книги / Методы анализа линейных электрических цепей. Электрические цепи постоянного тока
.pdfR1 |
|
R6 |
|
R1 |
R3 |
|
|
|
|
|
|
||
R2 |
А2 |
R5 |
А3 |
R2 |
R4 |
|
а |
А1 |
|
b |
|
|
|
R3 |
R4 |
|
E |
R5 R6 |
R7 |
Рис. 29 к задаче 4.20 |
Рис. 30 к задаче 4.21* |
4.21*. Дано: E = 9 В, R1 = 8 Ом, R2 = R3 = 2 Ом, R4 = 5 Ом, R5 = 10 Ом, R6 = 3 Ом, R7 = 10 Ом (рис. 30 к задаче 4.21*).
Определить токи всех ветвей.
4.22*. Дано: R1 = 1 Ом, R2 = 3 Ом, R3 = 4 Ом, R4 = 3 Ом,
показания амперметров IA1 18А, IA2 4А (рис. 31 к задаче 4.22*).
Определить ЭДС источника Е, сопротивление Rx.
E
|
R2 |
А1 |
R1 |
R4 |
А2 |
R3 |
||
|
|
R5 |
Рис. 31 к задаче 4.22* |
121
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ГЛАВЫ 4
4.1.I1 = 0,5 A; I2 = 0,2 A; I3 = 0,3 A; I5 = 0,2 A; I6 = 0,1 A; P = 5 Вт.
4.2.E = 250 В; Rвх = 55,56 Ом.
4.3. k |
E |
|
E |
; Ia = 4k A; Ib = 2k A; Ic = 1k A; I1 = 8k A; I2 = 4k A; |
|
Uao |
8R |
||||
|
|
|
I3 = 2k A; I4 = 1k A; Uao = 8Rk; Ubo = 4Rk; Uco = 2Rk; Rao = Rbo = Rco = R.
4.4.IA2 0,1мА.
4.5.23 В; 83 В; 56 В.
4.6.Rвх = 15 Ом; I1 = 1 A; I2 = 0,5 A; I3 = 1 A; I4 = 1 A; I5 = 0,5 A; I6 = 2 A; Uаb = –20 В; P = 60 Вт.
4.7.2 А.
4.8(р). Rвх = 38 Ом; I1 = 0,8 A; I2 = 2,2 A; I3 = –0,2 A; I4 = 1 A; I5 = 2 A; I6 = –0,6 A; I7 = 1,6 A; I8 = 1,4 A; Р = 342 Вт.
4.9.а) 2,22 кВт; б) 4 кВт; в) 4,29 кВт; г) 7,5 кВт.
4.10.I1 = –0,559 A; I2 = 1,445 A; I3 = 0,886 A; I4 = 0,5 A; I5 = 1,056 A; I6 = 1,945 A; P = 23,3 Вт.
4.11.50 Вт.
4.12.I1 = –8 A; I2 = 22 A; 440 Вт; – 240 Вт.
4.13.1) –2,8 A; 3,6 А; 0,8 А; 2а) 360 Вт = (78,4 + 259,2 + 6,4 + 16) Вт; 2б) (140 + 56) Вт = (78,4 + 39,2 + 78,4) Вт.
4.14.I1 = 1 А; I2 = 2 А; I3 = 3 А; I4 = 3 А; I5 = 5 А; а) P = 230 Вт ;
б) P = 124 Вт. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.15. 3/20; 1/20. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.16. |
R |
|
R5 |
R6 R2R8 |
R3R7 |
|
. |
|||
|
|
R R |
||||||||
|
н |
|
R R R |
R |
|
|||||
|
|
3 |
5 |
7 |
2 |
6 |
8 |
|
|
|
4.17. |
1) |
Iab = 1,8 |
А; |
Iae = 2,2 |
А; Ide = 3,2 А; Ida = 4 А; Idc = 2,8 А; |
Iec = 2,2 А; Ieb = 3,2 А; Icb = 5 А;
2) Iab = 0,356 А; Iea = 1,184 А; Ied = 0,828 А; Iad = 0,0945 А; Idc = 0,922 А; Iec = 3,55 А; Ieb = 4,438 А; Ibc = 4,47 А.
4.18.IA 15А.
4.19.а) 5 А; 7 А; б) 3,75 А; в) 0,75 А; г) 8 А; д) 0,75 А; е) 2,6 А.
122
4.20. IA1 0,315А; IA2 0,439А; IA3 0.
4.21. IE = 2 A; I1 = 0,75 A; I2 = 1,25 A; I3 = 0,25 A; I4 = 0,6 A;
I5 = 0,65 A; I6 = 1 A; I7 = 0,35 A; P = 18 Вт. 4.22. E = 54 В; Rx = 6 Ом.
123
5. МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ
Основные теоретические сведения
Метод контурных токов (МКТ) является одним из основных методов расчета сложных электрических цепей, широко применяемым на практике.
При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре течет собственный контурный ток, в ветвях, принадлежащих нескольким контурам, − сумма (разность) соответствующих контурных токов. При этом составляется система уравнений относительно контурных токов, после решения которой определяются токи ветвей по первому закону Кирхгофа через контурные токи.
Поскольку количество контурных токов равно количеству независимых контуров, применение МКТ позволяет уменьшить общее количество уравнений системы до числа p (независимых контуров).
Методические указания
Алгоритм расчета электрической цепи методом контурных
токов:
1.Произвольно обозначить токи всех ветвей и указать их положительное направление.
2.Произвольно выбрать совокупность p независимых контуров, нанести на схему положительное направление контурных токов, протекающих в выбранных контурах.
3.Для определения контурных токов составить систему контурных уравнений в общем виде:
R11I11 R12I22 R1p I pp E11,
R21I11 R22I22 R2p I pp E22,
Rp1I pp Rp2I22 Rpp I pp E pp ,
124
4. Определить собственные и общие сопротивления, а также контурные ЭДС в соответствии со следующими правилами.
Собственное сопротивление контура (Rii) представляет собой арифметическую сумму сопротивлений всех потребителей, включенных в i-й контур (обтекаемых контурным током Iii).
Общее сопротивление контура (Rij = Rji) представляет собой алгебраическую сумму сопротивлений потребителей ветви (или нескольких ветвей), одновременно принадлежащих i-му и j-му контурам (обтекаемых одновременно контурными токами Iii и Ijj). В эту сумму сопротивление ветви входит со знаком «+», если контурные токи протекают через данное сопротивление в одном направлении (согласно), и со знаком «–», если они протекают в противоположных направлениях (встречно).
Контурные ЭДС (Еii) представляют собой алгебраическую сумму ЭДС E источников ЭДС и UJ источников тока, входящих в контур. Со знаком «+» в эту сумму входят ЭДС и UJ содействующих источников, действующих согласно с направлением обхода контура (с направлением соответствующего контурного тока), со знаком «–» входят ЭДС и UJ противодействующих источников, действующих встречно. Правило знаков аналогично второму закону Кирхгофа.
5.Подставить полученные численные значения коэффициентов в систему контурных уравнений.
6.Решить полученную систему уравнений относительно контурных токов, используя метод Гаусса (правило Крамера):
I |
|
1 |
, I |
|
|
2 |
, ..., I |
|
|
p |
, |
|
|
|
|||||||||
11 |
|
|
|
22 |
|
|
|
pp |
|
|
где , 1, 2, …, p – соответственно определители матриц:
|
R11 |
R12 |
R1p |
|
|
E11 |
R12 |
R1p |
|
|
R21 |
R22 |
R2p |
, |
1 |
E22 |
R22 |
R2p |
, |
|
|
|
|
||||||
|
Rp1 |
Rp2 |
Rpp |
|
|
Epp |
Rp2 |
Rpp |
|
125
|
R11 |
E11 |
R1p |
|
|
|
R11 |
R12 |
E11 |
|
2 |
R21 |
E22 |
R2p |
, |
, |
p |
R21 |
R22 |
E22 |
. |
|
|
|
|
|||||||
|
Rp1 |
Epp |
Rpp |
|
|
|
Rp1 |
Rp2 |
Epp |
|
7.Определить токи ветвей через контурные токи по первому закону Кирхгофа или как алгебраическую сумму контурных токов, создающих искомый ток ветви. При этом, если направления контурного тока и тока ветви совпадают, соответствующий контурный ток входит в сумму со знаком «+», в противном случае – со знаком «–».
8.В случае необходимости с помощью обобщенного закона Ома определить потенциалы узлов.
9.Проверить выполнение баланса мощности.
Примечание. Если в цепи содержится q источников тока, следует выбирать такую совокупность независимых контурных токов, при которой часть из них стала бы известной. Для этого необходимо, чтобы каждый источник тока входил только в один контур. Поскольку токи в ветвях, содержащих источники тока, заданы условием задачи, становятся известными и контурные токи, протекающие в этих ветвях Iii = J. В этом случае количество совместно рассматриваемых уравнений для определения контурных токов в системе контурных уравнений сокращается на q и становится равным р – q. Напряжения UJ источников тока войдут в качестве неизвестных в правые части уравнений, т.е. в состав контурных ЭДС.
Упражнения и задачи
5.1(р). Дано: Е1 = 120 В, Е3 = 100 В, R1 = 6 Ом, R2 = 12 Ом,
R3 = 4 Ом (рис. 1 к задаче 5.1(р)).
Определить токи ветвей методом контурных токов, проверить баланс мощности: а) для заданной схемы; б) для схемы, в которой источник ЭДС E3 заменен на источник тока J3 = 2,5 А (рис. 2 к задаче 5.1(р)).
126
Решение. |
а) |
Произвольно |
|
|
|
I1 |
|
I3 |
|
|||||||
выбираем |
направления |
токов |
ветвей |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(см. рис. |
1 к |
задаче |
5.1(р)). Схема |
E1 |
|
|
|
|
I2 |
|
|
E3 |
||||
содержит |
два |
независимых |
контура |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
I11 |
|
|
R2 |
|
|
|
|
||||||
(Е1–R1–R2 |
и Е1–R1–Е3–R3; Е1–R1–R2 и |
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
R3 |
||||||
Е3–R3–R2; Е3–R3–R2 |
и Е1–R1–Е3–R3). Для |
|
|
|
|
I22 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
составления системы контурных уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рис. 1 к задаче 5.1(р) |
|
|||||||||||||||
для данной цепи можно выбрать любую |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из трех комбинаций независимых контуров. В предложенном решении выбрана третья комбинация независимых контуров, произвольно выбранные направления контурных токов представлены на рис. 1 к задаче 5.1(р).
Система контурных уравнений в общем виде запишется:
R11I11 R12I22 E11,
R21I11 R22I22 E22.
Определим коэффициенты для данной системы уравнений так:
– собственные сопротивления:
R11 R1 R2 18Ом; R22 R1 R3 10Ом;
– общие сопротивления:
R12 R21 R1 6 Ом;
– контурные ЭДС:
E11 E1 120В; E22 E1 E3 20В.
Решаем контурные уравнения:
18I11 6I22 120,
6I11 10I22 20,
I11 = 7,5 А; I22 = –2,5 А.
Находим токи ветвей:
127
I1 I11 I22 7,5 2,5 5А; I2 I11 7,5А; I3 I22 2,5А.
Для проверки выполнения баланса мощности находим суммарную мощность источников
Pист E1I1 E3I3,
знак «–» при произведении E3I3 учитывает разное направление
ЭДС и тока ветви.
Суммарная мощность потребителей:
Pпотр I12R1 I22R2 I32R3.
Подставим численные значения:
Pист 120 5 100 ( 2,5) 850 Вт, Pпотр 52 6 7,52 12 2,52 4 850 Вт.
|
|
|
I1 |
|
|
|
|
|
|
|
б) В отличие от рассмот- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ренного |
выше |
случая |
необходимо |
|||
E1 |
|
|
|
|
I2 |
UJ |
|
|
J |
произвольно |
выбрать |
полярность |
||||
|
|
|
|
|
|
|
источника |
тока |
UJ. Поскольку |
цепь |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||
R1 |
|
|
I11 |
|
|
R2 |
|
|
|
R3 |
содержит |
источник |
тока, |
то |
||
|
|
|
|
|
I22 |
|
|
|
рекомендуется |
выбирать |
контуры |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
таким образом, чтобы источник тока |
||||
Рис. 2 к задаче 5.1(р) |
|
|||||||||||||||
|
попал только в один контур. Назовем |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
такой контур особым. Это может быть |
одна из двух комбинаций независимых контуров: Е1–R1–R2 и Е1–R1–
–J3–R3 или Е1–R1–R2 и J3–R3–R2. Выбранная комбинация указана на схеме (см. рис. 2 к задаче 5.1(р)). Необходимо заметить, что удобно направление контурного тока особого контура выбирать таким же, как у источника тока (в противном случае необходимо учитывать несовпадение направлений токов с помощью знака). Контурный ток особого контура известен и равен току источника.
128
Система контурных уравнений в общем виде не отличается от системы уравнений из рассмотренного выше случая. Особенности этой схемы будут учтены в коэффициентах:
– собственные сопротивления:
R11 R1 R2 18Ом; R22 R2 R3 16Ом;
– общие сопротивления:
R12 R21 R2 12 Ом;
– контурные ЭДС
E11 E1 120В; E22 U J .
В случае совпадения направления напряжения на источнике тока UJ с направлением контурного тока особого контура в контурную ЭДС напряжение UJ следует записывать со знаком «+».
Систему контурных уравнений дополняем еще одним уравнением для особого контура:
I22 J3 2,5 А.
После подстановки численных значений:
18I11 12 2,5 120,
12I11 16 2,5 U J .
Очевидно, что в данной системе уравнений неизвестными являются контурный ток I11 (для определения которого используется первое уравнение) и напряжение на источнике тока UJ (определяется из второго уравнения). В результате
I11 5А; U J 100 В.
Токи ветвей:
I1 I11 5А; I2 I11 I22 5 2,5 7,5А.
Суммарная мощность источников:
129
Pист E1I1 U J J3 .
Суммарная мощность потребителей:
Pпотр I12R1 I22R2 J32R3.
Подставим численные значения:
Pист 120 5 100 2,5 850 Вт,
Pпотр 52 6 7,52 12 2,52 4 850 Вт.
|
|
|
I1 |
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
изменения |
в |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
решении для случая, когда источник |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
E1 |
|
|
|
|
|
I2 |
UJ |
|
|
J |
тока входит в |
два |
контура |
и, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
соответственно, |
обтекается двумя |
||||
|
|
|
|
|
|
R2 I11 |
|
|
|
|
|||||
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R3 |
контурными токами (рис. 3 к задаче |
|||||
|
|
|
|
|
I22 |
|
|
|
5.1(р)). Общий вид системы контурных |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнений не изменится. Но очевидно, |
|||
|
Рис. 3 к задаче 5.1(р) |
|
|||||||||||||
|
|
что изменятся коэффициенты: |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
– собственные сопротивления: |
|
|
|
R11 R2 R3 16 Ом; R22 R1 R3 10 Ом;
– общие сопротивления:
R12 R21 R3 4 Ом;
– контурные ЭДС:
E11 U J ; E22 U J E1 U J 120.
Систему контурных уравнений необходимо дополнить еще одним уравнением:
I22 I11 J3 2,5 А.
Нетрудно заметить, что при таком выборе контурных токов решение системы контурных уравнений усложняется:
130