книги / Механизмы затворов ствольного оружия. Основы теории, расчета и проектирования

Используя преобразования, аналогичные представленным ранее, получим:

k 2

dV

k

k

dk

m

+ m

0

=

P

+ P

−

m

V 2

−

0

1

η

0

1

1

0

dx0

dt

η

η

k

2

dVор

− m0

+ m1

cos ϕ

1

.

(2.10)

η

dt

Для многозвенного механизма:

n

2

dV

k0,i

∑

m

+

m

0

=

0

i

η

dt

i=1

0,i

n

k

0,i

n

k

0,i

2

dk

0,i

n

k

2

dV

= P

+

P

−

m

V

−

m

+

m

0,i

cosϕ

ор

. (2.11)

0

∑ i

η 0,i

∑ i

0

dx0

0

∑ i

i

dt

i =1

i=1

η

0,i

i=1

η

0,i

Последнее уравнение необходимо решать совместно с уравнением движения подвижного основания:

mор	dVор = Pор − Qор − ∑mi cosϕ		i	dVi ,
		n
	dt	i =1		dt

где mор – масса подвижного основания оружия; Pор – активная сила, действующая на подвижное основание; Qор – реакция со стороны основного звена.

2.2. Аналитические методы решения уравнения движения основного движущего звена

Полученные ранее уравнения (2.3), (2.8) движения ОДЗ являются обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами и в общем случае аналитического решения не имеют. Поэтому решение таких уравнений основывается на использовании численных методов интегрирования. При этом задача усложняется при резком изменении общей структуры механизмов, например в случае ударного присоединения отдельных звеньев или последовательно действующих механизмов

51

к основному звену. Возникает необходимость решения уравнения по участкам движения основного звена, в пределах каждого из которых структура механизма неизменна. При переходе от одного участка движения к другому начальное значение скорости основного звена определяется пересчетом конечной скорости на предыдущем участке с использованием зависимости для ее изменения при жестком соударении.

Однако в некоторых случаях возможно получить аналитические решения уравнения движения ОДЗ.

Рассмотрим эти частные случаи для двухзвенного механизма:

1. Приведенная сила не зависит от времени и скорости движения ОДЗ.

В соответствии с (2.3) уравнение движения имеет вид:

	k 2 dV
m0 + m1			0
				dt
	η
или
	mпр			dV0
				dt

=

P + P

k

−

m

k

V 2

dk

0

1

1

0

η

η

dx0

= P

− m

k

dk

V 2 .

пр

1

η

dx0

0

Преобразуем уравнение к другому виду с учетом зависимости характеристик связи от перемещения основного звена:

mпр (x0 ) dV0 dt

или

dV0 + dt

где	A(x0 ) = m1	k		dk
					.
		η		dx0

	+ m	k		dk	V 2	= P (x )
		η dx0
	1				0	пр	0

A(x0 )		V0	2 =	Pпр (x0 )		,	(2.12)
m	(x )
				m	(x )
пр	0			пр	0

Заменим аргумент времени на перемещение:

dV	=	dV		dx	= V0	dV	=	1 d (V 2 )
0		0	0			0				0	.
dt		dt		dx		dx
								2 dx
			0			0		0

52

После замены переменной (U = V02) получим линейное неоднородное уравнение первого порядка:

dU + 2 A(x0 ) U = 2 Pпр (x0 ) . dx0 mпр (x0 ) mпр (x0 )

Решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

				−2∫	A( x0 )
							dx0
					m	( x )
	U (x0 ) = c e							.
					пр	0

Для неоднородного уравнения

U (x0 )

Отсюда

V0 (x0 ) =

−2∫		A( x0 )		dx0				P (x )
=e		mпр ( x0 )				2∫ m			(x )
								пр	0
								пр	0
−2 ∫		A( x0 )		dx0				P (x )
e	mпр ( x0 )					2∫ m			(x )
								пр	0
								пр	0

		2 ∫		A( x0 )
							dx0
				m	( x )
				пр	0
e								dx0	+ c .
	2∫			A( x0 )
						dx0
			m		( x )
				пр	0
e								dx0	+ c .	(2.13)

Если задать значения перемещений основного звена в начале x0н и в конце x0к рассматриваемого участка движения, то можно определить величину с = V0н2, где V0н – скорость основного звена в начале участка.

Решение уравнения примет вид

x0

A( x0 )

x0

A( x0 )

−2 x∫

2 x∫

mпр ( x0 )

dx0

x0

Pпр (x0 )

mпр ( x0 )

dx0

2

V0 (x0 ) = e

0 н

2

∫

e

0 н

dx0 +V0н

.

(2.14)

mпр (x0 )

x0н

2. Приведенная сила не зависит от времени и скорости движения ОДЗ, коэффициент полезного действия принимается постоянным и осредненным на участке движения. В этом случае:

k 2

1 d (mпр

(x0 ))

d m1

k dk

1

η

A(x0 ) = m1

=

=

,

η dx0

2

dx0

2

dx0

53

A(x )

=

1

d (mпр (x0 ))

.

0

mпр (x0 )

2 mпр (x0 )

dx0

Тогда

x0

A( x

)

x0

dm ( x )

m

( x

)

−2 ∫

0

− ∫

пр 0

dx0

ln

пр

0 н

m (x

)

m

( x

)

m

( x

)

н

e x0 н

пр

0

= e x0 н

пр

0

= e mпр ( x0 ) =

пр

0

mпр (x0 )

и решение уравнения имеет вид

m (x )

2

x0

V

(x

) =

пр

0н

∫

P

(x ) dx

+ V

2 .

(2.15)

m

(x )

(x

)

0

0

m

н

пр

0 0

0

н

пр

0

пр

0

x0 н

3. Приведенная сила не зависит от времени или скорости движения ОДЗ, характеристики связи постоянны на всем участке движения. Для этого случая:

A(x0 ) = 0, mпр dV0 = Pпр (x0 ) dt

и решение уравнения имеет вид

			2	x
	V0 (x0 ) = V0н	2 +		∫0		Pпр (x0 ) dx0 .	(2.16)
			m
			пр x		н
				0

2.2.1.Аналитическое решение уравнения движения двухзвенного механизма с постоянными

характеристиками связи

Вуравнении движения ОДЗ вследствие переменности характеристик связей, передаточных функций и КПД согласно выражениям (2.8) присутствуют переменные массы, активные и искусственные силы, что значительно осложняет решение этих уравнений при проектировании механизмов. Полученное ранее простое выражение (1.47) является частным случаем расчета движения двухзвенных

механизмов с постоянными значениями передаточной функции и коэффициента полезного действия в связи. Это касается только механизмов со связью ползун– ползун и только в случае неизменно-

54

сти ее характеристик. Тогда искусственная сила отсутствует, массы и активные силы постоянны.

Рассмотрим уравнение движения двухзвенного механизма под действием усилий пружин П(x0), сил веса G и трения F(x0):

m

dV

= P

m =

(m + m

k 2

0

,

),

пр

dt

пр

пр

0

1 η

P = (±П

± G − F )

+

k

(± П

± G − F ).

0

пр

0

0

η

1

1

1

Здесь

G0

= m0 g sin δ 0 ,

G1 =

m1 g sinδ

1 ,

где δ0, δ1 –

углы расположения осей ползунов относительно гори-

зонтальной линии.

При сжатии пружины

П

0

= τ

(+) (П

0н

+ c x ),

П = τ

п

(+) (П + c x ).

п

0 0

1

1н

1 0

При разжимании пружины

П

0

= τ

(−) (П

0н

− c x ),

П = τ

(−) (П − c x ),

п

0 0

1

п

1н

1 0

где c0 ,c1 –

жесткости пружин ведущего и ведомого ползунов.

Если

в качестве аргумента

принять перемещение ведущего

ползуна, то с учетом всех составляющих приведенной активной нагрузки уравнение движения будет иметь вид

m

dV0

V

= (±τ

П

± m g sinδ

−

F+

dx

пр

0

п0

0н

0

0

0

0

+

k

(±τ

П

±

m g sinδ

−

F ))− τ

c x− τ

k

c k x .

η

п1

п1η

1н

0

1

1

п0 0 0

1

0

После интегрирования получим решение в форме зависимости

скорости ведущего звена от его перемещения:

V0 (x0 ) =

2

1

k 2

(2.17)

=

V 2 +

P (x − x

) −

τ

с + τ

п1

c

(x 2−

x

2 )

,

0н

c

0

0н

п0 0

η

1

0

0н

mпр

2

где Pc – сумма всех постоянных активных нагрузок механизма,

55

P = ±τ	П ± m g sinδ	−	F+	k	±τ(	П ±	m g sinδ	−	F ).
c	п0 0н 0	0	0	η		п1 1н	0	1	1

2.2.2. Определение времени движения механизма на заданном участке

Для определения времени движения механизмов на некотором заданном отрезке перемещения ведущего ползуна воспользуемся известным выражением:

t = ∫

dx0

dx0

dV (x )

0

0

или

t = ∫

dx0

.

2

k

2

V

2

+

P (x − x

) −

с +

c

(x 2

− x

2 )

н

0н

c

0

0н

0

η

1

0

0

mпр

После интегрирования время движения определяется выраже-

нием

m

с x

0

−P

с x

0н

−P

t =

пр

arcsin

пр

c

− arcsin

пр

c

,

(2.18)

спр

b

b

где b = с

(m V

2

− 2P x

+ с

x

2 ) + P 2

; с

–

приведенная жест-

пр

пр

0

н

c

0н

пр

0н

c

пр

кость,

c

= τ

с + τ

k 2

c .

п1 η

пр

п0

0

1

2.2.3. Аналитическое решение уравнения движения механизма при наличии зависящих от времени активных нагрузок

Для всех систем автоматического оружия основное движущее звено действует за счет активных сил со стороны сжатых пороховых газов.

56

Рассмотрим уравнение движения двухзвенного механизма под действием сил давления сжатых газов S(t), усилий пружин П(x0), сил веса G и трения F(x0).

Для описания закона изменения силы давления газов на ОДЗ в зависимости от времени можно принять линейную зависимость

S(t) = S0н + βt.

Для этого случая уравнение движения ОДЗ имеет вид

m	dV0	= S			+ β t+ P −	c	x .	(2.19)
	dt
пр			0	н	c	пр	0

Дифференцируя выражение (2.19) по времени, получим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоян-

ными коэффициентами:
	d 2V0	+	cпр	V =	β
						.
	dt2		m
				0	m
			пр		пр

При t = 0 скорость основного звена V0(0) = V0н, ускорение ос-

новного звена V0 (0) = V0н или V0 (0) = Pc − cпрx0н .

mпр

Общее решение соответствующего однородного уравнения

			cпр				cпр
	V0	/ (t) = c1 cos		t	+ c2	sin		t .
			mпр				mпр

Для случая, когда корни характеристического уравнения представляют собой мнимые попарно сопряженные числа, общее решение неоднородного уравнения с постоянной правой частью имеет вид

			cпр			cпр			β
	V0	(t) = c1 cos		t	+ c2 sin		t	+		.
			m			m
									с
			пр			пр			пр

Для ускорения справедливо выражение

	V0 (t) = −c1	cпр		cпр			cпр		cпр
			sin		t	+ c2		cos		t .
		mпр		mпр			mпр		mпр

(2.20)

(2.21)

57

Постоянные интегрирования с1 и с2 определяются из начальных условий:

c	= V		−	β	,	c =	Pc − cпр x0н		mпр	.
		н		с			m		c
1	0					2
				пр			пр		пр

Перемещение ведущего звена в зависимости от времени

mпр

cпр

mпр

cпр

β

x0

(t) = c1

sin

t

− c2

cos

t +

t + c3 . (2.22)

c

m

c

m

с

пр

пр

пр

пр

пр

При t = 0

x0 = x0н, а постоянная интегрирования

с

= x

+ с

mпр

.

3

0н

2

cпр

2.3. Решение задач движения механизмов

с использованием численных методов

2.3.1. Использование численных методов для приближенного решения уравнения движения основного звена

В общем случае, когда звенья механизмов движутся под действием активных нагрузок, зависящих от времени, перемещения и скорости, а также когда характеристики в связях являются переменными, решение дифференциального уравнения движения основного движущего звена возможно только с использованием численных методов, позволяющих интегрировать выражения на конеч- но-разностной сетке, построенной либо по времени процесса, либо по текущему перемещению основного звена. В этом случае уравнение движения ОДЗ может быть представлено в двух видах:

m (x )				dV0		= P (t, x ,V ) − A(x )V 2				;	(2.23)
	пр	0		dt		пр	0	0	0 0
		d (V )2				= 2 P (t, x ,V ) − 2 A(x )V 2 .
m	(x )		0								(2.24)
пр	0		dx0			пр	0	0	0	0

58

Уравнения дополняются начальными или граничными условиями, характеризующими значение скорости в начальной точке расчетного участка движения:

V0 (t = tн ) = V0н,

V0 (x0 = x0н ) = V0н.

Решение задачи расчета параметров движения в функции времени согласно уравнению (2.23) проводится в случае, когда действующие нагрузки имеют явную зависимость от времени, что характерно для движения ОДЗ за счет давления сжатого газа. Это относится в первую очередь к механизмам, непосредственно воспринимающим давление пороховых газов в канале ствола или в боковых газоотводных устройствах, а также к пневматическим аммортизирующим или разгонным устройствам.

В прочих случаях, если действующие нагрузки не зависят от времени, более удобно решение задач на основе интегрирования уравнения (2.24), где в качестве аргумента используется перемещение основного звена, величина которого всегда определяется конструкцией механизмов.

Для численного решения задачи движения уравнения (2.23) и (2.24) представляются в форме Коши и при дополнении их уравнениями, характеризующими изменение активных и искусственных нагрузок и приведенной массы, образуют систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Использование численных методов основано на аппроксимации производных конечными разностями по явной или неявной схемам. На рис. 2.2 показаны решения уравнения с использованием точных аналитических и приближенных численных методов.

После аппроксимации производных уравнений конечными разностями для узла сетки i приближенные алгебраические формы имеют вид:

– для явной схемы решения

	Vi +1 − Vi	=	1	(Pпр (ti , x0i ,V0i ) − A(x0i )V0i 2 )
			mпр (x0 )
	h

или

Vi+1 = Vi + h f (ti , x0i ,V0i ),

59

где

f (t

, x

,V

) =

1

(P (t

, x

,V

) − A(x

)V 2 );

i

0i

0i

m (x )

пр

i

0i

0i

0i

0i

пр

0

– для неявной схемы решения

Vi+1 −Vi

=

1

(P

(t

i +1

, x

,V

)

− A(x

)V

2 )

m

(x )

h

пр

0i+1

0i+1

0i +1

0i +1

пр

0

или

Vi +1 = Vi + h f (ti +1 , x0i+1 ,V0i+1 ),

где

f (t

+1

, x

,V

) =

1

(P

(t

i+1

, x

,V

+1

) − A(x

)V

2 ),

m

i

0i +1

0i +1

(x )

пр

0i+1

0i

0i+1

0i+1

пр

0

h – шаг конечно-разностной сетки по времени или по перемещению.

Рис. 2.2. Точные и приближенные решения уравнений движения: а – решение по явной схеме; б – решение по неявной схеме;

Явная схема решения позволяет достаточно просто получить приближенное решение и определить численную функцию V0, i в узлах сетки путем последовательных пошаговых вычислений. При неявной схеме решения задача усложняется наличием неизвестных величин в левой и правой частях итерационной формулы, что вызывает необходимость дополнительного использования трудоемких численных методов решения систем алгебраических уравнений.

60