книги / Сборник задач по общей физике
..pdfего изображения (d и f) и записать формулу линзы и формулу увеличения, связывающие расстояния d, f и F. Добавив к основным уравнениям вспомогательные (обычно они устанавливают дополнительные связи между расстоянием от линзы до предмета и изображения), нужно решить полученную систему уравнений.
Основные формулы
1. Отношение синуса угла падения α к синусу угла преломления β для данной пары веществ есть величина постоянная, называемая относительным показателем преломления второго вещества относительно первого:
n21 sinsin αβ.
Абсолютным показателем преломления какого-либо вещества называется показатель преломления этого вещества по отношению к вакууму или воздуху.
Относительный показатель преломления второго вещества относительно первого n21 равен отношению абсолютных показателей преломления этих веществ:
n21 n2 .
n1
Если луч света переходит из оптически более плотного вещества (n1) в оптически менее плотное (n2 n1), то при некотором предельном значении угла падения пред угол преломления становится равным 90°, преломленный луч исчезает, а падающий испытывает полное отражение. Предельный угол определяется из формулы
sin пред n2 , где n2 < n1. n1
121
2. Формула тонкой линзы
d1 1f F1 (собирающая линза), d1 1f F1 (рассеивающая линза),
где d – расстояние от предмета до линзы; f – расстояние от линзы до изображения; F – фокусное расстояние линзы.
Оптическая сила линзы
D F1 .
Линейное увеличение предмета – это отношение размера изображения Н к размеру предмета h:
Hh df d F F .
Примеры решения задач
№ 1. На стеклянную пластинку, показатель преломления которой 1,5, падает луч света. Найти угол падения луча, если угол между отраженным и преломленным лучами 90°.
Р е ш е н и е.
Из рисунка видно, что + + = , откуда = – – = /2 – , тогда по за-
кону преломления |
sin α |
n . |
Но |
sin = |
|
sinβ |
|||||
|
|
|
|
||
= sin( /2 – ) = cos , тогда |
sin α |
n или |
|||
|
|
|
cosα |
|
tg = n, откуда = arctgn = 0,98 рад.
№ 2. В фокусе рассеивающей линзы установлен предмет высотой 5 см. На каком расстоянии от линзы находится изображе-
122
ние? Определите размеры изображения. Фокусное расстояние линзы 10 см.
Р е ш е н и е.
Для рассеиваюшей линзы формула тонкой линзы имеет вид
d1 1f F1 ,
где d = F, откуда находим расстояние мнимого изображения от линзы
|
|
|
f |
|
F |
0,05 м. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Увеличение |
f |
|
hx |
, откуда |
|
||
d |
h |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
hx |
hf |
|
0,05 0,05 |
0,025 м. |
|||
|
|
d |
|
0,1 |
|
4.2. Волновая оптика
Волновой оптикой называют раздел физики, в котором изучаются оптические явления на основе представления о свете как электромагнитной волне. Основной задачей волновой оптики является установление закономерностей распространения световых волн в прозрачных средах и взаимодействия света с веществом. Волновой характер света проявляется в таких физических явлениях, как интерференция, дифракция и поляризация.
Задачи на интерференцию света делятся в основном на две группы: задачи, связанные с интерференцией волн от двух когерентных источников, и задачи на интерференцию в тонких пленках.
Если когерентные источники образуются путем разделения одного и того же источника на два (с помощью зеркал, призм или как-либо еще), то предварительно нужно определить положение
123
этих источников друг относительно друга и относительно экрана. Для этого следует воспользоваться законами геометрической оптики. Далее если положения источников света известны, то координаты максимумов и минимумов интерференционной картины на экране можно найти следующим образом:
–ввести систему координат и выбрать произвольную точку на экране;
–провести в эту точку лучи от обоих источников;
–из геометрических соображений найти пути l1 и l2 волн, распространяющихся вдоль этих лучей, выразив их через координаты точки на экране и расстояние до экрана;
–найти оптические пути n1l1 и п2l2 волн;
–найти оптическую разность хода волн;
–если требуется определить координаты максимумов, то полученную оптическую разность хода следует приравнять к величине, равной целому числу длин волн (или четному числу длин полуволн); если требуется определить координаты минимумов, то разность хода лучей следует приравнять величине, равной нечетному числу длин полуволн;
–найти координаты максимумов и минимумов интерференционной картины, расстояние между интерференционными полосами и ширину интерференционных полос.
При интерференции в тонких пленках оптическая разность хода интерферирующих волн возникает за счет дополнительного расстояния, пройденного одной из них. В таких задачах следует учитывать, что одна из интерферирующих волн отражается от гра-
ницы раздела сред. Если отражение происходит от среды с показателем преломления большим, чем среда, в которой распространяется свет, то фаза отраженной волны изменится на π радиан, что соответствует оптическому пути, равному ± λ/2. Если отражение света происходит от среды с меньшим показателем преломления, то фаза отраженной волны не меняется.
Задачи на дифракцию также делятся на две группы соответственно двум видам дифракции – дифракции Френеля и дифракции Фраунгофера.
124
Для решения задач на дифракцию Френеля (или дифракцию в расходящихся лучах) необходимо освоить метод зон Френеля, позволяющий путем геометрических построений установить закономерности распределения интенсивности волны на круглом отверстии или круглом диске.
Большинство задач на дифракцию Фраунгофера (или дифракцию в параллельных лучах) связано с дифракционной решеткой – совокупностью большого числа щелей одинаковой ширины, разделенных одинаковыми по ширине непрозрачными промежутками. Из основной формулы дифракционной решетки dsin = ± kλ можно сделать три вывода: 1) число главных максимумов ограничено, и наибольшее значение k определяется условием kmax = d/λ, так как значение синуса не может превышать единицы; 2) дифракционная картина является симметричной относительно первичного луча, проходящего через главный фокус линзы; 3) положения главных максимумов, за исключением только центрального максимума (k = 0), зависят от длины волны света. Из последнего вывода следует, что дифракционная решетка обладает способностью разлагать падающий на нее свет по длинам волн. Если, к примеру, на решетку падает белый свет, то все дифракционные максимумы, кроме нулевого, будут окрашены, т.е. разложатся в спектр, причем фиолетовый участок спектра будет располагаться ближе к центру дифракционной картины, а красный участок окажется дальше от ее центра.
Задачи на поляризацию в методическом плане не представляют особой трудности. Достаточно хорошо разобраться с природой поляризованного света и двумя законами – законом Малюса и законом Брюстера.
Основные формулы
Интерференция света
1. Скорость света в среде v nc , где с – скорость света в вакууме; n – показатель преломления среды.
125
2.Оптическая длина пути луча L = nl, где l – геометрическая длина пути луча в среде с показателем преломления n.
3.Если один луч проходит путь длиной l1 в среде с показателем преломления n1, а другой луч – путь l2 в среде с показателем
преломления n2, то оптическая разность хода этих лучей
=n1l1 – n2l2.
4.Разность фаз колебаний связана с оптической разностью
хода интерферирующих волн соотношением |
2π |
|
, |
где λ – |
|
|
λ |
|
|
длина световой волны в вакууме.
5. Условие максимального усиления света в результате ин-
терференции = ± kλ (k = 0, 1, 2, …).
Условие максимального ослабления света
= ±(2k + 1)λ/2 (k = 0, 1, 2, …).
Дифракция света
6. Радиусы зон Френеля в случае плоского волнового фронта rk kr0λ , где rk – радиус зоны, k – номер зоны (k = 1, 2, …); r0 –
расстояние от круглого отверстия в непрозрачном экране до точки наблюдения, расположенной на оси отверстия; λ – длина световой волны.
7. При дифракции параллельного пучка лучей монохроматического света на одной узкой длинной щели:
а) направления, в которых амплитуда колебаний дифрагированных лучей минимальна, определяются из условия
asin 2k |
λ |
kλ |
(k 1, 2, 3, ...), где а – ширина щели; |
|
2 |
|
|
– угол отклонения лучей от нормали к плоскости щели, определяющий направление на дифракционный минимум; k – порядковый номер минимума; λ – длина световой волны;
126
б) направления, по которым амплитуда колебаний дифрагированных лучей после их интерференции максимальна, определя-
ются по формуле |
|
(2k 1) |
λ |
(k 1, 2, 3, ...) . |
asin |
2 |
8. При дифракции на плоской дифракционной решетке направления, в которых наблюдаются максимумы света, определяются из условия (a + b) sin = ± kλ (k = 0, 1, 2, …), где а – ширина прозрачной полоски (щели); b – ширина непрозрачного штриха; d – период решетки (или постоянная решетки), d = (а + b); – угол между нормалью к поверхности решетки и направлением дифрагированных лучей; k – порядковый номер дифракционного максимума.
9. Разрешающая сила дифракционной решетки R λλ , где
Δλ – наименьшая разность длин волн двух соседних спектральных линий (λ и λ + Δλ), при которой эти линии могут быть видны раздельно в спектре, полученном посредством данной решетки.
Разрешающая сила R решетки тем больше, чем больше штрихов решетка содержит и чем больше порядковый номер дифракционного максимума: R = kN, где N – полное число штрихов
решетки. |
|
|
|
d |
|
k |
|
10. Угловая дисперсия решетки D dλ |
|
|
. |
a b cos |
При дифракции рентгеновских лучей на кристаллической решетке направления, в которых имеет место зеркальное отражение (дифракционный максимум), определяются из уравнения Вульфа– Брэггов 2dsinθ = kλ, где d – расстояние между атомными плоскостями кристалла; θ – угол скольжения (угол между направлением пучка параллельных рентгеновских лучей, падающих на кристалл, и гранью кристалла).
127
Поляризация света
11. Закон Брюстера. Луч, отраженный от поверхности диэлектрика, максимально поляризован, если тангенс угла падения α луча на поверхность раздела двух сред равен относительному показателю преломления n21 второй среды относительно первой: tg Бр = n21. Закон Брюстера неприменим в случае отражения от поверхности проводников.
12. Закон Малюса. Интенсивность I2 плоскополяризованного света, прошедшего через анализатор, прямо пропорциональна квадрату косинуса угла между плоскостью колебаний светового вектора падающего света и плоскостью пропускания анализатора: I2 = I1cos2 , где I1 – интенсивность света, падающего на анализатор.
13. Вращение плоскости поляризации. Угол поворота плоскости поляризации монохроматического света:
а) в твердых телах = d, где – постоянная вращения; d – толщина пластинки, вырезанной из твердого тела;
б) в чистых жидкостях = [ ] l, где [ ] – удельное вращение; ρ – плотность жидкости; l – длина столбика жидкости;
в) в растворах = [ ]Сl, где С – концентрация раствора (масса активного вещества в единице объема раствора).
Примеры решения задач
№ 1. От двух когерентных источников S1 и S2 (λ = 0,8 мкм) лучи попадают на экран. На экране наблюдается интерференционная картина. Когда на пути одного из лучей перпендикулярно ему поместили мыльную пленку (n = 1,33), интерференционная картина изменилась на противоположную. При какой наименьшей толщине dmin пленки это возможно?
Р е ш е н и е.
Изменение интерференционной картины на противоположную означает, что на тех участках, где наблюдались интерференционные максимумы, стали наблюдаться интерференционные ми-
128
нимумы. Такой сдвиг интерференционной картины возможен при изменении оптической разности хода лучей на нечетное число половиндлин волн, т.е.
2 |
– 1 |
= (2k + 1) |
λ |
, |
(1) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
где 1 – оптическая разность |
хода |
лучей до внесения пленки; |
2 – оптическая разность хода тех же лучей после внесения плен-
ки; k = 0, ±1, ±2, … .
Наименьшей толщине dmin пленки соответствует k = 0. При
этом формула (1) примет вид |
|
|
|
2 – 1 = λ . |
(2) |
|
2 |
|
Выразим оптические разности хода 2 и |
1. Из рисунка сле- |
|
дует: 1 = l1 – l2, 2 = [(l1 |
– dmin) + ndmin] – l2 = (l1 – l2) + dmin(n – 1). |
|
Подставим выражения 2 |
и 1 в формулу (2): |
|
(l1 – l2) + dmin(n – 1) – (l1 – l2) = λ2 , или dmin(n – 1) = λ2 .
Отсюда dmin 2 nλ 1 . Подставив числовые значения,
найдем
dmin |
0,8 |
1,21 мкм. |
2 1,33 1 |
№ 2. На стеклянный клин с малым углом нормально к его грани падает параллельный пучок лучей монохроматического света с длиной волны λ = 0,6 мкм. Число m возникающих при этом интерференционных полос, приходящихся на 1 см, равно 10. Определить угол клина . Показатель преломления стекла n = 1,5.
129
Р е ш е н и е.
Лучи, падая нормально к грани клина, отражаются как от верхней, так и от нижней грани. Эти лучи когерентны, поэтому на поверхности клина будут наблюдаться интерференционные полосы. Поскольку угол клина мал, то отраженные лучи 1 и 2 (рисунок) будут практически параллельны.
Темные полосы видны на тех участках клина, для которых разность хода лучей кратна нечетному числу половин длин волн:
2k 1 λ |
(k = 0, ±1, ±2, …). |
(1) |
2 |
|
|
Разность хода двух лучей складывается из разности оптических длин путей (2dncosβ) этих лучей и половины длины волны λ/2. Величина λ/2 представляет собой добавочную разность хода, возникшую при отражений луча 1 от оптически более плотной
среды. Подставляя в формулу (1) значение разности хода |
лучей, |
получим |
|
2dkncosβ + λ/2 = (2k +1)λ/2, |
(2) |
где dk – толщина клина в том месте, где наблюдается темная полоса, соответствующая номеру k; β – угол преломления второго луча.
Согласно условию угол падения равен нулю, следовательно, и угол преломления β равен нулю, а соsβ = 1. Раскрыв скобки в правой части равенства (2), после упрощения получим
2dkn = kλ. |
(3) |
130