книги / Математическое моделирование процессов механической обработки

E3 p	E2 p	Z3 p			I L R i 0 L R
	Z2 p				p L R
					p L R	,
			p2	L R C p L R
	U p			I L R i 0 L R				.
				p2 L R C p L			R

		p L R
		p L R

Получаем точно такое же решение, как и в предыдущем случае, но с учетом ненулевых начальных условий, что в конкретных условиях наиболее соответствует действительности.

Вопросы для проверки уровня освоения дисциплины

1.Какие существуют виды моделей и чем они различаются между собой?

2.В чем сущность моделей прямой аналогии?

3.В чем сущность математического моделирования и его назначение?

4.Какие существуют способы получения математических моделей?

5.Что представляет собой алгоритм построения математических моделей?

6.Какие элементы включает в себя обобщенная структура металлорежущего станка?

7.Что представляют собой компонентные уравнения различных подсистем?

8.Каким образом рассчитываются электрические подсистемы?

9.Как рассчитываются механические вращательные подсис-

темы?

10.Какие параметры включает расчет механической поступательной подсистемы?

11.В чем заключается расчет гидравлической подсистемы?

61

12.Каким образом осуществляется расчет тепловой подсис-

темы?

13.Какие этапы включает в себя алгоритм получения эквивалентных схем технического объекта?

14.Каким образом осуществляется соединение элементов эквивалентных электрических схем?

15.В каких случаях в эквивалентных схемах применяются источники ЭДС, а в каких – источники тока?

16.В чем сущность операторного метода расчета электрических моделей?

17.Что такое преобразование Лапласа?

18.Каким образом производится переход от оригинала функции к ее изображению?

19.Что такое переходные процессы в технических объектах?

62

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Крюков А.Ю., Потапов Б.Ф. Математическое моделирование процессов в машиностроении: учеб. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2007. – 321 с.

2.Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике: учебник для втузов. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,

2010. – 495 с.

3.Никитин С.П. Моделирование технологического оборудования: учеб. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2001. – 139 с.

63

ПРИЛОЖЕНИЕ

Расчет моментов инерции деталей приводов станков

Вращающиеся детали приводов металлорежущих станков в большинстве случаев можно рассматривать как элементы с сосредоточенной массой. Обычно детали приводов имеют цилиндрическую форму с большим количеством уступов. Для вычисления момента инерции такую деталь условно разбивают на участки постоянного диаметра, определяют момент инерции каждого участка и суммируют. Момент инерции участка определяют по формуле

	J				l d 4	(кг/м2),	(П1)
		g		32

где – удельный вес материала детали, Н/м3; g – ускорение свободного падения, g = 9,81 м/с2; l – длина участка, м; d – диаметр участка, м.

Если деталь имеет полости цилиндрической формы, то из момента инерции сплошной детали (без учета полостей) вычитают момент инерции объема полости. Детали фасонного профиля удобно заменять телами ступенчатой формы; количество ступеней выбирается в зависимости от требуемой точности расчета. Зубчатое колесо рассматривается как сплошное тело, диаметр которого равен делительному диаметру.

При определении момента инерции ротора электродвигателя, фрикционных и других муфт следует пользоваться каталогами, в которых приводятся значения «махового момента»:

GD2, (Н/м2),

где G – вес ротора, Н; D – диаметр ротора, м.

Если каталожные данные электродвигателя неизвестны, можно пользоваться приближенной эмпирической формулой:

G D2 0,3G d 2 ,

(П2)

p

где dp – наружный диаметр ротора, м.

64

Для учета момента инерции валов 1/3 Jb распределяется по сосредоточенным массам на концах вала. Характер этого распределения зависит от формы колебаний системы, однако так как момент инерции вала весьма невелик, с достаточной точностью можно прибавлять поровну (по 1/6 Jb) к обеим сосредоточенным массам.

Расчет податливостей упругих элементов приводов станков

Крутильная (угловая) податливость Lвр – это угол (рад) закручивания данного участка элемента под действием единичного крутящего момента Мкр, т.е.

L

, рад/(Нм).

(П3)

вр Mкр

Расчет крутильной податливости приводов станков имеет специфику, обусловленную наличием большого числа валиков, имеющих малую изгибную жесткость, шлицевых и шпоночных соединений, зубчатых, ременных и цепных передач, муфт, подшипников качения и скольжения.

Податливость валов на кручение Lвр определяется по формулам, приведенным в табл. П1.

Таблица П1

Податливость валов на кручение

Эскиз элемента

Lвр, рад/(Н мм)

Примечание

Сплошной вал

L

32

l

вр

G D4

Вал с отверстием

32

l

Rc

1

Lвр

Rc

d 2

G

D4

1

D

65

Окончание табл. П1

Эскиз элемента	Lвр, рад/(Н мм)								Примечание
Вал со шпоночной канавкой
	Lвр			32 l					D D 0,5h
				G D4
									1
						1
Вал шлицевый
	L			32			l
	вр			G d 4
Вал произвольного сечения									Ip – полярный
						4 I p l
	Lвр	32							момент инерции
			G				A4		4	;
									сечения, м
									A – площадь
									сечения, м2.

Примечание: G – модуль сдвига материала детали, Н/м2.

При определении податливости вала шпоночные канавки следует учитывать лишь в том случае, если они выходят из-под ступицы.

Так как крутящий момент распределяется по длине контакта в шлицевом (шпоночном) соединении вал-втулка неравномерно, причем неравномерность тем больше, чем меньше жесткость вала и чем больше жесткость шлицев, то расчетную длину l вала следует принимать равной расстоянию между точками приложения равнодействующих эпюр крутящих моментов на длине контакта шлицев (рис. П.1):

E l0 0,3 l1 l2 .

(П4)

При шпоночном соединении расчетную длину вала на кручение можно принимать равной расстоянию между середи-

66

нами работающих венцов, так как ширина втулок в этих случаях обычно невелика, а контактная податливость шпоночного соединения значительная.

Рис. П.1. К определению расчетной длины вала (xц.т – положение центра тяжести элемента)

Крутильная податливость соединения вал-ступица суммируется с податливостью на кручение.

Деформация шлицевых и шпоночных соединений определяется податливостью контактирующих поверхностных слоев, подвергающихся смятию. Принимая приближенно пропорциональность нормальных давлений и вызываемых ими деформаций смятия, крутильную податливость шлицевых и шпоночных соединений будем определять выражением

	Lвр.ш		kш	, рад/(Нм),	(П5)
		d 2	l h Z

где d – диаметр соединения (для шлицевого соединения d = dср), м; l – длина соединения, м; h – активная высота шлица (шпонки), м; Z – число шпонок (шлицев); kш = 6,4 10–10 м3/Н – для соединения с призматической шпонкой; kш =1 3,6 10–10 м3/Н – для соединения с сегментной шпонкой; kш = 4 10–10 м3/Н – для шлицевого соединения.

67

При расчете податливости муфт с резиновыми упругими элементами следует учитывать различие между жесткостью резины при медленном (статическом) нагружении kст и при колеба-

ниях kдин; динамический коэффициент Kдин kдин зависит от ти-

kст

па каучука, твердости и состава резины, амплитуды колебаний; от этих же факторов зависит демпфирование резины, которое можно характеризовать относительным рассеиванием энергии или логарифмическим декрементом .

Kдин и в диапазоне 0,1–200 Гц мало зависят от частоты. Среднее значение Kдин = 2…2,5 при = 0,5 и = 0,6 в диапазоне частот 0,1 до 200 Гц.

Приближенно податливость упругих втулочно-пальцевых муфт определяется по эмпирической формуле

Lвр.м.в.п		0,16 10 5				, рад/(Нм),	(П6)
	K	дин	H 3	d	3
					max

где dmax – наибольший для данного номера муфты диаметр соединенных валов, м; Н = 7,4 НRD – твердость резины по Шору.

Податливость ременной передачи определяется деформациями ремня под действием окружной силы. Так как ремни надеваются на шкивы с предварительным натяжением, окружная сила воспринимается обеими ветвями передачи. Однако при больших передаваемых нагрузках, которые превышают величину силы Р0 предварительного натяжения, вся нагрузка воспринимается одной ветвью передачи. Приведенная крутильная податливость ременной передачи

Lвр.р.п.	lэф		,	(П7)
	a R2
		A E

где R – радиус шкива, к которому приводится податливость передачи, м; lэф – эффективная (расчетная) длина ветви ремня между

68

шкивами, м; A – площадь поперечного сечения ремня, м2; Е – модуль упругости материала ремня, Н/м2; a – коэффициент, учитывающий влияние предварительного натяжения: = 2, если P < 2P0;= 1, если P > 2P0; когда величина Р близка к 2P0 и при колебаниях периодически ее превышает, можно принять 1,5; для клиноременных передач = 2.

Расчетная длина ветви lэф больше, чем расстояние l между точками касания со шкивами, так как участки ремня, находящиеся на краях области охвата, принимают участие в колебаниях тем больше, чем ближе они находятся к краю и чем больше скорость ремня, так как центробежные силы уменьшают сцепление ремня со шкивом. Расчетная длина может быть определена по эмпирической формуле

l	L2 R R	2 0,03 V R R		,	(П8)
эф	1 2	1 2

где L – межосевое расстояние передачи, м; R1, R2 – радиусы шкивов, м; V – окружная скорость ремня, м/с.

Расчет сопротивления трения (фрикционных элементов) в механических системах

Силы демпфирования в станках в значительной степени определяются трением в стыках деталей. Стыки деталей способствуют также повышению податливости. Поэтому иногда сложно решить вопрос о целесообразности устранения или введения стыка. Повышением демпфирования подавляются вредные колебания, уменьшается коэффициент резонансного усиления, а также амплитуда и время затухания колебаний при ударном нагружении. Для исследования динамических явлений в механических системах достаточно иметь представление о внешних характеристиках трения, т.е. о зависимости силы трения в некотором подвижном сочленении от силы нормального давления, от скорости относительного движения трущихся поверхностей и некоторых

69

других параметров. Эти характеристики должны обеспечивать возможность правильного воспроизведения основных явлений, возникающих при трении, а именно существования «застоя» при трогании с места, возникновения релаксационных колебаний, остановки движущейся массы при суммарной величине действующих (внешних сил и сил упругости) сил, отличных от нуля.

Коэффициент трения в направляющих станков изменяется в довольно широких пределах и зависит от смазки, материала трущихся деталей и ряда других факторов.

Направляющие рабочих органов станков, совершающие движения подачи и установочные перемещения, работают, как правило, при смешанном трении, при котором смазка не разделяет полностью трущиеся поверхности. Смешанное трение отличается разнообразием условий работы в зависимости от доли сухого, граничного и жидкостного трения в общем процессе.

Суммарная величина силы трения в направляющих определяется из выражения (закон Амонтона-Кулона)

		n
F				N	i	,	(П9)
т.н		i

i 1

где i – коэффициент трения; Ni – реакции направляющих в подвижном соединении.

Ориентировочные значения коэффициентов трения в направляющих приведены в табл. П2.

			Таблица П2
Коэффициент трения фрикционных пар
Материалы	Коэффициент трения		Расчетное
фрикционной пары	покоя 0	движения	значение
Чугун-чугун	0,27–0,30	0,18–0,22	0,08
Сталь-чугун	0,30–0,32	0,22–0,28	0,05
Бронза-чугун	0,18–0,20	0,16–0,18	0,02
Текстолит-чугун	0,33–0,37	0,20–0,26	0,12
Фторопласт-чугун	0,05–0,10	0,03–0,04	0,04

70