книги / Сборник задач по общей физике
..pdfгде – угол между вектором dl |
и радиус-вектором r. Таким об- |
||||||||
разом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
μ0 I |
|
sinα |
dl. |
|
|
|
(3) |
|
4π |
2 |
|
|
|
||||
|
|
l r |
|
|
|
|
|||
Выразим длину элемента |
провода |
dl через |
угол d : dl = |
||||||
= rd /sin . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем выражение |
sinαdl |
в виде |
sinα |
rd |
d . Перемен- |
||||
|
|||||||||
|
r2 |
|
|
|
r2 sinα |
r |
ная r также зависит от (r = r0/sin ), следовательно, dα sin d . r r0
Таким образом, выражение (3) можно переписать в виде
B μ0 I 2 sin d , где 1 и 2 – пределы интегрирования. 4πr0 1
Выполним интегрирование:
B |
μ0 I |
cos 1 cos 2 . |
(4) |
|
|||
|
4πr0 |
|
При симметричном расположении точки А относительно отрезка провода cos 2 = –cos 1. С учетом этого формула (4) примет вид
|
B |
|
μ0 I |
cos 1. |
(5) |
||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2πr0 |
|
|
|
|
|||
Из рисунка следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cos 1 |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
l |
2 |
2 |
|
4r02 l2 |
||||||
2 |
|
|
|
|
r0 |
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив выражение cos 1 в формулу (5), получим
111
B |
μ0 I |
|
l |
|
. |
(6) |
2πr0 |
|
|
|
|||
|
|
4r02 |
l2 |
|
||
Произведя вычисления |
|
по |
формуле (6), |
получим |
В= 26,7 мкТл.
№2. Бесконечно длинный провод изогнут так, как изображено на рисунке. Радиус R дуги окружности равен 10 см. Определить
магнитного поля, создаваемого в точке О током I = 80
А, текущим по этому проводу.
Р е ш е н и е.
Магнитную индукцию B в точке О найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей B Bi .
В нашем случае провод можно разбить на три части: два прямолинейных провода (1 и 3), одним концом уходящие в бесконеч-
ность, и |
дугу |
полуокружности |
(2) радиусом R. Тогда |
B B1 B2 |
B3 , |
где B1 , B2 и B3 – |
индукции магнитных полей |
в точке О, создаваемые током первого, второго и третьего участков провода.
Поскольку точка О лежит на оси провода 1, B1 = 0, и тогда
B = B2 + B3 . Учитывая, что векторы B2 и B3 направлены в соот-
ветствии с правилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, геометрическое суммирование можно заменить алгебраическим: В = В2 + В3.
112
Магнитную индукцию В2 найдем, воспользовавшись выражением для магнитной индукции в центре кругового тока
B μ20RI .
В нашем случае магнитное поле в точке О создается лишь половиной кругового тока, поэтому B2 μ40RI .
Магнитную индукцию В3 найдем, применив соотношение (4)
(пример 1): B3 μ0 I cos 1 cos 2 . 4πr0
|
В |
нашем |
случае |
|
r0 = R, |
|
1 = |
/2 |
(cos 1 = 0), |
|||||
2 |
(cos 2 = –1). Тогда B3 |
|
|
μ0 I |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4πR |
|
|
|
В = В2 + В3 = |
||
|
Используя |
найденные |
выражения, |
получим |
||||||||||
= |
μ0 I + |
μ0 I |
, |
следовательно, |
B |
μ0 I |
(π 1). |
|
|
|||||
|
4πR |
|
|
|||||||||||
|
4R |
4πR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Произведем вычисления: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
В |
4π 10 7 80 (π 1) = 3,31 10–4 |
Тл. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
4π 0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ 3. По двум бесконечным параллельным прямым проводам, находящимся на расстоянии d = 20 см друг от друга, текут одинаковые токи I = 1 кА. Вычислить силу взаимодействия токов, приходящуюся на 1 м длины проводника.
Р е ш е н и е.
Взаимодействие двух проводов, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток создает магнитное поле, которое действует на другой провод.
Предположим, что оба тока (обозначим их I1 и I2) текут в одном направлении. Ток I1 создает в месте расположения второго провода (с током I2) магнитное поле, направление вектора магнит-
ной индукции B1 определяется по правилу буравчика. Модуль магнитной индукции В1 задается соотношением
113
B1 |
μ0 I |
. |
(1) |
|
|||
|
2πd |
|
Согласно закону Ампера на каждый элемент dl второго про-
вода действует в магнитном поле сила dF I2 B1dl sin . Поскольку |
|||
вектор dl перпендикулярен |
вектору B , sin 1, |
и тогда dF = |
|
= I2B1dl. Подставив в это выражение значение В1, получим |
|||
|
dF |
μ0 I1I2 dl. |
|
|
|
2πd |
|
|
Силу F |
|
взаимодействия |
|
токов найдем интегрированием: |
||
|
F μ0 I1I2 |
l |
|
|
dl μ0 I1I2 l. |
||
|
2πd |
0 |
2πd |
|
|
|
|
|
Учитывая, |
что I1 = I2 = I, |
|
|
получим |
|
|
F μ0 I 2l .
2π d
Произведем вычисления:
F 4π 10 7 103 2 1 = 1 H. 2π 0,2
Сила F сонаправлена с силой dF, а направление dF опре-
деляется правилом левой руки.
№ 4. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U = 600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить радиус R окружности.
114
Р е ш е н и е.
Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле будет происходить по окружности только в том случае, если частица влетит в магнитное поле перпендикулярно линиям индукции:
v B. Поскольку сила Лоренца перпендикулярна вектору v , она сообщает частице (протону) нормальное ускорение an .
Согласно второму закону Нью-
тона
FЛ man , |
(1) |
где m – масса протона. На рисунке |
|
совмещена траектория |
протона с |
плоскостью чертежа и дано (произ- |
|
вольно) направление вектора скоро- |
|
сти v . Силу Лоренца направим пер- |
|
пендикулярно вектору v |
к центру |
окружности (векторы an и FЛ сонаправлены). Используя правило левой руки, определим направление магнитных силовых линий (направление вектора B ).
Перепишем выражение (1) |
в скалярной форме (в проекции на |
|
радиус): |
|
|
FЛ = man. |
(2) |
|
В скалярной форме FЛ = |
qvBsin . В нашем случае |
v B |
и sin = 1, тогда FЛ = qvB. Поскольку нормальное ускорение an = v2/R, выражение (2) перепишем следующим образом: qvB = = mv2/R. Отсюда выразим радиус окружности:
R = mv/(qB). |
(3) |
Скорость протона найдем, воспользовавшись связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической
энергии протона, т.е. А = W, или q( 1 – 2) = W2 – W1, где ( 1 – 2) = U – ускоряющая разность потенциалов (или ускоряю-
115
щее напряжение); W1 и W2 – начальная и конечная кинетические энергии протона.
Пренебрегая начальной |
кинетической |
энергией протона |
|||||||
W1 0 и учитывая, что Wк = mv2/2, получим qU = mv2/2. |
|||||||||
Найдем из этого выражения скорость v |
2qU и подставим |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
ее в формулу (3), в результате получим |
|
|
|||||||
|
|
R |
|
1 |
|
2mU . |
|
(4) |
|
|
|
|
B |
|
|||||
|
|
|
|
q |
|
|
|||
Произведем вычисления: |
|
|
|
|
|
||||
R |
1 |
2 1,67 10 27 600 |
0,0118 м. |
||||||
0,3 |
1,6 |
10 19 |
|||||||
|
|
|
|||||||
№ 5. Электрон, |
влетев |
|
в |
однородное |
магнитное поле |
(В = 0,2 Тл), стал двигаться по окружности радиусом R = 5 см. Определить магнитный момент рm эквивалентного кругового тока.
Р е ш е н и е.
Электрон начинает двигаться по окружности, если он влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции.
Движение электрона по окружности эквивалентно току, кото-
рый в данном случае определяется выражением Iэкв q e , где
t T
е – заряд электрона; Т – период его обращения.
Период обращения можно найти через скорость электрона и путь, проходимый электроном за период Т = (2 R)/v. Тогда
Iэкв |
ev |
. |
(1) |
|
|||
|
2πR |
|
|
По определению магнитный момент контура с током выража- |
|||
ется соотношением |
|
||
pm = IэквS, |
(2) |
116
где S – площадь, ограниченная окружностью, описываемой электроном,
|
|
|
|
|
|
|
|
S = R2. |
|
(3) |
|
Учитывая выражения (1), (2) и (3), получим |
|
||||||||
|
|
|
|
рm = |
|
|
ev |
π R2 , или pm |
1 evR. |
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2π R |
2 |
|
||
|
Известно, что R = mv/(еB) (см. пример 4). Тогда для скорости |
|||||||||
v |
электрона |
находим |
v eBR . Подставив это выражение |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
рm электрона |
получим |
в |
формулу |
(4) |
для магнитного момента |
|||||||
рm |
e2 BR2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведем вычисления: |
|
|
|||||||
|
|
рm |
1,6 10 19 0,2 (0,05)2 7,03 10 12 А·м2. |
|
||||||
|
|
|
|
|
2 9,1 10 31 |
|
|
№ 6. На железный стержень длиной 50 см и сечением 2 см2 намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится 20 витков. Определить энергию магнитного поля в сердечнике соленоида, если сила тока в обмотке 0,5 А.
Р е ш е н и е.
Энергия магнитного поля соленоида с индуктивностью L, по обмотке которого течет ток I, выражается формулой
W 12 LI 2 .
Индуктивность соленоида зависит от числа витков на единицу длины n, от объема сердечника V и от магнитной проницаемости сердечника, т.е. L = 0 n2V, где 0 – магнитная постоянная.
117
Магнитную проницаемость можно выразить следующей фор-
мулой: μ |
B |
, где В – индукция магнитного поля; Н – напря- |
|
μ0 H |
|||
|
|
женность.
Подставив в формулу энергии магнитного поля выражение индуктивности L и магнитной проницаемости, получим
|
1 |
B 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
W |
2 |
|
n VI |
|
. |
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
l и |
сечение S: |
|||||
|
Объем |
сердечника выразим |
через длину |
||||||||
W |
1 |
B |
n2 I 2 Sl. |
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Напряженность магнитного поля найдем по формуле Н = nI. |
||||||||||
|
Подставив |
данные |
в |
единицах |
СИ, |
получим |
Н = 2 103 · 0,5 А/м = 103 А/м.
Значению напряженности намагничивающего поля в 103 А/м в железе соответствует индукция В = 1,3 Тл (см. график зависимости между Н и В в приложении).
Произведем вычисления:
W12 101,33 2 103 2 0,52 2 10 4 0,5 0,065 Дж.
№7. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток I = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (В = 1 Тл). Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных
сторон, на угол = 90°. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.
Р е ш е н и е.
На контур с током в магнитном поле действует момент силы
M = pmB sin , |
(1) |
118
где pm – магнитный момент контура, pm = I · S = I · a2; В – индукция магнитного поля; – угол между вектором pm (направлен по
нормали к контуру) и вектором B.
По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент силы равен нулю
(М = 0), а значит, угол = 0, т.е. векторы pm и B сонаправлены.
Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Поскольку момент сил переменный (зависит от угла поворота ), для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме dA = Md . Учитывая формулу (1), получаем dA = IBa2sin d .
Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при пово-
роте на конечный угол A IBa2 sin d . Работа при повороте на
0
угол = 90°
|
π/2 |
0π/2 IBa2 . |
|
A IBa2 |
sinφd IBa2 ( cos ) |
(2) |
|
|
0 |
|
|
Произведем вычисления: А = 100 · 1 · (0,1)2 = 1 Дж.
119
ГЛАВА 4. Оптика. Атомная и ядерная физика
4.1. Геометрическая оптика
Здесь можно выделить следующие типы задач: задачи на отражение света, задачи на преломление света и задачи на линзы.
Первую группу составляют задачи на построение изображения в плоском зеркале с использованием закона отражения. При построении изображения предмета в плоском зеркале следует помнить, что все лучи, исходящие из какой-либо точки предмета А, после отражения от зеркала пойдут так, что их продолжения будут пересекаться за зеркалом в одной и той же точке А1, которая является мнимым изображением точки А. В результате изображение предмета получается прямым, мнимым, равным по величине самому предмету, расположенному симметрично с ним по отношению к плоскости зеркала.
Задачи второй группы сравнительно просты. Их решают на основании формулы закона преломления с использованием геометрии и тригонометрии. При решении задачи прежде всего надо сделать чертеж, где следует указать ход лучей, идущих из одной среды в другую. Перед тем как чертить преломленный луч, необходимо установить, переходит ли он из оптически менее плотной среды в более плотную или наоборот. В зависимости от этого луч отклоняется от своего начального направления или приближаясь к нормали в точке падения, или удаляясь от нее. После того как сделан чертеж, нужно записать формулу закона преломления для каждого перехода луча из одной среды в другую и составить вспомогательные уравнения, связывающие углы и расстояния, используемые в задаче.
Задачи третьей группы – на построение изображения в одиночных линзах и расчеты, связанные с этим изображением, – решаются почти так же, как и задачи на зеркала. Для каждого положения предмета нужно построить изображение, отметить характерные точки линзы (F и 2F), расстояния от линзы до предмета и
120