книги / Переходные процессы в транзисторе и методы расчета импульсных схем
..pdf1. Функция <р(t) не меняет знака при г > 0 , для определенности
положим q>(7)^0.
2. Интегралы вида j* th(p(t)dt, k=0, 1, 2... существуют.
о
3. Функция ф(t) удовлетворяет условиям применения опера
ционного исчисления Для площади, ограниченной рассматриваемой функцией и осью
времени, примем обозначение
Л = |ф (0Л . |
(1.14) |
о |
|
По определению k-ti начальный момент функции дается выра |
|
жением |
|
«*=■т!'*ф(<)Л- |
(1Л5) |
о |
|
Очевидно, что при указанных ограничениях |
всегда М *> 0 и |
М0= 1.
Особое значение имеет первый момент, для которого будет упо
требляться специальное обозначение |
|
Тц = М1 = -- р ф 0 )< й . |
(U 6 ) |
Будем называть величину тц первым интегральным параметром сигнала.
Начальные моменты могут быть вычислены непосредственно по изображению функции ф(t) с помощью соотношения
М »= (-1)*4-Н т-£-Ф (р). |
(1.17) |
А р->о dp |
|
Находят также применение центральные моменты, которые оп |
|
ределяются интегралом |
|
= |
(US) |
О |
|
В этом случае ц0= 1 и |ii= 0 . Центральные и начальные момен |
|
ты связаны формулами, которые легко получить, |
открыв скобки |
в (1.18). Для простейших случаев |
|
П = Мг- М \, |
(1.19) |
Н = Ms— ЗМаM i+ 2М]. |
(1.20) |
11
Широкое применение находит второй центральный момент, ко торому сопоставляется второй интегральный параметр сигнала тд:
= р2= |
— ти)2 <р (0 |
( 1.21) |
Если изображение функции представляет собой дробно-рацио нальную функцию вида
Ф (р)= ь^ + ь^ Г - ' + - + ь 1Р.у\ _ |
(1 22) |
апрп + ап—1 рп *+•■•+ а1 Р + 1
то интегральные параметры могут быть вычислены по формулам:
тц = а!— Ьъ |
(1.23) |
тд= у 2 Ь 2— 2аг+а*— Щ. |
(1.24) |
С помощью моментов можно описывать свойства линейной си стемы, если ее импульсная характеристика g(t) (реакция на дель
та-функцию) удовлетворяет условиям для функций класса <р(7). В этом случае имеют место соотношения:
K „ = A = $ g(()dt, |
(1.25) |
О
(1.26)
Ч
(1.27)
0
Здесь Ко — статический коэффициент передачи системы.
Моменты системы могут быть вычислены по известному коэф фициенту передачи К(р):
(1.28)
До р-+0 dp*
Если изображение функции <р(7) может быть представлено в виде произведения
Ф(р) = Фа(Р)Фь(р), |
(1.29> |
то моменты этой функции могут быть вычислены по формуле
Л ‘ = ( - 1)‘ Г Ж 1Й 7 Т Ф» Ф‘ <Р)- |
(1.30) |
АаЛь p-M>dp* |
|
12
В частности, для первых начальных моментов |
|
М ^М ха + М ^ |
(1.31) |
Мг= М2а+ 2Ми, Miь+ M2b. |
(1.32) |
Для центральных моментов можно получить |
|
Н-2= Н2а + !*2*. |
(1.33) |
Интегральные параметры сигналов в этом случае связаны со |
|
отношениями: |
|
тц = тца+ т ць> |
(1.34) |
Ч - Ч . + Ч г |
О-35) |
Для начальных моментов более высокого порядка можно поль |
|
зоваться символической формулой |
|
Mt = (M„ + Mtf |
(1.36) |
Первыйинтегральный параметр по отношению клинейной си стеме можнотрактовать как среднюю задержку сигнала. Пусть, например, сигналы в системе представляются токами. Предполо жим, что входной сигнал имеет форму дельта-функции im =Qo6(t)-
Это значит, что на вход системы в начальный момент мгновенно подай заряд Q0. Выходной ток будет определен функцией Qog(0-
В этом случае соотношение
Tuc=^Itg(()d' |
(К37> |
°0 |
|
выражает среднюю задержку, вычисленную для элементарных за рядов, которые появляются на выходе системы через различные промежутки времени. Величина же
* - ± ] w * * |
О-38) |
0 О
определяет разброс задержек для элементарных зарядов.
§ 1.3. Применение интегральных параметров для описания сигналов различных классов и их графическая трактовка
Кроме сигналов, описываемых функциями q>(t), которые мы бу
дем относить к сигналам первого класса, в импульсной технике встречаются сигналы, которые представляют собой интегралы от указанных функций.
Отнесем ко второму классу сигналы, определяемые выраже
ниями (рис. 1.26): |
^ |
|
t ( 0 |
= J<pW«tt. |
(1.39) |
|
о |
|
13
Y ( p ) - — Ф(р). |
(1.40) |
P
При этом, очевидно, выполняются соотношения
TJ(0) = О
lim -ф(0 = А
*-►00
Следовательно, функция ф(/) является монотонной ограничен ной. К этому классу функций часто можно отнести переходные ха рактеристики апериодических линейных систем h(t). Впервые мо
менты были использованы для описания сигналов этого класса Элмором.
Первый интегральный параметр сигнала может быть просто связан с определенной площадью на графике функции ty(t).
Действительно, интеграл
5 „ = |М о ( < ) - + (0]<й |
(1.42) |
о
представляет площадь, показанную штриховкой на рис. 1.26. Его значение может быть найдено с помощью предельного соотноше ния
S0= lim Г—— |
'В Д 1 . |
(1.43) |
Р—о IP |
J |
|
Это выражение дает неопределенность. Раскрывая ее по пра вилу Лашггаля и учитывая (1.40), получаем
SQ= lim |
И = —1нпФ'(р). |
р-*0 р |
р-1-0 |
С помощью соотношения (1.17) получим окончательно
50 = Лгц. |
(1.44) |
В частности, если рассматриваемая функция представляет со бой переходную характеристику системы, то легко получить фор мулы:
г щ - | [ 1 - |
(1 .4 5 ) |
0 |
|
т ц с= l i m |
(1 .4 6 ) |
p- о р |
|
Соответствующая площадь на переходной характеристике тран зистора использована Б. Н. Файзулаевым [7] для определения ин тегрального параметра транзистора.
Формулы для вычисления интегральных параметров линейных систем сведены в табл. 1.2.
и
Т а б л и ц а 1.2
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Определение интегрального параметра линейной системы с помощью)
Интеграль |
|
|
ный пара |
переходной характеристики |
|
метр |
||
|
Й |
' Г ( , ) Л |
|
|
0 |
ИЛИ
коэффициента передачи в общем виде
—т? -Н ш /С ' (р)
Л в р-*0
или
коэффициента передачи, вы раженного дробно-рацио нальной функ цией
Нш — |
L |
/Со |
J |
P -0 Р |
0
2 Ь2 — 2а^ -ф
Л |
(t)d( |
|
A(j р—*0 |
||
, |
||
0 0 |
При прохождении сигнала через линейную систему он искажа ется и его интегральные параметры -изменяются. Для наглядного представления этих изменений также можно использовать указан ные выше площади на графиках сигналов.
Для того чтобы количественно оценить искажения монотонного сигнала линейной системой, обладающей монотонной переходной характеристикой и коэффициентом передачи К(р), рассмотрим
разность введенных площадей для входных сигналов реальной си стемы и идеальной безынерционной системы с коэффициентом пе редачи /СоЭта разность может быть выражена интегралом.
AS0= fltf0iM O -W <)]<«. |
(1-47) |
б |
|
Значение этого интеграла (если он существует) |
можно найти |
из предельного выражения |
|
А50 = Нш [К 0'К.х ( р ) - Ч т (р)]. |
(1.48) |
Р-*о |
|
Используя соотношение уРъых.(р)=К(р)хРах(р), преобразуем по
следнее выражение: |
|
|
Д S0 = Иглр ¥ вх(р) |
р-»0 |
. |
р-*О |
Р |
15
Первый предел равен |
фПх(°о) =А, а значение |
второго следует |
из (1.42). Таким образом, |
|
|
Л |
+ « ( “ )*«• |
(1.49) |
Если сигналы представляют собой токи и входной сигнал стре мится к значению £0, то величина 5 0 имеет размерность заряда Q. Изменение этой величины при прохождении сигнала через линей ную систему с интегральным параметром тцс определяется форму лой.
A Q = / V o V
График рис. 1.3 иллюстрирует процессы в системе для этого
случая.
Наша инерционная система «недодает» в выходной цепи ток, который характеризуется указанным зарядом, если ток 'возрастает от нуля до установившегося значе ния. Если ток уменьшает ся от установившегося значения до нуля, то вы ходной ток инерционной системы больше, чем бе зынерционной, и, значит, инерционная система вы даст в выходную цепь до полнительный заряд той же величины.
Это явление можно трактовать следующим образом. Каждому установившемуся состоянию системы соответствует определенный уровень анергии, накопленной в системе. Во время переходного процесса -происходит .изменение этой энергии, .которое сказывается на .выходном токе.
Если система находилась в установившемся режиме и на ее вход до момента <t=0 действовал ток i0, то после прекращения это
го тока рассматриваемая система выдаст в выходную цепь заряд, также определяемый ур-нием (1.50). В рассматриваемой системе была накоплена энергия, и после прекращения входного тока вы ходной поддерживается за счет внутренних запасов энергии си стемы.
К третьему классу отнесем сигналы (рис. |
1.2в), для которых |
справедливы соотношения: |
|
Х $ = J |ф (0^ £& , |
(1.51) |
о о |
|
Х(р) = Л ф (Р)- |
<‘-52) |
р |
|
16
■Функция X(t) монотонно возрастает и имеет асимптоту. Дейст
вительно, lim /'(/) = Пт ф (7) =А. Следовательно, |
уравнение асимп- |
|||
1-*СО |
1-0э |
|
|
|
тоты имеет вид y(:t)=At+b. |
|
|
|
|
Величину b для асимптоты можно найти из предельного соот |
||||
ношения Иш [ х ( 0 —y(t)]—®> |
которому соответствует предельное |
|||
операционное |
соотношение |
П ш д [-|-Ф (р )— |
-----—1=0. Раскрыв |
|
|
|
P- о L р9 |
р* |
Р J |
неопределенность, получим 6 = lim Ф'(р).
р -0
Учитывая (1.17)., приходим к простому выражению 6 = —Лтц. Таким образом, для асимптоты получим окончательно
т„). (1.53)
С помощью функций класса х (0 часто можно представить при
ближенные выражения переходных характеристик линейных си стем для малых времен.
Площадь Si на графике функции х(0 связана со вторым ин
тегральным параметром. Действительно, указанная площадь мо жет быть выражена интегралом
Si = J Iу..® У if)а (t—т,Д dt. |
(1.54) < |
Учитывая, что y(t)a(t—тц) = — е-рЧ значение .рассматривае-
Р®
мой площади может быть найдено из следующего предельного опе рационного соотношения:
8, = П т \± Ф (р )— ± е - рт'] .
P- оLр ® |
р* |
J |
|
Раскрывая неопределенность, получаем |
Si=lim Ф"(р) — Ах\ . |
||
Выражение (1.17) позволяет написать |
Т ° |
(АМ2—А т*). |
|
S i= -^ - |
|||
Последнее выражение с учетом |
(1.19) дает окончательную фор |
||
мулу |
|
|
|
= |
|
|
(1-55) |
Если сигнал хвх(7) подается на вход линейной системы с интег ральными параметрами тцс и тдс, то искажения сигнала можно оце нить, сравнив функции /(охвх(0 и хВы С оотв етствую щ и е графи- 'ки приведены на рис. 1.4.
Асимптоты для указанных кривых имеют одинаковый наклон, так как выполняется соотношение A = lim/<ox'x (О-
Сдвиг асимптот определяется соответствующими значениями лервых интегральных параметров. Легко видеть, что для доста-
17
точно больших времен дейст вие линейной системы сводит ся к задержке сигнала на ве личину Тцс-
Таким образом, интеграль ные параметры или моменты могут попользоваться для опи сания не только сигналов пер вого класса, представленных функциями вида <р(0, но в сигналов, представленных ин тегралами от этих функций.
Для -вычисления моментов по заданной функции ф(/) или %(/) нужно использовать их соответствующую производную. Необходи мые для вычислений формулы сведены в табл. 1.3.
Таблица 1.3
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ФУНКЦИЙ РАЗЛИЧНЫХ КЛАССОВ
Харак |
Первый класс |
Второй класс |
Трети!» класс |
терис |
|||
тика |
М О |
■МО |
МО |
Асимптота.
Гра |
|
|
|
|
/ |
|
* |
фик |
|
|
|
|
|
Асимптота |
|
|
Ш |
/ !!’ |
|
|
|
|
|
/ |
V |
r |
' |
|
|
||
; |
J |
|
|
||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
А |
Нш Ф (р) |
|
Ит р У ( р ) |
\ т р * Х { р ) |
|
||
|
р—О |
|
р~*0 |
р-о |
|
|
|
Гц |
4 - Н т Ф '(/> ) |
- ~ - l i m l p * X ( p ) V |
|||||
|
А р—о |
|
л р—»о |
А |
р-*о |
|
|
Урав |
|
|
|
|
|
|
|
нение |
у = 0 |
|
У = А |
у = A {t— Тд) |
|
||
асимп |
|
|
|
|
|
|
|
тоты |
|
|
|
|
|
|
|
Пло |
А |
|
SQ— А Тц |
|
|
|
|
щади |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
§1.4. Приближенное представление сигналов с помощью моментов
Вопределенных условиях моменты могут быть использованы для полученияприближенного выражения сигнала. Этот способ основывается на использовании рядов производных дельта-функ-
1в
дий, являющихся частным случаем обобщенных функций [9, 10]. Рассмотрим интеграл
(1.56)
Здесь б(п)(0 — обобщенная функция, представляющая п-ю про
изводную дельта-функции. Интервал интегрирования взят —0, оо
всвязи с тем, что наши обобщенные функции имеют особенность
вточке *=0.
Этот интеграл может быть вычислен на основании известного
.свойства производных дельта-функций
j |
6<л> (/> di = (— |
(0). |
(1.57) |
Применяя это свойство к выражению (1.56), получим
? 1 Й« ‘" ’ (0 < Й = |
0 |
t |
к ф п - |
(1.58) |
- 0 |
1(— 1) |
A:! |
k = n. |
|
Этот же результат можно получить с помощью изображений рассматриваемых функций. Действительно, б(п)(0==-Рп
ина основании формулы, аналогичной (1.17),
?1йб1'11 (l)d l= (— l)ftlim ^ - p n,
р-»о dp*
получим опять соотношение (1.58).
Рассмотрим теперь функцию г\(t), которую определим с помо
щью ряда обобщенных функций: |
|
|
|
7) (0 = л [а:(1)— М, 8' (<)+ - ^ M lЬ" (/)— |
6"' (/) + |
...] . |
(1.59) |
А ^ - М г Р + ± М гр ' |
- ± М |
, . |
(1.60) |
Учитывая (.1.58), легко убедиться, что |
выполняются -соотноше |
||
ния: |
|
|
|
U (t)dt = A, |
|
|
(1.61) |
—о |
|
|
|
|(()<Й = М*. |
|
|
(1.62) |
Распространим понятие момента на ряды обобщенных функций вида Из полученных соотношений видно, что начальные мо менты функций r\(t) непосредственно определяются ее коэффици-
19
ентамй. Это позволяет легко синтезировать функцию с заданным набором моментов.
Если определить i\(t) с помощью рядов
т,(() = л | б ( ( — |
+ |
т„)— |
Тц) i- —| . |
(I-63) |
|
1 |
+ |
|
<1М> |
то выполняется равенство |
|
|
|
|
|
|
rj* ’ll*) * = !>*• |
|
(1-65) |
|
—О |
|
|
|
Оно следует из свойства обобщенных функций, согласно кото |
||||
рому |
|
|
|
|
f |
fit) 6<t> ( t - u ) d t = ( - 1)* f“ V — f |
d - 6 |
6 > |
Перейдем к применению введенных рядов обобщенных функ ций. Реакция линейной системы, находящейся в нулевом началь ном состоянии, на сигнал <р„х(7) определяется формулой
Фвых (р) = /С(р)Фвх(р)- |
(1.67> |
Пусть при этом начальные моменты входного сигнала известны
иопределяются числами Ми Мъ Мз~, а его площадь равна А.
Рассмотрим соотношение
У а(р) = К ( р ) Ш |
___ |
(1.68> |
Коэффициенты ряда обобщенных функций х\(р) примем рав
ными моментам функции <pDX(4)- Таким образом, получим
г,(р )= л л :(л > )(1 -ж 1р + ^ г м грг— . . ) . |
<i.69> |
Учитывая, что изображение импульсной характеристики совпа дает с коэффициентом передачи, последнее выражение можно за писать в следующем виде:
ф ,< р)= А [в< р)-м 1р а < р )+ ± м ,? < Ц р ) - ...'\. |
(i.70> |
Перейдем к оригиналам в этом соотношении. Согласно теореме дифференцирования операционного исчисления имеет место соот ветствие для производной .функции g(t); g'(t)==pG(p)—g(iO). Это выражение можно представить в виде p G (p)= g'(t)+ g(0)8(t).
Аналогичным образом можно получить
р*о (p)=gm (О+!,_,(/>. |
0-71} |
20