обе части данного уравнения (10) по времени и выразим ω, при этом получим
Lвр dMdt ,
где Lвр C1 – крутильная податливость пружины, рад/(Н м).
Таким образом, в системе электромеханической аналогии устанавливаются следующие соответствия между механическими и электрическими величинами:
Момент силы М, Н м |
– |
электрический ток I, А |
Угловая скорость , рад/с |
– |
напряжение U, В |
Момент инерции массы J, кг м2 |
– |
емкость С, Ф |
Крутильная податливость Lвр, рад /(Н м) |
– |
индуктивность L, Гн |
Сопротивление трения Rвр, рад /(Н м с) |
– |
омическое сопротивление R, Ом |
1.1.3. Механическая поступательная подсистема
Основными (базисными) характеристиками процессов, протекающих в механической поступательной системе, являются сила F и скорость V, а также параметры системы: масса m, продольная податливость Lм, сопротивление трения Rм.
Фазовые переменные: силы F и скорости V являются соответственно аналогами токов I и напряжений U по принятой системе электромеханической аналогии. Запишем уравнения для трех типов простейших элементов.
13
1. Уравнение вязкого сопротивления трения
F |
V |
, |
(11) |
c RM
где Fc – продольная сила трения, Н; V – скорость продольного перемещения тела, м/с; RM 1k – аналог электрического сопро-
тивления, м/(Н с); k – коэффициент вязкого сопротивления трения. Таким образом,
Fc V – оригинал,
RM
I UR – аналог.
2. Уравнение массы (второй закон Ньютона)
F m a m |
dV |
, |
(12) |
|||
dt |
||||||
|
|
|
|
|
||
где F – продольная сила, Н; |
dV |
a |
– |
ускорение тела, м/с2; |
||
dt |
||||||
|
|
|
|
|
m – масса элемента, кг, – аналог электрической емкости С.
Масса – пассивный элемент механической системы, препятствующий изменению скорости движения и накапливающий кинетическую энергию движения. Кинетическая энергия массы увеличивается при увеличении ее линейной скорости, то есть при наличии линейного ускорения.
Таким образом,
F m dVdt – оригинал,
I C |
dU |
– аналог. |
|
dt |
|||
|
|
14
3. Уравнение пружины при растяжении-сжатии |
|
F k x, |
(13) |
где k – жесткость пружины, Н/м; x – перемещение (рабочий ход) пружины, м.
Продифференцируем обе части уравнения (13) по времени:
dFdt k V .
Выразим скорость V:
V L |
dF |
, |
(14) |
|
|||
M dt |
|
|
где LM 1k – величина, обратная жесткости, или коэффициент по-
датливости пружины, м/Н, – аналог электрической индуктивности L. Таким образом, получаем
V LM dFdt – оригинал,
U L dIdt – аналог.
Аналогичное компонентное уравнение можно получить из закона Гука для элемента, у которого учитывается сжимаемость (растягиваемость):
E |
l |
, |
(15) |
|
l |
||||
|
|
|
где – напряжение на элементе, Н/м2; Е – модуль продольной упругости, Н/м2; l – длина элемента, м; l – абсолютное изменение длины элемента, м.
Умножим обе части уравнения (15) на S – площадь поперечного сечения элемента:
S E S |
l |
. |
(16) |
|
|||
|
l |
|
15
Продифференцируем обе части уравнения (15) по времени t:
d S |
|
E S |
|
d l |
. |
|
|
|
|||
dt |
|
l |
|
dt |
При этом следует учесть, что:S F – продольная сила;
d l V – скорость перемещения тела. dt
Тогда получим
|
|
V L |
dF |
, |
|
|
|
|
|||
|
|
M dt |
|
||
где LM |
l |
– податливость (упругость) элемента (участка бру- |
|||
|
|||||
E S |
|||||
|
|
|
|
са), м/Н – аналог электрической индуктивности L.
Упругость – пассивный элемент механической системы с неизменяемой во времени податливостью, препятствующий изменению нагрузки, в котором накапливается потенциальная энергия.
В системе электромеханической аналогии устанавливаются следующие соответствия между механическими и электрическими величинами:
Скорость V, м/c |
– |
напряжение U, В |
Сила F, Н |
– |
ток I, А |
Масса m, кг |
– |
емкость С, Ф |
Податливость Lм, м/Н |
– |
индуктивность L, Гн |
Вязкое сопротивление трения Rм,м/(Н с) |
– |
омическое сопротивление R, Ом |
1.1.4. Гидравлическая (пневматическая) подсистема
Фазовыми переменными в этой подсистеме являются массовые расходы Qm и давления Р, соответственно аналоги токов I и напряжений U. Запишем уравнение трех простейших элементов.
16
1. Уравнение участка трубопровода при стационарном ламинарном течении жидкости
Pп Rг Qm , |
(17) |
где Рп – потери давления жидкости в трубопроводе определенной длины l и диаметра d, Н/м2; Qm – массовый расход жидкости, кг/с,
Qm V S , |
(18) |
где V – скорость течения жидкости по трубопроводу, м/с; S – площадь поперечного сечения трубопровода, м2; ρ – плотность жидкости, кг/м3; Rг – гидравлическое сопротивление трубопровода – аналог электрического сопротивления, 1/(м с),
R 128 |
v l |
|
, |
(19) |
|
|
|||
г |
d |
4 |
|
|
|
|
|
где v – кинематическая вязкость жидкости, м2/с; l – длина трубопровода, м; d – диаметр трубопровода, м.
Таким образом,
Pп Rг Qm – оригинал,
UI R – аналог.
2.Уравнение сжимаемости жидкости в некотором объеме при воздействии давления Р
U U P, |
(20) |
где β – коэффициент объемного сжатия, м2/Н; P – изменение |
|
давления, Н/м2; U – изменение объема, |
|
U S l, |
(21) |
где S – площадь сосуда, м2; l – изменение высоты столба жидкости, м.
17
Перепишем уравнение (20), с учетом выражения (21):
|
|
|
|
S l U P. |
|
(22) |
||
|
Умножим обе части уравнения (21) на плотность жидкости ρ: |
|||||||
|
|
|
S l U P. |
|
(23) |
|||
|
Продифференцируем обе части уравнения (23) по времени t |
|||||||
и получим |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
S |
d l |
U |
d P |
, |
(24) |
|
|
|
dt |
dt |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
d l |
V |
– скорость движения жидкости через сечение, м/с; |
|||||
|
||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
S V Qm – |
массовый расход жидкости, |
кг/с; |
U Cг – |
гидравлическая емкость, аналог электрической емкости С, м c2.
Таким образом, |
|
|
|
|
|
Q |
C |
d P |
– оригинал, |
||
|
|
||||
m |
г |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I C |
dU |
– аналог. |
||
|
dt |
||||
|
|
|
|
|
3. Уравнение Эйлера (закон движения идеальной жидкости)
dV |
|
1 |
|
dP |
. |
(25) |
|
|
|
||||
dt |
|
dx |
|
Если рассмотреть участок трубопровода длиной l с давле-
ниями на концах P1и Р2, то при замене производной dPdx первой разностью получим
dV |
|
1 |
P P |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
. |
(26) |
dt |
|
l |
|
|||
|
|
|
|
18
Для получения в левой части уравнения массового расхода умножим обе части уравнения (26) на ρ∙S:
|
dV |
|
|
S |
P P |
|
|||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dQm |
|
|
S |
P, |
|
|
|||||
|
|
|
dt |
|
|
l |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
P L |
|
dQm |
, |
|
(27) |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
г |
dt |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Lг Sl – аналог электрической индуктивности, 1/м.
Таким образом,
dQ
P Lг m – оригинал, dt
U L dIdt – аналог.
Закон движения реальной жидкости описывается уравнением Навье-Стокса, которое для одномерного случая имеет следующий вид:
dV |
V |
dV |
|
1 |
|
dP |
G |
|
d 2V |
, |
(28) |
|
|
|
|
|
|||||||
dt |
|
dx |
dx |
M |
|
dx2 |
|
||||
|
|
|
|
где Gм – массовые силы, кг; v – кинематическая вязкость, м2/с.
Выделяя участок трубопровода и считая, что dVdx a const,
получим, что участок может быть представлен гидравлическим сопротивлением и индуктивностью (массовыми силами пренебрегаем).
19
Таким образом,
|
|
L |
dQm |
R |
Q |
P, |
|
|
|
||||
|
|
г |
dt |
г |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
где R |
a l |
– гидравлическое сопротивление, 1/(м с). |
||||
|
||||||
г |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В системе электрогидравлической аналогии устанавливаются следующие соответствия между гидравлическими (пневматическими) и электрическими величинами:
Давление Р, Н/м2 |
– |
напряжение U, В |
Массовый расход Qm, кг/c |
– |
ток I, A |
Гидроемкость сосуда с жидкостью Cг, м с2 |
– |
емкость С, Ф |
Податливость жидкости Lг,1/м |
– |
индуктивность L, Гн |
Гидравлическое сопротивление Rг, 1/(м с) |
– |
омическое сопротивление R, Ом |
20